🎓 9. Sınıf
📚 9. Sınıf Matematik
💡 9. Sınıf Matematik: Algoritma Ve Üçgenler Çözümlü Sorular
9. Sınıf Matematik: Algoritma Ve Üçgenler Çözümlü Sorular
Soru 1:
Bir sayının pozitif mi, negatif mi yoksa sıfır mı olduğunu belirleyen bir algoritma tasarlayınız.
👉 Algoritmayı adımlar halinde yazınız.
👉 Algoritmayı adımlar halinde yazınız.
Çözüm:
Bir sayının pozitif, negatif veya sıfır olup olmadığını belirleyen algoritma adımları şunlardır:
- 💡 Adım 1: Başla.
- 📌 Adım 2: Kullanıcıdan bir \(x\) sayısı girmesini iste.
- 👉 Adım 3: Eğer \(x > 0\) ise, "Sayı Pozitiftir" yazdır.
- 👉 Adım 4: Değilse (yani \(x \le 0\) ise), bir sonraki adıma geç.
- 👉 Adım 5: Eğer \(x < 0\) ise, "Sayı Negatiftir" yazdır.
- 👉 Adım 6: Değilse (yani \(x = 0\) ise), "Sayı Sıfırdır" yazdır.
- ✅ Adım 7: Bitir.
Soru 2:
Aşağıdaki adımları verilen algoritmanın çıktısı nedir?
- Adım 1: \(A = 5\), \(B = 12\) değerlerini ata.
- Adım 2: \(C = A + B\) işlemini yap.
- Adım 3: Eğer \(C > 15\) ise, \(C\) değerini 2 katına çıkar.
- Adım 4: Değilse, \(C\) değerini 5 azalt.
- Adım 5: \(C\) değerini ekrana yazdır.
- Adım 6: Bitir.
Çözüm:
Algoritmanın adımlarını sırasıyla takip edelim:
Algoritmanın çıktısı \(34\) olacaktır.
- 💡 Adım 1: Başlangıç değerleri atanır.
\(A = 5\)
\(B = 12\) - 📌 Adım 2: \(C\) değeri hesaplanır.
\(C = A + B = 5 + 12 = 17\) - 👉 Adım 3: Koşul kontrol edilir.
\(C = 17\) olduğu için \(17 > 15\) koşulu doğrudur. Bu durumda \(C\) değeri 2 katına çıkarılır.
\(C = 17 \times 2 = 34\) - 👉 Adım 4: Önceki adımda koşul doğru olduğu için bu adım atlanır.
- ✅ Adım 5: Güncel \(C\) değeri ekrana yazdırılır.
Ekrana yazdırılacak değer: \(34\)
Algoritmanın çıktısı \(34\) olacaktır.
Soru 3:
Bir \(ABC\) üçgeninde, \(m(\widehat{A}) = 70^\circ\) ve \(m(\widehat{B}) = 50^\circ\) olduğuna göre, \(m(\widehat{C})\) kaç derecedir?
Ayrıca, \(C\) köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir?
Ayrıca, \(C\) köşesindeki dış açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm:
Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\) olduğu bilgisini kullanırız.
- 💡 İç Açıyı Bulma:
Bir \(ABC\) üçgeninde iç açılar \(m(\widehat{A})\), \(m(\widehat{B})\) ve \(m(\widehat{C})\) olsun.
Bu açıların toplamı \(180^\circ\)'dir:
\[m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\] Verilen değerleri yerine yazalım:
\[70^\circ + 50^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ\] \[120^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ\] \(m(\widehat{C})\) değerini bulmak için \(120^\circ\)'yi karşıya atarız:
\[m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\] - 📌 Dış Açıyı Bulma:
Bir köşedeki iç açı ile dış açının toplamı \(180^\circ\)'dir (doğru açı oluştururlar).
