💡 10. Sınıf Matematik: Sayma ve Olasılık Çözümlü Sorular

• 📌 Çorba seçimi için 4 farklı seçenek vardır.
• 📌 Ana yemek seçimi için 5 farklı seçenek vardır.
• 📌 Tatlı seçimi için 3 farklı seçenek vardır.

👉 Bu üç seçimin hepsi aynı anda yapıldığı için, toplam seçenek sayısı bu sayıların çarpımı ile bulunur.

✅ Yani, müşteri menüsünü 60 farklı şekilde oluşturabilir.

• 📌 Öncelikle "MATEMATİK" kelimesindeki toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleyelim.
• 👉 Kelime 9 harflidir.
• 👉 Tekrar eden harfler:
• M harfi 2 kez tekrar ediyor.
• A harfi 2 kez tekrar ediyor.
• T harfi 2 kez tekrar ediyor.
• E, İ, K harfleri 1'er kez tekrar ediyor.

👉 Tekrarlı permütasyon formülü \( \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} \) şeklindedir.

Burada \( n \) toplam harf sayısı, \( n_1, n_2, \dots \) ise tekrar eden harflerin tekrar sayılarıdır.

✅ "MATEMATİK" kelimesinin harfleri yer değiştirilerek 45360 farklı kelime yazılabilir.

• 📌 Öncelikle, toplam olası durum sayısını bulalım (örnek uzayın eleman sayısı).
• 👉 Toplam öğrenci sayısı \( 5 + 4 = 9 \) kişidir.
• 👉 Bu 9 kişiden 3 kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir? Bu, kombinasyon formülü \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) ile hesaplanır.
\[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84 \]
• 📌 Şimdi de istenen durum sayısını bulalım (olayın eleman sayısı).
• 👉 Komisyonda 2 kız ve 1 erkek öğrenci olması isteniyor.
• 5 kız arasından 2 kız seçimi: \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
• 4 erkek arasından 1 erkek seçimi: \( C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4 \)
• 👉 Bu iki seçimin birlikte gerçekleşmesi için çarpma ilkesi kullanılır: \( 10 \times 4 = 40 \)
• 📌 Son olarak, olasılığı hesaplayalım. Olasılık = (İstenen durum sayısı) / (Toplam durum sayısı)
\[ P(\text{2 kız, 1 erkek}) = \frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Toplam durum sayısı}} = \frac{40}{84} \]

👉 Bu kesri sadeleştirelim. Her iki tarafı 4'e bölebiliriz:

\[ \frac{40 \div 4}{84 \div 4} = \frac{10}{21} \]

✅ Komisyonda 2 kız ve 1 erkek öğrenci bulunma olasılığı \( \frac{10}{21} \)'dir.

• 📌 Öncelikle, başkan seçimi için kaç farklı seçenek olduğunu düşünelim.
• 👉 12 öğrenci arasından herhangi biri başkan olabilir, yani 12 farklı başkan adayı vardır.
• 📌 Başkan seçildikten sonra, kalan öğrenciler arasından başkan yardımcısı seçilecektir.
• 👉 Geriye \( 12 - 1 = 11 \) öğrenci kaldığı için, başkan yardımcısı için 11 farklı seçenek vardır.

👉 Başkan ve başkan yardımcısının seçimi ardışık olaylar olduğu için, toplam seçim sayısı bu seçeneklerin çarpımı ile bulunur.

📌 Alternatif olarak, bu bir permütasyon problemidir (\( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)).

✅ Başkan ve başkan yardımcısı 132 farklı şekilde seçilebilir.

• 📌 Senaryo 1: Müşteri ana yemek olarak "ızgara köfte" seçerse.
• 👉 Başlangıç seçeneği: 3 farklı seçenek.
• 👉 Ana yemek seçeneği: Sadece 1 (ızgara köfte).
• 👉 Tatlı seçeneği: Tüm tatlılar serbest (2 farklı tatlı).
• 👉 Bu senaryo için menü sayısı: \( 3 \times 1 \times 2 = 6 \)
• 📌 Senaryo 2: Müşteri ana yemek olarak "ızgara köfte" dışında bir ana yemek seçerse.
• 👉 Başlangıç seçeneği: 3 farklı seçenek.
• 👉 Ana yemek seçeneği: Toplam 4 ana yemek vardı, ızgara köfte hariç \( 4 - 1 = 3 \) farklı seçenek.
• 👉 Tatlı seçeneği: Tüm tatlılar serbest (2 farklı tatlı).
• 👉 Bu senaryo için menü sayısı: \( 3 \times 3 \times 2 = 18 \)

👉 Toplam farklı menü sayısı, bu iki senaryonun toplamıdır, çünkü bu senaryolar birbirini dışlar (aynı anda gerçekleşemezler).

