📄 8. Sınıf Matematik: Pozitif tam sayıların çarpanları Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

\(60\) sayısının çarpanlarını bulmak için, \(60\)'ı çarpımları \(60\) olan iki sayının çarpımı şeklinde yazarız:
\(1 \times 60 = 60\)
\(2 \times 30 = 60\)
\(3 \times 20 = 60\)
\(4 \times 15 = 60\)
\(5 \times 12 = 60\)
\(6 \times 10 = 60\)
Buna göre, \(60\) sayısının pozitif tam sayı çarpanları: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\) olmak üzere toplam \(12\) tanedir.
Bu çarpanlar arasından asal olanları belirleyelim:
Asal sayılar, \(1\) ve kendisinden başka böleni olmayan \(1\)'den büyük sayılardır.
\(2\) (asal)
\(3\) (asal)
\(5\) (asal)
Diğer çarpanlar (\(1, 4, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\)) asal değildir.
Dolayısıyla, \(60\) sayısının \(3\) tane asal çarpanı vardır: \(2, 3, 5\).

💡 Çözüm Adımları:

Sınıftaki öğrenci sayısına \(x\) diyelim.
Öğrenciler \(3\)'erli, \(4\)'erli ve \(6\)'şarlı gruplara ayrıldığında her seferinde \(2\) öğrenci arttığına göre, \(x\) sayısının \(3\), \(4\) ve \(6\) ile bölümünden kalan \(2\)'dir.
Bu durumda \(x-2\) sayısı, \(3\), \(4\) ve \(6\)'nın ortak katı olmalıdır.
Öncelikle \(3\), \(4\) ve \(6\)'nın en küçük ortak katını (EKOK) bulalım:
\(3 = 3\)
\(4 = 2^2\)
\(6 = 2 \times 3\)
EKOK\((3, 4, 6)) = \(2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12\).
Yani \(x-2\) sayısı \(12\)'nin bir katı olmalıdır.
\(x-2 = 12k\) (burada \(k\) bir pozitif tam sayıdır)
\(x = 12k + 2\)
Sınıftaki öğrenci sayısı \(40\)'tan az olduğuna göre:
Eğer \(k=1\) ise, \(x = 12(1) + 2 = 14\).
Eğer \(k=2\) ise, \(x = 12(2) + 2 = 26\).
Eğer \(k=3\) ise, \(x = 12(3) + 2 = 38\).
Eğer \(k=4\) ise, \(x = 12(4) + 2 = 50\). Bu sayı \(40\)'tan büyüktür, bu yüzden olamaz.
Sınıftaki öğrenci sayısı \(40\)'tan az olduğuna göre, en büyük olası değer \(38\)'dir.
Cevap: Sınıfta \(38\) öğrenci vardır.\)

💡 Çözüm Adımları:

Verilen sayılar:
\(A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1\)
\(B = 2^2 \times 3^3 \times 7^1\)

En Büyük Ortak Bölen (EBOB):
EBOB bulunurken, her iki sayıda da ortak olan asal çarpanların en küçük üslüleri alınır ve çarpılır.
Ortak asal çarpanlar: \(2\) ve \(3\).
\(2\) için en küçük üs: \(2^2\) (çünkü \(A\)'da \(2^3\), \(B\)'de \(2^2\) var)
\(3\) için en küçük üs: \(3^2\) (çünkü \(A\)'da \(3^2\), \(B\)'de \(3^3\) var)
\(5\) ve \(7\) ortak değildir, bu yüzden EBOB'a dahil edilmezler.
EBOB\((A, B)) = \(2^2 \times 3^2\)

En Küçük Ortak Kat (EKOK):
EKOK bulunurken, her iki sayıda bulunan tüm asal çarpanların en büyük üslüleri alınır ve çarpılır.
Tüm asal çarpanlar: \(2, 3, 5, 7\).
\(2\) için en büyük üs: \(2^3\) (çünkü \(A\)'da \(2^3\), \(B\)'de \(2^2\) var)
\(3\) için en büyük üs: \(3^3\) (çünkü \(A\)'da \(3^2\), \(B\)'de \(3^3\) var)
\(5\) için en büyük üs: \(5^1\) (çünkü sadece \(A\)'da var)
\(7\) için en büyük üs: \(7^1\) (çünkü sadece \(B\)'de var)
EKOK\((A, B)) = \(2^3 \times 3^3 \times 5^1 \times 7^1\)

Cevap:
EBOB\((A, B)) = \(2^2 \times 3^2\)
EKOK\((A, B)) = \(2^3 \times 3^3 \times 5 \times 7\)\)