🎓 8. Sınıf (LGS)
📚 8. Sınıf Matematik
💡 8. Sınıf Matematik: Üslü Sayılarda Toplama Ve Çıkarma İşlemi Çözümlü Sorular
8. Sınıf Matematik: Üslü Sayılarda Toplama Ve Çıkarma İşlemi Çözümlü Sorular
Soru 1:
Soru 1: Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\[ 5 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^4 - 6 \cdot 3^4 \]
\[ 5 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^4 - 6 \cdot 3^4 \]
Çözüm:
Bu tür üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için, üslü ifadelerin hem tabanlarının hem de üslerinin aynı olması gerekir. Bu durumda katsayıları toplayıp çıkarabiliriz.
- 💡 Adım 1: Verilen ifadelerdeki üslü terimlerin ( \(3^4\) ) aynı olup olmadığını kontrol edin. Evet, hepsi \(3^4\).
- 📌 Adım 2: Katsayıları toplayıp çıkarın. \[ 5 + 2 - 6 \] \[ 7 - 6 = 1 \]
- 👉 Adım 3: Bulduğunuz katsayıyı ortak üslü ifadenin önüne yazın. \[ 1 \cdot 3^4 \] \[ 3^4 \]
- ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \(3^4\)'tür.
Soru 2:
Soru 2: İşleminin sonucunu bulunuz.
\[ 3 \cdot 2^5 + 2^6 - 4 \cdot 2^4 \]
\[ 3 \cdot 2^5 + 2^6 - 4 \cdot 2^4 \]
Çözüm:
Bu işlemde üslü ifadelerin üsleri farklıdır. Toplama ve çıkarma yapabilmek için tüm terimleri aynı üslü ifadeye dönüştürmemiz gerekir. Genellikle en küçük üslü terime göre dönüştürmek işlemi kolaylaştırır.
- 💡 Adım 1: Tüm terimleri en küçük üslü ifade olan \(2^4\)'e benzetmeye çalışın.
- \(2^6 = 2^2 \cdot 2^4 = 4 \cdot 2^4\)
- \(3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 2^1 \cdot 2^4 = 3 \cdot 2 \cdot 2^4 = 6 \cdot 2^4\)
- 📌 Adım 2: İfadeyi yeniden yazın. \[ 6 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^4 - 4 \cdot 2^4 \]
- 👉 Adım 3: Ortak üslü ifade \(2^4\) olduğu için katsayıları toplayıp çıkarın. \[ (6 + 4 - 4) \cdot 2^4 \] \[ (10 - 4) \cdot 2^4 \] \[ 6 \cdot 2^4 \]
- ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \(6 \cdot 2^4\)'tür.
Soru 3:
Soru 3: Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\[ 2 \cdot 5^{-3} + 15 \cdot 5^{-4} \]
\[ 2 \cdot 5^{-3} + 15 \cdot 5^{-4} \]
Çözüm:
Negatif üslü ifadelerde de aynı kural geçerlidir. Üslü ifadelerin tabanları ve üsleri aynı olmalıdır.
- 💡 Adım 1: En küçük üs olan \(-4\)'e göre düzenleyelim. Yani \(5^{-3}\)'ü \(5^{-4}\) cinsinden yazalım. \[ 5^{-3} = 5^1 \cdot 5^{-4} = 5 \cdot 5^{-4} \]
- 📌 Adım 2: İlk terimi düzenlenmiş haliyle yazın. \[ 2 \cdot (5 \cdot 5^{-4}) + 15 \cdot 5^{-4} \] \[ 10 \cdot 5^{-4} + 15 \cdot 5^{-4} \]
- 👉 Adım 3: Ortak üslü ifade \(5^{-4}\) olduğu için katsayıları toplayın. \[ (10 + 15) \cdot 5^{-4} \] \[ 25 \cdot 5^{-4} \]
- 📌 Adım 4: Sonucu daha sade bir şekilde yazmak için \(25\) sayısını \(5^2\) olarak ifade edebiliriz. \[ 5^2 \cdot 5^{-4} \]
- 👉 Adım 5: Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplayın. \[ 5^{2 + (-4)} = 5^{-2} \]
- ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \(5^{-2}\)'dir.
Soru 4:
Soru 4: Verilen ifadenin en sade halini bulunuz.
\[ \frac{3 \cdot 7^8 + 49 \cdot 7^6}{2 \cdot 7^7} \]
\[ \frac{3 \cdot 7^8 + 49 \cdot 7^6}{2 \cdot 7^7} \]
Çözüm:
Bu tip sorularda hem pay hem de paydayı ortak üslü ifade parantezine alarak sadeleştirme yaparız.
