💡 9. Sınıf Matematik: Sıfırdan matematik Çözümlü Sorular
1
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Mantık konusuna giriş yapalım. Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz:
\( p: \) "En küçük asal sayı 2'dir." \( q: \) "Bütün tek sayıların karesi çifttir."
Çözüm ve Açıklama
Önermelerin doğruluk değerlerini belirlemek için ifadelerin doğruluğunu kontrol edelim:
p önermesi: Asal sayılar \( 2, 3, 5, 7, ... \) şeklinde devam eder. En küçük asal sayı gerçekten \( 2 \) olduğu için bu önerme doğrudur. Doğruluk değeri: \( p \equiv 1 \)
q önermesi: Bir tek sayının karesini alalım. Örneğin \( 3^2 = 9 \) veya \( 5^2 = 25 \). Sonuçlar tek sayıdır, çift değildir. Bu nedenle bu önerme yanlıştır. Doğruluk değeri: \( q \equiv 0 \)
✅ Sonuç olarak \( p \equiv 1 \) ve \( q \equiv 0 \) bulunur.
2
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Bileşik Önermeler:
\( p \equiv 1 \) ve \( q \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıda verilen bileşik önermenin sonucunu bulunuz: \[ (p \wedge q) \vee p' \]
Çözüm ve Açıklama
Adım adım ilerleyerek sonucu bulalım:
Öncelikle \( p' \) (p'nin değili) değerini bulalım: \( p \equiv 1 \) ise \( p' \equiv 0 \) olur.
Parantez içindeki işlemi yapalım: \( (p \wedge q) \rightarrow (1 \wedge 0) = 0 \) (Ve bağlacında bir tane bile 0 varsa sonuç 0 olur).
💡 Not: Veya bağlacında sonucun 1 olması için en az bir tane 1 gereklidir. Burada her iki taraf da 0 olduğu için sonuç 0'dır.
3
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Kümeler:
\( A = \{a, b, \{c, d\}, e\} \) kümesi veriliyor. Bu kümenin eleman sayısını ve alt küme sayısını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Küme elemanlarını sayarken parantez içindeki gruplara dikkat etmeliyiz:
Eleman Sayısı: Kümenin elemanları \( a \), \( b \), \( \{c, d\} \) ve \( e \) harfleridir. Burada \( \{c, d\} \) tek bir eleman olarak sayılır. Bu durumda \( s(A) = 4 \) olur.
Alt Küme Sayısı: Alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile hesaplanır. Burada \( n = 4 \) olduğuna göre: \[ 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \]
✨ Kümenin 16 tane alt kümesi vardır.
4
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Küme İşlemleri:
\( A \) ve \( B \) iki küme olmak üzere; \( s(A) = 12 \) \( s(B) = 8 \) \( s(A \cap B) = 3 \) olduğuna göre, \( A \cup B \) (A birleşim B) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için standart formülümüzü kullanalım:
Formül: \( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)
Verilen değerleri yerleştirelim: \[ s(A \cup B) = 12 + 8 - 3 \]
Dört basamaklı \( 5a2b \) sayısı hem 5 ile hem de 3 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayının çift sayı olduğu bilindiğine göre, \( a \) yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Şartları tek tek inceleyelim:
5 ile bölünebilme: Sayının son basamağı (\( b \)) ya 0 ya da 5 olmalıdır.
Çift sayı şartı: Sayı çift olduğu için \( b = 5 \) olamaz. Bu durumda kesinlikle \( b = 0 \) olmalıdır. Sayımız \( 5a20 \) halini aldı.
3 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 3'ün katı olmalıdır. \[ 5 + a + 2 + 0 = 7 + a \]
\( 7 + a \) ifadesinin 3'ün katı olması için \( a \) rakamı şunlar olabilir: \( a = 2 \) (çünkü \( 7+2=9 \)) \( a = 5 \) (çünkü \( 7+5=12 \)) \( a = 8 \) (çünkü \( 7+8=15 \))
Toplam: \( 2 + 5 + 8 = 15 \)
🚀 \( a \) yerine yazılabilecek rakamların toplamı \( 15 \) olur.
7
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Yüzde Problemleri:
Bir mağazada fiyatı 400 TL olan bir cekete önce %20 indirim yapılıyor. Daha sonra indirimli fiyat üzerinden %10 daha indirim yapılıyor. Ceketin son satış fiyatı kaç TL olur?
2. İndirim: Yeni fiyat olan 320 TL üzerinden %10 indirim yapalım. \[ 320 \times 10 / 100 = 32 \text{ TL indirim} \] Son fiyat: \( 320 - 32 = 288 \text{ TL} \)
💰 Ceketin son satış fiyatı 288 TL'dir.
8
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Eşitsizlikler:
Bir taksi durağında taksimetre açılış ücreti 15 TL'dir. Gidilen her kilometre için ise 6 TL ücret alınmaktadır. Cebinde 100 TL parası olan bir kişi, taksi ile en fazla kaç tam kilometre yol gidebilir?
Çözüm ve Açıklama
Gidilen kilometreye \( x \) diyelim ve eşitsizliğimizi kuralım:
Her iki tarafı 6'ya bölelim: \[ x \leq 85 / 6 \] \[ x \leq 14.16... \]
\( x \) bir tam sayı olacağına göre, bu kişi en fazla 14 kilometre gidebilir.
