💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar Çözümlü Sorular

• 💡 Tanım Kümesindeki Her Eleman Eşlenmeli: Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir görüntüsü olmalı.
• 💡 Tanım Kümesindeki Her Eleman Yalnızca Bir Elemanla Eşlenmeli: Tanım kümesindeki bir elemanın birden fazla görüntüsü olmamalı.

• 👉 a) \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, f(x) = \frac{x-1}{2}\)
  • 📌 Tanım kümesi doğal sayılar (\(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}\)).
  • Eğer \(x=0\) alırsak, \(f(0) = \frac{0-1}{2} = -\frac{1}{2}\) olur. \(-\frac{1}{2}\) bir tam sayı (\(\mathbb{Z}\)) değildir. Bu nedenle tanım kümesindeki bazı elemanların değer kümesinde görüntüsü yoktur. ❌
• 👉 b) \(g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, g(x) = x^2\)
  • 📌 Tanım kümesi tam sayılar (\(\mathbb{Z}\)). Değer kümesi doğal sayılar (\(\mathbb{N}\)).
  • Eğer \(x\) bir tam sayı ise, \(x^2\) her zaman bir doğal sayı (\(\mathbb{N}\)) olur (örneğin \(g(-2) = (-2)^2 = 4 \in \mathbb{N}\)).
  • Ancak, tanım kümesindeki her eleman eşlenmeli. Burada bir sorun yok gibi görünüyor, çünkü her tam sayının karesi bir doğal sayıdır. Ancak değer kümesi doğal sayılar. Bir tam sayının karesi her zaman bir doğal sayıdır. Bu seçenek bir fonksiyon belirtir. ✅
• 👉 c) \(h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x) = \sqrt{x}\)
  • 📌 Tanım kümesi reel sayılar (\(\mathbb{R}\)).
  • Eğer \(x < 0\) ise, \(\sqrt{x}\) reel sayı olmaz (örneğin \(\sqrt{-4}\) reel sayı değildir). Bu nedenle tanım kümesindeki negatif reel sayıların görüntüsü yoktur. ❌
• 👉 d) \(k: \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}, k(x) = \frac{3x+1}{x-2}\)
  • 📌 Tanım kümesi tam sayılar (\(\mathbb{Z}\)).
  • Eğer \(x=2\) alırsak, payda \(x-2 = 2-2 = 0\) olur ve ifade tanımsız olur. Bu nedenle \(x=2\) elemanının görüntüsü yoktur. ❌
• 👉 e) \(m: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, m(x) = x^3 - 5\)
  • 📌 Tanım kümesi reel sayılar (\(\mathbb{R}\)).
  • Her reel sayının küpü ve 5 eksiği yine bir reel sayıdır. Yani tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir görüntüsü vardır ve bu görüntü tektir. Bu seçenek de bir fonksiyon belirtir. ✅

Soruda "hangisi bir fonksiyon belirtir" dendiği için genellikle tek doğru cevap beklenir. Ancak b ve e seçenekleri de fonksiyon belirtir. Eğer soru tek bir doğru cevap bekliyorsa, genellikle en temel ve kapsayıcı olan seçilir veya soru kökünde "en geniş tanım kümesine sahip" gibi bir ibare olur. Bu durumda e) seçeneği reel sayılardan reel sayılara giden ve her noktada tanımlı, tek değerli bir fonksiyondur. B seçeneğinde \(\mathbb{Z} \to \mathbb{N}\) geçişi tam sayılardan doğal sayılara olduğundan ve her tam sayının karesi bir doğal sayı olduğundan bu da bir fonksiyondur. Ancak genellikle polinomlar \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) en bilinen fonksiyon örnekleridir. Eğer tek cevap aranıyorsa, e seçeneği daha tipik bir örnektir.