- 💡 Adım 1: Pay kısmındaki terimleri en küçük üslü ifade olan \(7^6\)'ya benzetin.
- \(3 \cdot 7^8 = 3 \cdot 7^2 \cdot 7^6 = 3 \cdot 49 \cdot 7^6 = 147 \cdot 7^6\)
- \(49 \cdot 7^6 = 49 \cdot 7^6\) (Bu terim zaten uygun)
- 📌 Adım 2: Pay kısmını düzenleyip \(7^6\) parantezine alın. \[ 147 \cdot 7^6 + 49 \cdot 7^6 = (147 + 49) \cdot 7^6 = 196 \cdot 7^6 \]
- 👉 Adım 3: İfadeyi yerine yazın. \[ \frac{196 \cdot 7^6}{2 \cdot 7^7} \]
- 📌 Adım 4: Şimdi sadeleştirme yapın. Sayıları kendi arasında, üslü ifadeleri kendi arasında sadeleştirin. \[ \frac{196}{2} \cdot \frac{7^6}{7^7} \] \[ 98 \cdot 7^{6-7} \] \[ 98 \cdot 7^{-1} \]
- 👉 Adım 5: \(7^{-1} = \frac{1}{7}\) olduğunu unutmayın. \[ 98 \cdot \frac{1}{7} = \frac{98}{7} \] \[ 14 \]
- ✅ Sonuç: İfadenin en sade hali \(14\)'tür.
Soru 5:
Soru 5: Bir bakteri kültürü başlangıçta \(2^8\) adet bakteri içermektedir. Her 1 saatte bir bakteri sayısı 2 katına çıkmaktadır. 3 saat sonra bu kültürden \(2^9\) adet bakteri alındığında, kapta kaç adet bakteri kalır?
Çözüm:
Bu problemde, bakteri sayısının artışı ve ardından azalması söz konusudur.
- 💡 Adım 1: Başlangıçtaki bakteri sayısını belirleyin.
Başlangıç: \(2^8\) adet bakteri.
- 📌 Adım 2: Her 1 saatte bakteri sayısı 2 katına çıktığına göre, 3 saat sonraki bakteri sayısını hesaplayın.
1 saat sonra: \(2^8 \cdot 2^1 = 2^9\)
2 saat sonra: \(2^9 \cdot 2^1 = 2^{10}\)
3 saat sonra: \(2^{10} \cdot 2^1 = 2^{11}\) adet bakteri olur.
- 👉 Adım 3: Kültürden alınan bakteri sayısını belirleyin.
\(2^9\) adet bakteri alınmıştır.
- 📌 Adım 4: Kalan bakteri sayısını bulmak için çıkarma işlemi yapın. \[ 2^{11} - 2^9 \]
- 💡 Adım 5: Çıkarma işlemi yapabilmek için üslü ifadeleri aynı taban ve üsse getirin. \(2^{11}\)'i \(2^9\) cinsinden yazalım. \[ 2^{11} = 2^2 \cdot 2^9 = 4 \cdot 2^9 \]
- 👉 Adım 6: İşlemi yeniden yazın ve katsayıları çıkarın. \[ 4 \cdot 2^9 - 1 \cdot 2^9 \] \[ (4 - 1) \cdot 2^9 \] \[ 3 \cdot 2^9 \]
- ✅ Sonuç: Kapta \(3 \cdot 2^9\) adet bakteri kalır.
Soru 6:
Soru 6: Bir depoda başlangıçta \(5 \cdot 3^7\) litre su bulunmaktadır. Bu depoya önce \(2 \cdot 3^6\) litre su eklenmiş, daha sonra depodan \(3^8\) litre su boşaltılmıştır. Son durumda depoda kaç litre su kalmıştır?
Çözüm:
Bu problemde ardışık ekleme ve çıkarma işlemleri yapılmaktadır.
- 💡 Adım 1: Başlangıçtaki su miktarını belirleyin: \(5 \cdot 3^7\) litre.
- 📌 Adım 2: Eklenen su miktarını ekleyin: \(2 \cdot 3^6\) litre.
Toplam su: \(5 \cdot 3^7 + 2 \cdot 3^6\)
- 👉 Adım 3: Çıkarma işlemi yapabilmek için \(3^7\)'yi \(3^6\) cinsinden yazın. \[ 5 \cdot 3^7 = 5 \cdot 3^1 \cdot 3^6 = 15 \cdot 3^6 \]
- 💡 Adım 4: Toplama işlemini yapın.
\[ 15 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^6 = (15 + 2) \cdot 3^6 = 17 \cdot 3^6 \]
Depodaki su miktarı şu an \(17 \cdot 3^6\) litredir.