🚖 15 kilometre giderse ücret 105 TL tutar ve parası yetmez. Bu yüzden cevap 14'tür.
9. Sınıf Matematik: Sıfırdan matematik Çözümlü Sorular
Soru 1:
Mantık konusuna giriş yapalım. Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz:
\( p: \) "En küçük asal sayı 2'dir." \( q: \) "Bütün tek sayıların karesi çifttir."
Çözüm:
Önermelerin doğruluk değerlerini belirlemek için ifadelerin doğruluğunu kontrol edelim:
p önermesi: Asal sayılar \( 2, 3, 5, 7, ... \) şeklinde devam eder. En küçük asal sayı gerçekten \( 2 \) olduğu için bu önerme doğrudur. Doğruluk değeri: \( p \equiv 1 \)
q önermesi: Bir tek sayının karesini alalım. Örneğin \( 3^2 = 9 \) veya \( 5^2 = 25 \). Sonuçlar tek sayıdır, çift değildir. Bu nedenle bu önerme yanlıştır. Doğruluk değeri: \( q \equiv 0 \)
✅ Sonuç olarak \( p \equiv 1 \) ve \( q \equiv 0 \) bulunur.
Soru 2:
Bileşik Önermeler:
\( p \equiv 1 \) ve \( q \equiv 0 \) olduğuna göre, aşağıda verilen bileşik önermenin sonucunu bulunuz: \[ (p \wedge q) \vee p' \]
Çözüm:
Adım adım ilerleyerek sonucu bulalım:
Öncelikle \( p' \) (p'nin değili) değerini bulalım: \( p \equiv 1 \) ise \( p' \equiv 0 \) olur.
Parantez içindeki işlemi yapalım: \( (p \wedge q) \rightarrow (1 \wedge 0) = 0 \) (Ve bağlacında bir tane bile 0 varsa sonuç 0 olur).
💡 Not: Veya bağlacında sonucun 1 olması için en az bir tane 1 gereklidir. Burada her iki taraf da 0 olduğu için sonuç 0'dır.
Soru 3:
Kümeler:
\( A = \{a, b, \{c, d\}, e\} \) kümesi veriliyor. Bu kümenin eleman sayısını ve alt küme sayısını bulunuz.
Çözüm:
Küme elemanlarını sayarken parantez içindeki gruplara dikkat etmeliyiz:
Eleman Sayısı: Kümenin elemanları \( a \), \( b \), \( \{c, d\} \) ve \( e \) harfleridir. Burada \( \{c, d\} \) tek bir eleman olarak sayılır. Bu durumda \( s(A) = 4 \) olur.
Alt Küme Sayısı: Alt küme sayısı \( 2^n \) formülü ile hesaplanır. Burada \( n = 4 \) olduğuna göre: \[ 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \]
✨ Kümenin 16 tane alt kümesi vardır.
Soru 4:
Küme İşlemleri:
\( A \) ve \( B \) iki küme olmak üzere; \( s(A) = 12 \) \( s(B) = 8 \) \( s(A \cap B) = 3 \) olduğuna göre, \( A \cup B \) (A birleşim B) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
Çözüm:
Birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için standart formülümüzü kullanalım:
Formül: \( s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) \)
Verilen değerleri yerleştirelim: \[ s(A \cup B) = 12 + 8 - 3 \]
Dört basamaklı \( 5a2b \) sayısı hem 5 ile hem de 3 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayının çift sayı olduğu bilindiğine göre, \( a \) yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm:
Şartları tek tek inceleyelim:
5 ile bölünebilme: Sayının son basamağı (\( b \)) ya 0 ya da 5 olmalıdır.
Çift sayı şartı: Sayı çift olduğu için \( b = 5 \) olamaz. Bu durumda kesinlikle \( b = 0 \) olmalıdır. Sayımız \( 5a20 \) halini aldı.
3 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı 3'ün katı olmalıdır. \[ 5 + a + 2 + 0 = 7 + a \]
\( 7 + a \) ifadesinin 3'ün katı olması için \( a \) rakamı şunlar olabilir: \( a = 2 \) (çünkü \( 7+2=9 \)) \( a = 5 \) (çünkü \( 7+5=12 \)) \( a = 8 \) (çünkü \( 7+8=15 \))
Toplam: \( 2 + 5 + 8 = 15 \)
🚀 \( a \) yerine yazılabilecek rakamların toplamı \( 15 \) olur.
Soru 7:
Yüzde Problemleri:
Bir mağazada fiyatı 400 TL olan bir cekete önce %20 indirim yapılıyor. Daha sonra indirimli fiyat üzerinden %10 daha indirim yapılıyor. Ceketin son satış fiyatı kaç TL olur?
2. İndirim: Yeni fiyat olan 320 TL üzerinden %10 indirim yapalım. \[ 320 \times 10 / 100 = 32 \text{ TL indirim} \] Son fiyat: \( 320 - 32 = 288 \text{ TL} \)
💰 Ceketin son satış fiyatı 288 TL'dir.
Soru 8:
Eşitsizlikler:
Bir taksi durağında taksimetre açılış ücreti 15 TL'dir. Gidilen her kilometre için ise 6 TL ücret alınmaktadır. Cebinde 100 TL parası olan bir kişi, taksi ile en fazla kaç tam kilometre yol gidebilir?
Çözüm:
Gidilen kilometreye \( x \) diyelim ve eşitsizliğimizi kuralım: