💡 6. Sınıf Matematik: Çarpanlar Ve Katlar Çözümlü Sorular
1
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
24 sayısının pozitif çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz. 🤔
Çözüm ve Açıklama
Bir sayının çarpanları, o sayıyı kalansız bölebilen sayılardır.
👉 24 sayısının pozitif çarpanlarını bulmak için, hangi iki sayının çarpımının 24 ettiğini düşünmeliyiz:
\( 1 \times 24 = 24 \)
\( 2 \times 12 = 24 \)
\( 3 \times 8 = 24 \)
\( 4 \times 6 = 24 \)
Bu çarpanları küçükten büyüğe doğru sıralarsak:
✅ 24 sayısının pozitif çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür.
2
Çözümlü Soru
Orta Seviye
7 sayısının 50'den küçük doğal sayı katlarını bulunuz. 💡
Çözüm ve Açıklama
Bir sayının katları, o sayının kendisiyle ve pozitif tam sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayılardır.
👉 7 sayısının katlarını bulup 50'den küçük olanları seçeceğiz:
\( 7 \times 1 = 7 \)
\( 7 \times 2 = 14 \)
\( 7 \times 3 = 21 \)
\( 7 \times 4 = 28 \)
\( 7 \times 5 = 35 \)
\( 7 \times 6 = 42 \)
\( 7 \times 7 = 49 \)
\( 7 \times 8 = 56 \) (Bu, 50'den büyük olduğu için dahil etmiyoruz.)
✅ 7 sayısının 50'den küçük doğal sayı katları 7, 14, 21, 28, 35, 42 ve 49'dur.
3
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Aşağıdaki sayılardan asal olanları belirleyiniz.
Sayılar: 1, 2, 9, 13, 21, 29, 33
Çözüm ve Açıklama
📌 Asal sayı nedir? 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni (çarpanı) olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
Şimdi verilen sayıları inceleyelim:
1: Asal sayı değildir, çünkü asal sayılar 1'den büyük olmalıdır.
2: Sadece 1 ve 2'ye bölünür. En küçük asal sayıdır ve çift olan tek asal sayıdır. ✅
9: 1, 3 ve 9'a bölünür. Kendisi ve 1 dışında (3'e) bölündüğü için asal değildir.
13: Sadece 1 ve 13'e bölünür. ✅
21: 1, 3, 7 ve 21'e bölünür. Kendisi ve 1 dışında (3 ve 7'ye) bölündüğü için asal değildir.
29: Sadece 1 ve 29'a bölünür. ✅
33: 1, 3, 11 ve 33'e bölünür. Kendisi ve 1 dışında (3 ve 11'e) bölündüğü için asal değildir.
✅ Verilen sayılardan 2, 13 ve 29 asal sayılardır.
4
Çözümlü Soru
Orta Seviye
72 sayısını asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazınız. 📝
Çözüm ve Açıklama
Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmak için "asal çarpan algoritması" veya "çarpan ağacı" yöntemini kullanabiliriz. Genellikle dikey çizgi yöntemi daha pratiktir.
👉 72'yi en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim:
\[
\begin{array}{r|l}
72 & 2 \\
36 & 2 \\
18 & 2 \\
9 & 3 \\
3 & 3 \\
1 & \\
\end{array}
\]
Çözüm adımları:
72'yi 2'ye böldük, sonuç 36.
36'yı 2'ye böldük, sonuç 18.
18'i 2'ye böldük, sonuç 9.
9'u 2'ye bölemeyiz, sonraki asal sayı olan 3'e böldük, sonuç 3.
3'ü 3'e böldük, sonuç 1. İşlem bitti.
✅ Bu durumda 72 sayısının asal çarpanlarının çarpımı: \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \) veya üslü ifade kullanarak \( 2^3 \times 3^2 \) şeklinde yazılır.
5
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Ayşe, bir kutudaki 36 tane bilyeyi, her sırada eşit sayıda bilye olacak şekilde dizmek istiyor. Ayşe, bilyeleri kaç farklı şekilde dizebilir? (Sıra sayısı ve her sıradaki bilye sayısı doğal sayı olmalıdır.) 🎲
Çözüm ve Açıklama
Ayşe'nin bilyeleri her sırada eşit sayıda olacak şekilde dizmesi demek, 36 sayısının çarpanlarını bulmak demektir. Çünkü sıra sayısı ile her sıradaki bilye sayısının çarpımı 36 etmelidir.