\(C\) köşesindeki iç açı \(m(\widehat{C}) = 60^\circ\) olduğuna göre, dış açısı \(m(\widehat{C_{dış}})\) şöyle bulunur:
\[m(\widehat{C}) + m(\widehat{C_{dış}}) = 180^\circ\] \[60^\circ + m(\widehat{C_{dış}}) = 180^\circ\] \[m(\widehat{C_{dış}}) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\] - ✅ Sonuç: \(m(\widehat{C}) = 60^\circ\) ve \(C\) köşesindeki dış açı \(120^\circ\)'dir.
Soru 4:
Bir \(ABC\) üçgeninde \(|AB| = |AC|\) ve \(m(\widehat{BAC}) = 80^\circ\) olarak verilmiştir. Buna göre, \(m(\widehat{ABC})\) kaç derecedir?
Çözüm:
Üçgenin ikizkenar üçgen olduğu bilgisini kullanırız.
- 💡 İkizkenar Üçgen Özelliği:
Bir üçgende iki kenar uzunluğu birbirine eşitse, bu kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir.
Soruda \(|AB| = |AC|\) verildiği için, bu kenarların karşısındaki açılar olan \(m(\widehat{C})\) ve \(m(\widehat{B})\) birbirine eşittir.
Yani, \(m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB})\) olur. - 📌 Açıları Hesaplama:
Üçgenin iç açıları toplamı \(180^\circ\)'dir:
\[m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ\] Verilen \(m(\widehat{BAC}) = 80^\circ\) ve \(m(\widehat{B}) = m(\widehat{C})\) eşitliğini kullanarak denklemi yazalım:
\[80^\circ + m(\widehat{B}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ\] \[80^\circ + 2 \cdot m(\widehat{B}) = 180^\circ\] \(80^\circ\)'yi karşıya atalım:
\[2 \cdot m(\widehat{B}) = 180^\circ - 80^\circ\] \[2 \cdot m(\widehat{B}) = 100^\circ\] Her iki tarafı 2'ye bölerek \(m(\widehat{B})\) değerini buluruz:
\[m(\widehat{B}) = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\] - ✅ Sonuç: \(m(\widehat{ABC}) = 50^\circ\) derecedir.
Soru 5:
Bir \(KLM\) üçgeninde iç açıların ölçüleri \(m(\widehat{K}) = 65^\circ\), \(m(\widehat{L}) = 45^\circ\) ve \(m(\widehat{M}) = 70^\circ\) olarak verilmiştir.
Bu üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Bu üçgenin kenar uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm:
Üçgende kenar-açı ilişkisi kuralını kullanırız.
- 💡 Kenar-Açı İlişkisi Kuralı:
Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. - 📌 Açıları Sıralama:
Verilen açıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
\(m(\widehat{L}) = 45^\circ\)
\(m(\widehat{K}) = 65^\circ\)
\(m(\widehat{M}) = 70^\circ\)
Buna göre açı sıralaması: \(m(\widehat{L}) < m(\widehat{K}) < m(\widehat{M})\) - 👉 Kenarları Sıralama:
Her açının karşısındaki kenarı belirleyelim:
\(m(\widehat{L})\) açısının karşısındaki kenar \(|KM|\) kenarıdır.
\(m(\widehat{K})\) açısının karşısındaki kenar \(|LM|\) kenarıdır.
\(m(\widehat{M})\) açısının karşısındaki kenar \(|KL|\) kenarıdır.
Açı sıralamasını kullanarak kenarları sıralarsak:
\(|KM| < |LM| < |KL|\) - ✅ Sonuç: Kenar uzunluklarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı \(|KM| < |LM| < |KL|\) şeklindedir.
Soru 6:
Kenar uzunlukları \(5\) cm ve \(12\) cm olan bir üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre, bu üçüncü kenarın alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Çözüm:
Üçgen eşitsizliği kuralını kullanırız.
Üçüncü kenarın alabileceği \(9\) farklı tam sayı değeri vardır.
- 💡 Üçgen Eşitsizliği Kuralı:
Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür. - 📌 Eşitsizliği Kurma:
Verilen kenar uzunlukları \(a = 5\) cm ve \(b = 12\) cm olsun. Üçüncü kenarın uzunluğu \(c\) olsun.
