📌 Temel Kat Bulma: \( 7 \) sayısının ilk dört doğal sayı katını bulunuz ve bu katların toplamını hesaplayınız.
Çözüm ve Açıklama
Bir sayının katlarını bulmak o sayıyı sırasıyla \( 1, 2, 3, 4, \dots \) gibi doğal sayılarla çarpmaktır.
7 sayısının 1 katı: \( 7 \times 1 = 7 \)
7 sayısının 2 katı: \( 7 \times 2 = 14 \)
7 sayısının 3 katı: \( 7 \times 3 = 21 \)
7 sayısının 4 katı: \( 7 \times 4 = 28 \)
✅ Bulduğumuz bu katları toplayalım:
\[ 7 + 14 + 21 + 28 = 70 \]
💡 Sonuç olarak \( 7 \) sayısının ilk dört katının toplamı \( 70 \)tir.
2
Çözümlü Soru
Orta Seviye
📌 Sınırları Belirli Katlar: İki basamaklı en büyük doğal sayı ile \( 12 \) sayısının 5. katının toplamı kaç eder?
Çözüm ve Açıklama
Adım adım ilerleyelim:
İki basamaklı en büyük doğal sayı \( 99 \)dur.
\( 12 \) sayısının 5. katını bulmak için \( 12 \) ile \( 5 \)i çarparız: \( 12 \times 5 = 60 \).
✅ Şimdi bu iki sayıyı toplayalım:
\[ 99 + 60 = 159 \]
💡 İşlemin sonucu \( 159 \) olarak bulunur.
3
Çözümlü Soru
Orta Seviye
🚌 Günlük Hayattan Örnek: Bir duraktan her \( 8 \) dakikada bir otobüs, her \( 12 \) dakikada bir ise minibüs hareket etmektedir. Bu duraktan sabah saat \( 08:00 \)de aynı anda bir otobüs ve bir minibüs hareket etmiştir. Buna göre, bu araçlar gün içinde tekrar ilk kez saat kaçta birlikte hareket eder? (İpucu: 8 ve 12 sayılarının ortak katlarını düşününüz.)
Çözüm ve Açıklama
Bu tarz günlük hayat problemlerinde zamanların ortak katını bulmamız gerekir:
✅ Her iki aracın buluştuğu ilk ortak dakika \( 24 \) dakikadır. Yani araçlar her \( 24 \) dakikada bir birlikte hareket eder.
⏱️ İlk hareket saati olan \( 08:00 \) üzerine \( 24 \) dakika ekleyelim:
\[ 08:00 + 00:24 = 08:24 \]
💡 Araçlar tekrar saat \( 08:24 \)te birlikte hareket ederler.
4
Çözümlü Soru
Orta Seviye
📌 Ortak Katlar: \( 5 \) ve \( 6 \) sayı اینکه erinin \( 100 \)den küçük kaç tane ortak katı vardır?
Çözüm ve Açıklama
Ortak katları bulmak için önce bu sayıların en küçük ortak katını buluruz ve onun katlarıyla devam ederiz:
\( 5 \) ve \( 6 \) sayıları aralarında asal olduğu için en küçük ortak katları çarpımlarıdır: \( 5 \times 6 = 30 \).
Şimdi \( 30 \)un \( 100 \)den küçük katlarını yazalım.
✅ Katlar listesi:
1. kat: \( 30 \times 1 = 30 \)
2. kat: \( 30 \times 2 = 60 \)
3. kat: \( 30 \times 3 = 90 \)
4. kat: \( 30 \times 4 = 120 \) (Bu sayı 100den büyüktür, alınmaz.)
💡 \( 100 \)den küçük \( 3 \) tane ortak kat vardır (\( 30, 60, 90 \)).
5
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
🎯 Yeni Nesil Beceri Temelli Soru: Bir lunaparkta bulunan dönme dolap \( 15 \) dakikada bir tam turunu tamamlamaktadır. Aynı lunaparktaki tren ise \( 9 \) dakikada bir parkurunu bitirmektedir. Sabah açılışta saat \( 10:00 \)da bu iki oyuncak aynı anda hareket etmeye başlıyor. Buna göre, öğleden önce saat \( 12:00 \)ye kadar bu iki oyuncak toplam kaç kez aynı anda harekete başlar?
Çözüm ve Açıklama
Sistematik bir çözüm yolu izleyelim:
Sürelerin ortak katlarını bulmalıyız. \( 15 \) ve \( 9 \) sayılarının ortak katları incelenir.
Her iki oyuncağın ilk kez birlikte hareket ettiği ortak dakika \( 45 \) dakikadır. Sonraki ortak başlangıç ise \( 90 \) dakikadır.