👉 36 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım:
\( 1 \times 36 = 36 \) (1 sıra, her sırada 36 bilye)
\( 2 \times 18 = 36 \) (2 sıra, her sırada 18 bilye)
\( 3 \times 12 = 36 \) (3 sıra, her sırada 12 bilye)
\( 4 \times 9 = 36 \) (4 sıra, her sırada 9 bilye)
\( 6 \times 6 = 36 \) (6 sıra, her sırada 6 bilye)
Bu çarpan çiftleri bize farklı dizilim şekillerini gösterir. Çarpanlar sırasıyla 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır.
✅ Ayşe, bilyeleri 9 farklı şekilde dizebilir. (Sıra sayısı 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 veya 36 olabilir.)
6
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Bir sayı makinesi, girilen sayının kendisi hariç en büyük çarpanını output olarak veriyor. Örneğin, makineye 12 girildiğinde 6 çıktısını veriyor. Bu makineye 30 sayısı girilirse, makine kaç çıktısını verir? 🤖
Çözüm ve Açıklama
Makine, girilen sayının kendisi hariç en büyük çarpanını veriyor. Bu, aslında sayının kendisinden sonraki en büyük bölenini bulmamız gerektiği anlamına gelir.
👉 30 sayısının çarpanlarını (bölenlerini) bulalım:
Şimdi bu çarpanlar arasından kendisi hariç en büyük olanı bulmalıyız.
Sayının kendisi 30'dur.
30 hariç en büyük çarpan 15'tir.
✅ Bu makineye 30 sayısı girilirse, makine 15 çıktısını verir.
7
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Bir manav, elindeki 45 kilogram elmayı, her pakette eşit sayıda kilogram olacak şekilde paketlemek istiyor. Manav, elmalarını kaç farklı ağırlıkta paketleyebilir? (Paket ağırlığı tam sayı olmalıdır.) 🍎📦
Çözüm ve Açıklama
Manavın 45 kilogram elmayı her pakette eşit sayıda kilogram olacak şekilde paketlemesi, 45 sayısının çarpanlarını bulmak demektir. Çünkü toplam ağırlık (45 kg), paket sayısı ile her paketin ağırlığının çarpımı olmalıdır.
👉 45 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım:
\( 1 \times 45 = 45 \) (Her pakette 1 kg)
\( 3 \times 15 = 45 \) (Her pakette 3 kg)
\( 5 \times 9 = 45 \) (Her pakette 5 kg)
Bu çarpanlar bize paketlerin olası ağırlıklarını gösterir. Çarpanlar sırasıyla 1, 3, 5, 9, 15, 45'tir.
✅ Manav, elmalarını 1 kg, 3 kg, 5 kg, 9 kg, 15 kg veya 45 kg olmak üzere 6 farklı ağırlıkta paketleyebilir.
8
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Bir otobüs durağından A otobüsü her 15 dakikada bir, B otobüsü ise her 20 dakikada bir geçmektedir. Saat 08:00'de iki otobüs de duraktan aynı anda geçtiğine göre, saat 08:00'den sonra ilk kez saat kaçta tekrar aynı anda duraktan geçerler? 🚌⏰
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, iki olayın birlikte ne zaman gerçekleşeceğini bulmak için katlarını kullanmamız gerekir. İki otobüsün tekrar aynı anda duraktan geçmesi, hem 15'in hem de 20'nin ortak bir katının olduğu zamanda olacaktır.
👉 15'in katlarını bulalım:
15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
👉 20'nin katlarını bulalım:
20, 40, 60, 80, 100, ...
Her iki listenin ortak katlarına baktığımızda, 60 sayısının ilk ortak kat olduğunu görürüz.
Bu, 60 dakika sonra iki otobüsün tekrar aynı anda duraktan geçeceği anlamına gelir. 60 dakika = 1 saattir.
İlk kez saat 08:00'de aynı anda geçtiklerine göre, 1 saat sonra:
\[ 08:00 + 1 \text{ saat} = 09:00 \]
✅ Saat 08:00'den sonra ilk kez saat 09:00'da tekrar aynı anda duraktan geçerler.