Üçgen eşitsizliğine göre \(c\) için şu bağıntı geçerlidir:
\[|a - b| < c < a + b\] Değerleri yerine yazalım:
\[|5 - 12| < c < 5 + 12\] \[|-7| < c < 17\] \[7 < c < 17\] - 👉 Tam Sayı Değerlerini Bulma:
\(c\) kenarının alabileceği tam sayı değerleri, \(7\) ile \(17\) arasındaki tam sayılardır (dahil değildir).
Bu değerler: \(8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16\). - ✅ Kaç Farklı Değer Olduğunu Hesaplama:
Bu aralıktaki tam sayı adedini bulmak için: Son değer - İlk değer + 1 formülünü kullanabiliriz (eğer sınırlar dahil olsaydı).
Ancak burada sınırlar dahil olmadığı için: \(16 - 8 + 1 = 9\) farklı tam sayı değeri vardır. Veya üst sınırdan alt sınırı çıkarıp 1 eksiltebiliriz: \(17 - 7 - 1 = 9\).
Üçüncü kenarın alabileceği \(9\) farklı tam sayı değeri vardır.
Soru 7:
Aşağıda verilen bilgilere göre, \(ABC\) ve \(DEF\) üçgenlerinin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Üçgen \(ABC\):
\(|AB| = 6\) cm
\(|BC| = 8\) cm
\(m(\widehat{B}) = 50^\circ\)
Üçgen \(DEF\):
\(|DE| = 8\) cm
\(|EF| = 6\) cm
\(m(\widehat{E}) = 50^\circ\)
Eğer eş iseler, hangi eşlik kuralına göre eş olduklarını belirtiniz.
Üçgen \(ABC\):
\(|AB| = 6\) cm
\(|BC| = 8\) cm
\(m(\widehat{B}) = 50^\circ\)
Üçgen \(DEF\):
\(|DE| = 8\) cm
\(|EF| = 6\) cm
\(m(\widehat{E}) = 50^\circ\)
Eğer eş iseler, hangi eşlik kuralına göre eş olduklarını belirtiniz.
Çözüm:
Üçgenlerin eşlik kurallarını inceleyelim.
- 💡 Üçgen Eşliği Kavramı:
İki üçgenin karşılıklı kenarları ve açıları birbirine eşitse, bu üçgenler eştir. Temel eşlik kuralları: Kenar-Açı-Kenar (KAK), Açı-Kenar-Açı (AKA), Kenar-Kenar-Kenar (KKK). - 📌 Verilen Bilgileri Karşılaştırma:
Üçgen \(ABC\):
Kenar 1: \(|AB| = 6\) cm
Açı: \(m(\widehat{B}) = 50^\circ\) (iki kenar arasındaki açı)
Kenar 2: \(|BC| = 8\) cm
Üçgen \(DEF\):
Kenar 1: \(|EF| = 6\) cm ( \(|AB|\) ile aynı uzunluk)
Açı: \(m(\widehat{E}) = 50^\circ\) (iki kenar arasındaki açı, \(m(\widehat{B})\) ile aynı ölçü)
Kenar 2: \(|DE| = 8\) cm ( \(|BC|\) ile aynı uzunluk) - 👉 Eşlik Kuralını Belirleme:
Her iki üçgende de, iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı birbirine eşittir.
\(|AB| = |EF| = 6\) cm
\(m(\widehat{B}) = m(\widehat{E}) = 50^\circ\)
\(|BC| = |DE| = 8\) cm
Bu durum Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralına uyar. - ✅ Sonuç: Evet, \(ABC\) ve \(DEF\) üçgenleri eştir. Bu eşlik Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralına göre sağlanır.
Sembolik olarak \( \triangle ABC \cong \triangle FED \) şeklinde yazılır. (Dikkat: Köşelerin sıralaması önemlidir; \(A\) karşılığı \(F\), \(B\) karşılığı \(E\), \(C\) karşılığı \(D\).)