Cevap: e)

• 💡 \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)
• 💡 \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)

• 👉 \( (f+g)(2) \) değerini bulalım:
  • Önce \(f(2)\) değerini bulalım: \(f(2) = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1\).
  • Sonra \(g(2)\) değerini bulalım: \(g(2) = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5\).
  • Şimdi bu değerleri toplayalım: \( (f+g)(2) = f(2) + g(2) = 1 + 5 = 6\).
  • ✅ Yani, \( (f+g)(2) = 6 \).
• 👉 \( (f \cdot g)(1) \) değerini bulalım:
  • Önce \(f(1)\) değerini bulalım: \(f(1) = 3(1) - 5 = 3 - 5 = -2\).
  • Sonra \(g(1)\) değerini bulalım: \(g(1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2\).
  • Şimdi bu değerleri çarpalım: \( (f \cdot g)(1) = f(1) \cdot g(1) = (-2) \cdot (2) = -4\).
  • ✅ Yani, \( (f \cdot g)(1) = -4 \).

Cevap: \( (f+g)(2) = 6 \) ve \( (f \cdot g)(1) = -4 \).

• 💡 Adım 1: \(f(x)\) yerine \(y\) yazılır.
• 💡 Adım 2: \(x\) yalnız bırakılır.
• 💡 Adım 3: \(x\) yerine \(f^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazılır.

• 👉 Adım 1: Fonksiyonu \(y = 2x - 7\) şeklinde yazalım.
• 👉 Adım 2: \(x\) yalnız bırakalım:
  • \(y = 2x - 7\)
  • \(y + 7 = 2x\)
  • \(x = \frac{y+7}{2}\)
• 👉 Adım 3: \(x\) yerine \(f^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazalım:
  • \(f^{-1}(x) = \frac{x+7}{2}\)

✅ Böylece \(f(x) = 2x - 7\) fonksiyonunun tersi \(f^{-1}(x) = \frac{x+7}{2}\) olarak bulunur.

Cevap: \(f^{-1}(x) = \frac{x+7}{2}\)

• 💡 \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
• 💡 \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)

• 👉 \( (f \circ g)(x) \) değerini bulalım:
  • \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \) demektir.
  • Burada \(g(x)\) ifadesini \(f(x)\) fonksiyonunda \(x\) yerine yazacağız.
  • \(f(x) = x+3\) ve \(g(x) = x^2 - 1\).
  • \(f(g(x)) = f(x^2 - 1)\).
  • \(f(x^2 - 1) = (x^2 - 1) + 3 = x^2 + 2\).
  • ✅ Yani, \( (f \circ g)(x) = x^2 + 2 \).
• 👉 \( (g \circ f)(x) \) değerini bulalım:
  • \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \) demektir.
  • Burada \(f(x)\) ifadesini \(g(x)\) fonksiyonunda \(x\) yerine yazacağız.
  • \(f(x) = x+3\) ve \(g(x) = x^2 - 1\).
  • \(g(f(x)) = g(x+3)\).
  • \(g(x+3) = (x+3)^2 - 1\).
  • Tam kare ifadeyi açalım: \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\).
  • \(g(x+3) = x^2 + 6x + 9 - 1 = x^2 + 6x + 8\).
  • ✅ Yani, \( (g \circ f)(x) = x^2 + 6x + 8 \).

Cevap: \( (f \circ g)(x) = x^2 + 2 \) ve \( (g \circ f)(x) = x^2 + 6x + 8 \).

• 💡 Verilenler:
  • Fonksiyon: \(f(x) = 150 - 0.5x\), burada \(x\) yolcu sayısı ve \(f(x)\) bilet fiyatıdır.
  • İstenen bilet fiyatı: 75 TL.
• 👉 Denklemi kuralım:
  • Bilet fiyatı 75 TL olduğuna göre, \(f(x) = 75\) olmalıdır.
  • Yani, \(150 - 0.5x = 75\) denklemini çözmemiz gerekiyor.
• 👉 Denklemi çözelim:
  • \(150 - 0.5x = 75\)
  • Her iki taraftan 150 çıkaralım: \(-0.5x = 75 - 150\)
  • \(-0.5x = -75\)
  • Her iki tarafı \(-0.5\) (veya \(-1/2\)) ile bölelim: \(x = \frac{-75}{-0.5}\)
  • \(x = \frac{75}{0.5}\)
  • \(x = 75 \cdot 2\)
  • \(x = 150\)

✅ Buna göre, bilet fiyatının 75 TL olduğu durumda otobüste 150 yolcu bulunmaktadır.