6. Sınıf Matematik: Çarpanlar Ve Katlar Çözümlü Sorular
Soru 1:
24 sayısının pozitif çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bir sayının çarpanları, o sayıyı kalansız bölebilen sayılardır.
👉 24 sayısının pozitif çarpanlarını bulmak için, hangi iki sayının çarpımının 24 ettiğini düşünmeliyiz:
\( 1 \times 24 = 24 \)
\( 2 \times 12 = 24 \)
\( 3 \times 8 = 24 \)
\( 4 \times 6 = 24 \)
Bu çarpanları küçükten büyüğe doğru sıralarsak:
✅ 24 sayısının pozitif çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür.
Soru 2:
7 sayısının 50'den küçük doğal sayı katlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
Bir sayının katları, o sayının kendisiyle ve pozitif tam sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayılardır.
👉 7 sayısının katlarını bulup 50'den küçük olanları seçeceğiz:
\( 7 \times 1 = 7 \)
\( 7 \times 2 = 14 \)
\( 7 \times 3 = 21 \)
\( 7 \times 4 = 28 \)
\( 7 \times 5 = 35 \)
\( 7 \times 6 = 42 \)
\( 7 \times 7 = 49 \)
\( 7 \times 8 = 56 \) (Bu, 50'den büyük olduğu için dahil etmiyoruz.)
✅ 7 sayısının 50'den küçük doğal sayı katları 7, 14, 21, 28, 35, 42 ve 49'dur.
Soru 3:
Aşağıdaki sayılardan asal olanları belirleyiniz.
Sayılar: 1, 2, 9, 13, 21, 29, 33
Çözüm:
📌 Asal sayı nedir? 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni (çarpanı) olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
Şimdi verilen sayıları inceleyelim:
1: Asal sayı değildir, çünkü asal sayılar 1'den büyük olmalıdır.
2: Sadece 1 ve 2'ye bölünür. En küçük asal sayıdır ve çift olan tek asal sayıdır. ✅
9: 1, 3 ve 9'a bölünür. Kendisi ve 1 dışında (3'e) bölündüğü için asal değildir.
13: Sadece 1 ve 13'e bölünür. ✅
21: 1, 3, 7 ve 21'e bölünür. Kendisi ve 1 dışında (3 ve 7'ye) bölündüğü için asal değildir.
29: Sadece 1 ve 29'a bölünür. ✅
33: 1, 3, 11 ve 33'e bölünür. Kendisi ve 1 dışında (3 ve 11'e) bölündüğü için asal değildir.
✅ Verilen sayılardan 2, 13 ve 29 asal sayılardır.
Soru 4:
72 sayısını asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazınız. 📝
Çözüm:
Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmak için "asal çarpan algoritması" veya "çarpan ağacı" yöntemini kullanabiliriz. Genellikle dikey çizgi yöntemi daha pratiktir.
👉 72'yi en küçük asal sayıdan başlayarak bölelim:
\[
\begin{array}{r|l}
72 & 2 \\
36 & 2 \\
18 & 2 \\
9 & 3 \\
3 & 3 \\
1 & \\
\end{array}
\]
Çözüm adımları:
72'yi 2'ye böldük, sonuç 36.
36'yı 2'ye böldük, sonuç 18.
18'i 2'ye böldük, sonuç 9.
9'u 2'ye bölemeyiz, sonraki asal sayı olan 3'e böldük, sonuç 3.
3'ü 3'e böldük, sonuç 1. İşlem bitti.
✅ Bu durumda 72 sayısının asal çarpanlarının çarpımı: \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \) veya üslü ifade kullanarak \( 2^3 \times 3^2 \) şeklinde yazılır.
Soru 5:
Ayşe, bir kutudaki 36 tane bilyeyi, her sırada eşit sayıda bilye olacak şekilde dizmek istiyor. Ayşe, bilyeleri kaç farklı şekilde dizebilir? (Sıra sayısı ve her sıradaki bilye sayısı doğal sayı olmalıdır.) 🎲
Çözüm:
Ayşe'nin bilyeleri her sırada eşit sayıda olacak şekilde dizmesi demek, 36 sayısının çarpanlarını bulmak demektir. Çünkü sıra sayısı ile her sıradaki bilye sayısının çarpımı 36 etmelidir.