✅ Bu koşullara göre 24 farklı menü oluşturulabilir.

• 📌 Öncelikle torbadaki toplam top sayısını bulalım.
• 👉 Toplam top sayısı: \( 5 + 3 + 2 = 10 \)
• 📌 Şimdi, kırmızı top çekme olasılığını hesaplayalım.
• 👉 Kırmızı top sayısı: 5
• 👉 Kırmızı top çekme olasılığı: \( P(\text{Kırmızı}) = \frac{\text{Kırmızı top sayısı}}{\text{Toplam top sayısı}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
• 📌 Ardından, yeşil top çekme olasılığını hesaplayalım.
• 👉 Yeşil top sayısı: 2
• 👉 Yeşil top çekme olasılığı: \( P(\text{Yeşil}) = \frac{\text{Yeşil top sayısı}}{\text{Toplam top sayısı}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
• 📌 "Kırmızı veya yeşil" olma olasılığı, bu iki olayın birbirini dışlayan (aynı anda gerçekleşemeyen) olaylar olması nedeniyle olasılıklarının toplamıdır.
\[ P(\text{Kırmızı veya Yeşil}) = P(\text{Kırmızı}) + P(\text{Yeşil}) \] \[ P(\text{Kırmızı veya Yeşil}) = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} \] \[ P(\text{Kırmızı veya Yeşil}) = \frac{7}{10} \]

✅ Çekilen topun kırmızı veya yeşil olma olasılığı \( \frac{7}{10} \)'dur.

• 📌 Sayı 3 basamaklı olduğundan, yüzler, onlar ve birler basamağı olacaktır. \( \_ \_ \_ \)
• 📌 Öncelikle, en kısıtlayıcı koşul olan "tek sayı" olma durumunu inceleyelim. Bir sayının tek olması için birler basamağının tek rakam olması gerekir.
• 👉 \( A \) kümesindeki tek rakamlar: \( \{1, 3, 5\} \). Yani birler basamağı için 3 farklı seçenek vardır.
• 📌 Şimdi yüzler basamağını inceleyelim. Yüzler basamağına 0 gelemez ve rakamlar farklı olmalıdır.
• 👉 Eğer birler basamağına bir tek rakam (örneğin 1) yazıldıysa, kümede geriye 5 eleman kalır. Ancak 0 yüzler basamağına gelemeyeceği için, yüzler basamağına yazılabilecek eleman sayısı \( (6 - 1 \text{ (birler basamağı için kullanılan)} - 1 \text{ (0 rakamı)}) = 4 \) olur.
• 📌 Son olarak, onlar basamağını inceleyelim. Rakamları farklı olmalıdır.
• 👉 Yüzler ve birler basamağına birer rakam yazıldığı için geriye \( 6 - 2 = 4 \) eleman kalır. Bu 4 eleman arasından herhangi biri onlar basamağına yazılabilir. Yani 4 farklı seçenek vardır.

👉 Bu seçimleri çarpma yoluyla birleştirelim:

\[ \text{Yüzler Basamağı} \times \text{Onlar Basamağı} \times \text{Birler Basamağı} \] \[ 4 \times 4 \times 3 = 48 \]

✅ Bu kümenin elemanları kullanılarak rakamları farklı, 3 basamaklı ve tek 48 farklı sayı yazılabilir.

• 📌 Öncelikle, toplam olası durum sayısını bulalım (örnek uzayın eleman sayısı).
• 👉 Toplam öğrenci sayısı 20'dir. Bu 20 öğrenciden 2 öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?
\[ C(20, 2) = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 10 \times 19 = 190 \]
• 📌 Şimdi de istenen durum sayısını bulalım (olayın eleman sayısı).
• 👉 Seçilen 2 öğrencinin de kız olması isteniyor. Sınıfta 12 kız öğrenci vardır.
• 👉 12 kız öğrenci arasından 2 kız öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?
\[ C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66 \]
• 📌 Son olarak, olasılığı hesaplayalım. Olasılık = (İstenen durum sayısı) / (Toplam durum sayısı)
\[ P(\text{2 kız öğrenci}) = \frac{\text{İstenen durum sayısı}}{\text{Toplam durum sayısı}} = \frac{66}{190} \]

👉 Bu kesri sadeleştirelim. Her iki tarafı 2'ye bölebiliriz:

\[ \frac{66 \div 2}{190 \div 2} = \frac{33}{95} \]

✅ Seçilen 2 öğrencinin de kız olma olasılığı \( \frac{33}{95} \)'tir.