✅ Saat \( 10:00 \) ile \( 12:00 \) arası toplam \( 2 \) saat yani \( 120 \) dakikadır:
0. dakika: \( 10:00 \) (Başlangıçta birlikte başladılar)
45. dakika: \( 10:45 \) (1. kez tekrar)
90. dakika: \( 11:30 \) (2. kez tekrar)
135. dakika: \( 12:15 \) (12:00 sınırını aştığı için alınmaz.)
💡 Başlangıç dahil edilmediğinde bu süre içinde \( 2 \) kez aynı anda harekete başlarlar.
6
Çözümlü Soru
Orta Seviye
🏥 Günlük Hayattan Örnek: Bir hastanede görev yapan Dr. Ahmet Bey her \( 3 \) günde bir, Dr. Zeynep Hanım ise her \( 4 \) günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi birlikte ilk nöbetlerini Pazartesi günü tutmuşlardır. Buna göre, ikisi birlikte 3. kez hangi gün nöbet tutarlar?
Çözüm ve Açıklama
Nöbet soruları tipik bir ortak kat problemidir:
\( 3 \) ve \( 4 \) sayıları aralarında asaldır. Birlikte nöbet tutma süreleri bu sayıların en küçük ortak katı olan \( 3 \times 4 = 12 \) gündür. Yani her \( 12 \) günde bir birlikte nöbet tutarlar.
Soruda 3. kez birlikte tuttukları gün soruluyor. İlk nöbet başlangıçta tutulmuştur.
1. Birlikte nöbet: Pazartesi (Başlangıç)
2. Birlikte nöbet için \( 12 \) gün geçmelidir.
3. Birlikte nöbet için toplam \( 12 + 12 = 24 \) gün geçmelidir.
✅ Haftanın günleri \( 7 \) günde bir tekrar ettiği için \( 24 \) sayısının \( 7 \)ye bölümünden kalana bakarız:
\[ 24 \div 7 = 3 \text{ (Kalan 3)} \]
📅 Pazartesi gününden itibaren \( 3 \) gün ileri gidelim:
1. gün: Salı
2. gün: Çarşamba
3. gün: Perşembe
💡 Doktorlar 3. kez birlikte Perşembe günü nöbet tutarlar.
7
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
📌 Asal Olmayan Katlar: \( 14 \) sayısının \( 50 \)den küçük en büyük katı ile \( 6 \) sayısının \( 20 \)den büyük en küçük katının toplamı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
İki ayrı adımı sırasıyla çözelim:
\( 14 \) sayısının \( 50 \)den küçük katları: \( 14, 28, 42, 56, \dots \) Bunlar arasında \( 50 \)den küçük en büyük kat \( 42 \)dir.
\( 6 \) sayısının katları: \( 6, 12, 18, 24, 30, \dots \) Bunlar arasında \( 20 \)den büyük en küçük kat \( 24 \)tür.
✅ Elde ettiğimiz iki sayıyı toplayalım:
\[ 42 + 24 = 66 \]
💡 İşlemin sonucu \( 66 \) olarak bulunur.
8
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
🎯 Yeni Nesil Beceri Temelli Soru: Kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir dikdörtgenin alanı \( 60 \) cm karedir. Bu dikdörtgenin uzun kenar uzunluğu \( 10 \) cmden büyük ve \( 20 \) cmden küçük olduğuna göre, kısa kenar uzunluğu kaç santimetredir? (Not: Alan, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır.)
Çözüm ve Açıklama
Bu soru katlar ve çarpanlar mantığını bir arada kullanır:
Dikdörtgenin alanı \( 60 \) cm kare ise kenar uzunlukları \( 60 \)un birer böleni (çarpanı), diğer bir deyişle alan \( 60 \) sayısı bu kenar uzunluklarının bir katıdır.
Soruda uzun kenarın \( 10 \) ile \( 20 \) arasında olduğu söylenmiştir. Bu aralıktaki çarpan \( 12 \) veya \( 15 \) olabilir.
✅ Durumları inceleyelim:
Eğer uzun kenar \( 12 \) cm olursa, kısa kenar: \( 60 \div 12 = 5 \) cm olur.
Eğer uzun kenar \( 15 \) cm olursa, kısa kenar: \( 60 \div 15 = 4 \) cm olur.
💡 Her iki durumda da kısa kenar uzunluğu mantıklı bir tam sayıdır, ancak soru kalıplarında bu tip sorularda verilen kısıtlara göre genellikle tek bir değer hedeflenir. Burada uzun kenar \( 12 \) veya \( 15 \) olabilir, kısa kenar ise sırasıyla \( 5 \) veya \( 4 \) çıkar.