👉 36 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım:
\( 1 \times 36 = 36 \) (1 sıra, her sırada 36 bilye)
\( 2 \times 18 = 36 \) (2 sıra, her sırada 18 bilye)
\( 3 \times 12 = 36 \) (3 sıra, her sırada 12 bilye)
\( 4 \times 9 = 36 \) (4 sıra, her sırada 9 bilye)
\( 6 \times 6 = 36 \) (6 sıra, her sırada 6 bilye)
Bu çarpan çiftleri bize farklı dizilim şekillerini gösterir. Çarpanlar sırasıyla 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır.
✅ Ayşe, bilyeleri 9 farklı şekilde dizebilir. (Sıra sayısı 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 veya 36 olabilir.)
Soru 6:
Bir sayı makinesi, girilen sayının kendisi hariç en büyük çarpanını output olarak veriyor. Örneğin, makineye 12 girildiğinde 6 çıktısını veriyor. Bu makineye 30 sayısı girilirse, makine kaç çıktısını verir? 🤖
Çözüm:
Makine, girilen sayının kendisi hariç en büyük çarpanını veriyor. Bu, aslında sayının kendisinden sonraki en büyük bölenini bulmamız gerektiği anlamına gelir.
👉 30 sayısının çarpanlarını (bölenlerini) bulalım:
Şimdi bu çarpanlar arasından kendisi hariç en büyük olanı bulmalıyız.
Sayının kendisi 30'dur.
30 hariç en büyük çarpan 15'tir.
✅ Bu makineye 30 sayısı girilirse, makine 15 çıktısını verir.
Soru 7:
Bir manav, elindeki 45 kilogram elmayı, her pakette eşit sayıda kilogram olacak şekilde paketlemek istiyor. Manav, elmalarını kaç farklı ağırlıkta paketleyebilir? (Paket ağırlığı tam sayı olmalıdır.) 🍎📦
Çözüm:
Manavın 45 kilogram elmayı her pakette eşit sayıda kilogram olacak şekilde paketlemesi, 45 sayısının çarpanlarını bulmak demektir. Çünkü toplam ağırlık (45 kg), paket sayısı ile her paketin ağırlığının çarpımı olmalıdır.
👉 45 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım:
\( 1 \times 45 = 45 \) (Her pakette 1 kg)
\( 3 \times 15 = 45 \) (Her pakette 3 kg)
\( 5 \times 9 = 45 \) (Her pakette 5 kg)
Bu çarpanlar bize paketlerin olası ağırlıklarını gösterir. Çarpanlar sırasıyla 1, 3, 5, 9, 15, 45'tir.
✅ Manav, elmalarını 1 kg, 3 kg, 5 kg, 9 kg, 15 kg veya 45 kg olmak üzere 6 farklı ağırlıkta paketleyebilir.
Soru 8:
Bir otobüs durağından A otobüsü her 15 dakikada bir, B otobüsü ise her 20 dakikada bir geçmektedir. Saat 08:00'de iki otobüs de duraktan aynı anda geçtiğine göre, saat 08:00'den sonra ilk kez saat kaçta tekrar aynı anda duraktan geçerler? 🚌⏰
Çözüm:
Bu problemde, iki olayın birlikte ne zaman gerçekleşeceğini bulmak için katlarını kullanmamız gerekir. İki otobüsün tekrar aynı anda duraktan geçmesi, hem 15'in hem de 20'nin ortak bir katının olduğu zamanda olacaktır.
👉 15'in katlarını bulalım:
15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
👉 20'nin katlarını bulalım:
20, 40, 60, 80, 100, ...
Her iki listenin ortak katlarına baktığımızda, 60 sayısının ilk ortak kat olduğunu görürüz.
Bu, 60 dakika sonra iki otobüsün tekrar aynı anda duraktan geçeceği anlamına gelir. 60 dakika = 1 saattir.
İlk kez saat 08:00'de aynı anda geçtiklerine göre, 1 saat sonra:
\[ 08:00 + 1 \text{ saat} = 09:00 \]
✅ Saat 08:00'den sonra ilk kez saat 09:00'da tekrar aynı anda duraktan geçerler.