- 📌 Adım 5: Depodan boşaltılan su miktarını çıkarın: \(3^8\) litre.
Kalan su: \(17 \cdot 3^6 - 3^8\)
- 👉 Adım 6: Çıkarma işlemi yapabilmek için \(3^8\)'i \(3^6\) cinsinden yazın. \[ 3^8 = 3^2 \cdot 3^6 = 9 \cdot 3^6 \]
- 💡 Adım 7: Çıkarma işlemini yapın. \[ 17 \cdot 3^6 - 9 \cdot 3^6 = (17 - 9) \cdot 3^6 = 8 \cdot 3^6 \]
- ✅ Sonuç: Son durumda depoda \(8 \cdot 3^6\) litre su kalmıştır.
Soru 7:
Soru 7: Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz.
\[ 4^5 + 2^{10} - 8^3 \]
\[ 4^5 + 2^{10} - 8^3 \]
Çözüm:
Bu işlemde tabanlar farklı gibi görünse de, hepsi 2'nin kuvveti olarak yazılabilir.
- 💡 Adım 1: Tüm terimlerin tabanlarını 2'ye dönüştürün.
- \(4^5 = (2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}\)
- \(2^{10}\) (Bu terim zaten uygun)
- \(8^3 = (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9\)
- 📌 Adım 2: İfadeyi yeniden yazın. \[ 2^{10} + 2^{10} - 2^9 \]
- 👉 Adım 3: Şimdi tüm terimleri en küçük üs olan \(2^9\)'a göre düzenleyin.
- \(2^{10} = 2^1 \cdot 2^9 = 2 \cdot 2^9\)
- 💡 Adım 4: İfadeyi düzenlenmiş haliyle tekrar yazın. \[ 2 \cdot 2^9 + 2 \cdot 2^9 - 1 \cdot 2^9 \]
- 📌 Adım 5: Ortak üslü ifade \(2^9\) olduğu için katsayıları toplayıp çıkarın. \[ (2 + 2 - 1) \cdot 2^9 \] \[ (4 - 1) \cdot 2^9 \] \[ 3 \cdot 2^9 \]
- ✅ Sonuç: İşlemin sonucu \(3 \cdot 2^9\)'dur.
Soru 8:
Soru 8: \(x \cdot 5^{n+2} - 2 \cdot 5^{n+1} = 15 \cdot 5^{n+1}\) denklemini sağlayan \(x\) değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu bir denklem sorusudur ve üslü ifadelerde toplama/çıkarma mantığını kullanarak \(x\) değerini bulmamız gerekir.
- 💡 Adım 1: Denklemin sağ tarafını sadeleştirin.
Sağ taraf zaten sadeleşmiş durumda: \(15 \cdot 5^{n+1}\)
- 📌 Adım 2: Sol taraftaki ilk terimi, ikinci terimle aynı üslü ifadeye (\(5^{n+1}\)) benzetin. \[ x \cdot 5^{n+2} = x \cdot 5^1 \cdot 5^{n+1} = 5x \cdot 5^{n+1} \]
- 👉 Adım 3: Denklemi yeniden yazın. \[ 5x \cdot 5^{n+1} - 2 \cdot 5^{n+1} = 15 \cdot 5^{n+1} \]
- 💡 Adım 4: Sol tarafı ortak çarpan olan \(5^{n+1}\) parantezine alın. \[ (5x - 2) \cdot 5^{n+1} = 15 \cdot 5^{n+1} \]
- 📌 Adım 5: Denklemin her iki tarafında da \(5^{n+1}\) çarpanı olduğu için, bu terimleri sadeleştirebiliriz (veya her iki tarafı \(5^{n+1}\)'e bölebiliriz, \(5^{n+1}\) asla sıfır olamaz). \[ 5x - 2 = 15 \]
- 👉 Adım 6: Oluşan basit lineer denklemi çözerek \(x\) değerini bulun. \[ 5x = 15 + 2 \] \[ 5x = 17 \] \[ x = \frac{17}{5} \]
- ✅ Sonuç: Denklemi sağlayan \(x\) değeri \(\frac{17}{5}\)'tir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/8-sinif-matematik-uslu-sayilarda-toplama-ve-cikarma-islemi/sorular