Soru 8:
Bir navigasyon uygulaması, \(A\) noktasından \(B\) noktasına gitmek için üç farklı rota önermektedir.
Eğer \(|AP| = 7\) km, \(|PB| = 9\) km, \(|AQ| = 5\) km ve \(|QB| = 13\) km ise, Rota 1'in uzunluğu \(|AB|\) için hangi kesin bilgiye ulaşılabilir?
(Yani \(|AB|\)'nin alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulunuz.)
- Rota 1: Doğrudan \(A\) noktasından \(B\) noktasına gitmek.
- Rota 2: Önce \(A\) noktasından bir \(P\) ara noktasına, sonra \(P\) noktasından \(B\) noktasına gitmek.
- Rota 3: Önce \(A\) noktasından bir \(Q\) ara noktasına, sonra \(Q\) noktasından \(B\) noktasına gitmek.
Eğer \(|AP| = 7\) km, \(|PB| = 9\) km, \(|AQ| = 5\) km ve \(|QB| = 13\) km ise, Rota 1'in uzunluğu \(|AB|\) için hangi kesin bilgiye ulaşılabilir?
(Yani \(|AB|\)'nin alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerini bulunuz.)
Çözüm:
Bu problemde üçgen eşitsizliği kuralını iki farklı üçgen için uygulamamız gerekmektedir.
Rota 1'in uzunluğu \(|AB|\) için kesin bilgi, \(|AB|\)'nin \(8\) km'den büyük ve \(16\) km'den küçük olduğudur. Buna göre, \(|AB|\)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri \(9\) km, en büyük tam sayı değeri \(15\) km'dir.
- 💡 Üçgen Eşitsizliği Kavramı:
Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür. - 📌 Rota 2 için Üçgen \(APB\)'yi İnceleme:
\(A, P, B\) noktaları bir üçgen oluşturur. Kenar uzunlukları \(|AP| = 7\) km ve \(|PB| = 9\) km'dir.
\(|AB|\) kenarı için üçgen eşitsizliğini yazalım:
\[|9 - 7| < |AB| < 9 + 7\] \[2 < |AB| < 16\] Bu eşitsizliğe göre, \(|AB|\) uzunluğu \(2\) km'den büyük, \(16\) km'den küçüktür. - 📌 Rota 3 için Üçgen \(AQB\)'yi İnceleme:
\(A, Q, B\) noktaları da bir üçgen oluşturur. Kenar uzunlukları \(|AQ| = 5\) km ve \(|QB| = 13\) km'dir.
\(|AB|\) kenarı için üçgen eşitsizliğini yazalım:
\[|13 - 5| < |AB| < 13 + 5\] \[8 < |AB| < 18\] Bu eşitsizliğe göre, \(|AB|\) uzunluğu \(8\) km'den büyük, \(18\) km'den küçüktür. - 👉 Her İki Eşitsizliği Birleştirme:
\(|AB|\) hem \(2 < |AB| < 16\) hem de \(8 < |AB| < 18\) koşullarını sağlamalıdır.
Bu iki eşitsizliğin kesişimini alırsak:
Alt sınır için büyük olanı alırız: \( \max(2, 8) = 8\)
Üst sınır için küçük olanı alırız: \( \min(16, 18) = 16\)
Yani, \(|AB|\) için geçerli eşitsizlik:
\[8 < |AB| < 16\] - ✅ En Küçük ve En Büyük Tam Sayı Değerleri:
Bu eşitsizliğe göre, \(|AB|\)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri \(9\) km'dir.
\(|AB|\)'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri \(15\) km'dir.
Rota 1'in uzunluğu \(|AB|\) için kesin bilgi, \(|AB|\)'nin \(8\) km'den büyük ve \(16\) km'den küçük olduğudur. Buna göre, \(|AB|\)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri \(9\) km, en büyük tam sayı değeri \(15\) km'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/9-sinif-matematik-algoritma-ve-ucgenler/sorular