6. Sınıf Matematik: Katlar Çözümlü Sorular
Soru 1:
📌 Temel Kat Bulma: \( 7 \) sayısının ilk dört doğal sayı katını bulunuz ve bu katların toplamını hesaplayınız.
Çözüm:
Bir sayının katlarını bulmak o sayıyı sırasıyla \( 1, 2, 3, 4, \dots \) gibi doğal sayılarla çarpmaktır.
7 sayısının 1 katı: \( 7 \times 1 = 7 \)
7 sayısının 2 katı: \( 7 \times 2 = 14 \)
7 sayısının 3 katı: \( 7 \times 3 = 21 \)
7 sayısının 4 katı: \( 7 \times 4 = 28 \)
✅ Bulduğumuz bu katları toplayalım:
\[ 7 + 14 + 21 + 28 = 70 \]
💡 Sonuç olarak \( 7 \) sayısının ilk dört katının toplamı \( 70 \)tir.
Soru 2:
📌 Sınırları Belirli Katlar: İki basamaklı en büyük doğal sayı ile \( 12 \) sayısının 5. katının toplamı kaç eder?
Çözüm:
Adım adım ilerleyelim:
İki basamaklı en büyük doğal sayı \( 99 \)dur.
\( 12 \) sayısının 5. katını bulmak için \( 12 \) ile \( 5 \)i çarparız: \( 12 \times 5 = 60 \).
✅ Şimdi bu iki sayıyı toplayalım:
\[ 99 + 60 = 159 \]
💡 İşlemin sonucu \( 159 \) olarak bulunur.
Soru 3:
🚌 Günlük Hayattan Örnek: Bir duraktan her \( 8 \) dakikada bir otobüs, her \( 12 \) dakikada bir ise minibüs hareket etmektedir. Bu duraktan sabah saat \( 08:00 \)de aynı anda bir otobüs ve bir minibüs hareket etmiştir. Buna göre, bu araçlar gün içinde tekrar ilk kez saat kaçta birlikte hareket eder? (İpucu: 8 ve 12 sayılarının ortak katlarını düşününüz.)
Çözüm:
Bu tarz günlük hayat problemlerinde zamanların ortak katını bulmamız gerekir:
✅ Her iki aracın buluştuğu ilk ortak dakika \( 24 \) dakikadır. Yani araçlar her \( 24 \) dakikada bir birlikte hareket eder.
⏱️ İlk hareket saati olan \( 08:00 \) üzerine \( 24 \) dakika ekleyelim:
\[ 08:00 + 00:24 = 08:24 \]
💡 Araçlar tekrar saat \( 08:24 \)te birlikte hareket ederler.
Soru 4:
📌 Ortak Katlar: \( 5 \) ve \( 6 \) sayı اینکه erinin \( 100 \)den küçük kaç tane ortak katı vardır?
Çözüm:
Ortak katları bulmak için önce bu sayıların en küçük ortak katını buluruz ve onun katlarıyla devam ederiz:
\( 5 \) ve \( 6 \) sayıları aralarında asal olduğu için en küçük ortak katları çarpımlarıdır: \( 5 \times 6 = 30 \).
Şimdi \( 30 \)un \( 100 \)den küçük katlarını yazalım.
✅ Katlar listesi:
1. kat: \( 30 \times 1 = 30 \)
2. kat: \( 30 \times 2 = 60 \)
3. kat: \( 30 \times 3 = 90 \)
4. kat: \( 30 \times 4 = 120 \) (Bu sayı 100den büyüktür, alınmaz.)
💡 \( 100 \)den küçük \( 3 \) tane ortak kat vardır (\( 30, 60, 90 \)).
Soru 5:
🎯 Yeni Nesil Beceri Temelli Soru: Bir lunaparkta bulunan dönme dolap \( 15 \) dakikada bir tam turunu tamamlamaktadır. Aynı lunaparktaki tren ise \( 9 \) dakikada bir parkurunu bitirmektedir. Sabah açılışta saat \( 10:00 \)da bu iki oyuncak aynı anda hareket etmeye başlıyor. Buna göre, öğleden önce saat \( 12:00 \)ye kadar bu iki oyuncak toplam kaç kez aynı anda harekete başlar?
Çözüm:
Sistematik bir çözüm yolu izleyelim:
Sürelerin ortak katlarını bulmalıyız. \( 15 \) ve \( 9 \) sayılarının ortak katları incelenir.
Her iki oyuncağın ilk kez birlikte hareket ettiği ortak dakika \( 45 \) dakikadır. Sonraki ortak başlangıç ise \( 90 \) dakikadır.