Cevap: 150 yolcu.

• 👉 \(f(-2)\) değerini bulalım:
  • Grafikte \(x = -2\) noktasına baktığımızda, fonksiyonun bu noktada \(x\) eksenini kestiğini görüyoruz.
  • Bu durumda, \(f(-2) = 0\) olur.
• 👉 \(f(0)\) değerini bulalım:
  • Grafikte \(x = 0\) noktasına baktığımızda (yani \(y\) eksenini kestiği nokta), fonksiyonun \(y\) eksenini 1 noktasında kestiğini görüyoruz.
  • Bu durumda, \(f(0) = 1\) olur.
• 👉 \(f(4)\) değerini bulalım:
  • Grafikte \(x = 4\) noktasına baktığımızda, fonksiyonun bu noktada yine \(x\) eksenini kestiğini görüyoruz.
  • Bu durumda, \(f(4) = 0\) olur.
• 👉 Sonuçları toplayalım:
  • \(f(-2) + f(0) + f(4) = 0 + 1 + 0 = 1\).

✅ İşlemin sonucu 1'dir.

Cevap: 1

• 💡 Parçalı fonksiyonu tanımlayalım:
  • Eğer adım sayısı \(x \le 5000\) ise, harcanan kalori \(0.05x\) olur.
  • Eğer adım sayısı \(x > 5000\) ise, ilk 5000 adım için \(0.05 \cdot 5000\) kalori ve kalan \((x-5000)\) adım için \(0.08 \cdot (x-5000)\) kalori harcanır.
• 👉 \(K(x)\) fonksiyonunu yazalım: \[ K(x) = \begin{cases} 0.05x & \text{eğer } x \le 5000 \\ 0.05 \cdot 5000 + 0.08 \cdot (x-5000) & \text{eğer } x > 5000 \end{cases} \] İkinci durumu biraz daha sadeleştirelim: \(0.05 \cdot 5000 = 250\) \(K(x) = 250 + 0.08x - 0.08 \cdot 5000\) \(K(x) = 250 + 0.08x - 400\) \(K(x) = 0.08x - 150\) Yani, parçalı fonksiyon: \[ K(x) = \begin{cases} 0.05x & \text{eğer } x \le 5000 \\ 0.08x - 150 & \text{eğer } x > 5000 \end{cases} \]
• 👉 Günde 7000 adım atan bir kişinin harcadığı kaloriyi bulalım:
  • \(x = 7000\) olduğu için, fonksiyonun ikinci kuralını kullanmamız gerekir (çünkü \(7000 > 5000\)).
  • \(K(7000) = 0.08 \cdot 7000 - 150\)
  • \(K(7000) = 560 - 150\)
  • \(K(7000) = 410\)

✅ Günde 7000 adım atan bir kişi 410 kalori harcamış olur.

Cevap: \(K(x)\) fonksiyonu yukarıda verilmiştir. 7000 adımda harcanan kalori: 410.

• 💡 Yani, \(f(x) = x\) olmalıdır.
• Bu durumda, \(f(x) = (a-2)x + b+1\) fonksiyonunun \(x\) katsayısı 1'e eşit olmalı ve sabit terimi 0'a eşit olmalıdır.

• 👉 \(x\) katsayısı 1 olmalı:
  • \(a-2 = 1\)
  • \(a = 1+2\)
  • \(a = 3\)
• 👉 Sabit terim 0 olmalı:
  • \(b+1 = 0\)
  • \(b = -1\)
• 👉 \(a \cdot b\) çarpımını hesaplayalım:
  • \(a \cdot b = 3 \cdot (-1)\)
  • \(a \cdot b = -3\)

✅ \(a \cdot b\) çarpımının değeri -3'tür.

Cevap: -3