✅ Saat \( 10:00 \) ile \( 12:00 \) arası toplam \( 2 \) saat yani \( 120 \) dakikadır:
0. dakika: \( 10:00 \) (Başlangıçta birlikte başladılar)
45. dakika: \( 10:45 \) (1. kez tekrar)
90. dakika: \( 11:30 \) (2. kez tekrar)
135. dakika: \( 12:15 \) (12:00 sınırını aştığı için alınmaz.)
💡 Başlangıç dahil edilmediğinde bu süre içinde \( 2 \) kez aynı anda harekete başlarlar.
Soru 6:
🏥 Günlük Hayattan Örnek: Bir hastanede görev yapan Dr. Ahmet Bey her \( 3 \) günde bir, Dr. Zeynep Hanım ise her \( 4 \) günde bir nöbet tutmaktadır. İkisi birlikte ilk nöbetlerini Pazartesi günü tutmuşlardır. Buna göre, ikisi birlikte 3. kez hangi gün nöbet tutarlar?
Çözüm:
Nöbet soruları tipik bir ortak kat problemidir:
\( 3 \) ve \( 4 \) sayıları aralarında asaldır. Birlikte nöbet tutma süreleri bu sayıların en küçük ortak katı olan \( 3 \times 4 = 12 \) gündür. Yani her \( 12 \) günde bir birlikte nöbet tutarlar.
Soruda 3. kez birlikte tuttukları gün soruluyor. İlk nöbet başlangıçta tutulmuştur.
1. Birlikte nöbet: Pazartesi (Başlangıç)
2. Birlikte nöbet için \( 12 \) gün geçmelidir.
3. Birlikte nöbet için toplam \( 12 + 12 = 24 \) gün geçmelidir.
✅ Haftanın günleri \( 7 \) günde bir tekrar ettiği için \( 24 \) sayısının \( 7 \)ye bölümünden kalana bakarız:
\[ 24 \div 7 = 3 \text{ (Kalan 3)} \]
📅 Pazartesi gününden itibaren \( 3 \) gün ileri gidelim:
1. gün: Salı
2. gün: Çarşamba
3. gün: Perşembe
💡 Doktorlar 3. kez birlikte Perşembe günü nöbet tutarlar.
Soru 7:
📌 Asal Olmayan Katlar: \( 14 \) sayısının \( 50 \)den küçük en büyük katı ile \( 6 \) sayısının \( 20 \)den büyük en küçük katının toplamı kaçtır?
Çözüm:
İki ayrı adımı sırasıyla çözelim:
\( 14 \) sayısının \( 50 \)den küçük katları: \( 14, 28, 42, 56, \dots \) Bunlar arasında \( 50 \)den küçük en büyük kat \( 42 \)dir.
\( 6 \) sayısının katları: \( 6, 12, 18, 24, 30, \dots \) Bunlar arasında \( 20 \)den büyük en küçük kat \( 24 \)tür.
✅ Elde ettiğimiz iki sayıyı toplayalım:
\[ 42 + 24 = 66 \]
💡 İşlemin sonucu \( 66 \) olarak bulunur.
Soru 8:
🎯 Yeni Nesil Beceri Temelli Soru: Kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayı olan bir dikdörtgenin alanı \( 60 \) cm karedir. Bu dikdörtgenin uzun kenar uzunluğu \( 10 \) cmden büyük ve \( 20 \) cmden küçük olduğuna göre, kısa kenar uzunluğu kaç santimetredir? (Not: Alan, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır.)
Çözüm:
Bu soru katlar ve çarpanlar mantığını bir arada kullanır:
Dikdörtgenin alanı \( 60 \) cm kare ise kenar uzunlukları \( 60 \)un birer böleni (çarpanı), diğer bir deyişle alan \( 60 \) sayısı bu kenar uzunluklarının bir katıdır.
Soruda uzun kenarın \( 10 \) ile \( 20 \) arasında olduğu söylenmiştir. Bu aralıktaki çarpan \( 12 \) veya \( 15 \) olabilir.
✅ Durumları inceleyelim:
Eğer uzun kenar \( 12 \) cm olursa, kısa kenar: \( 60 \div 12 = 5 \) cm olur.
Eğer uzun kenar \( 15 \) cm olursa, kısa kenar: \( 60 \div 15 = 4 \) cm olur.
💡 Her iki durumda da kısa kenar uzunluğu mantıklı bir tam sayıdır, ancak soru kalıplarında bu tip sorularda verilen kısıtlara göre genellikle tek bir değer hedeflenir. Burada uzun kenar \( 12 \) veya \( 15 \) olabilir, kısa kenar ise sırasıyla \( 5 \) veya \( 4 \) çıkar.