📄 10. Sınıf Matematik: Permütasyon Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

"KALABALIK" kelimesi 9 harften oluşmaktadır. Bu harflerden K harfi 2 kez, A harfi 3 kez, L harfi 2 kez ve B, I harfleri birer kez tekrar etmektedir. Tekrarlı permütasyon formülünü kullanarak bu kelimelerin sayısını bulabiliriz. Formül \(\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}\) şeklindedir. Burada \(n\) toplam harf sayısı, \(n_i\) ise tekrar eden harflerin sayısıdır.
Buna göre;
Toplam harf sayısı \(n = 9\).
K harfi \(n_K = 2\) kez tekrar eder.
A harfi \(n_A = 3\) kez tekrar eder.
L harfi \(n_L = 2\) kez tekrar eder.
B harfi \(n_B = 1\) kez tekrar eder.
I harfi \(n_I = 1\) kez tekrar eder.
Yazılabilecek kelime sayısı:
\(\frac{9!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1!} = \frac{362880}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1} = \frac{362880}{24} = 15120\) farklı kelime yazılabilir.

💡 Çözüm Adımları:

a) Toplamda \(5+3 = 8\) farklı kitap vardır. Bu 8 farklı kitap bir rafa \(8!\) farklı şekilde dizilebilir.
\(8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320\) farklı şekilde dizilebilir.

b) Matematik kitapları bir arada olmak koşuluyla dizilimi inceleyelim.
5 matematik kitabını bir bütün (bir blok) olarak düşünelim. Bu durumda elimizde 1 matematik kitapları bloğu ve 3 fizik kitabı olmak üzere toplam \(1+3 = 4\) farklı eleman varmış gibi olur. Bu 4 eleman \(4!\) farklı şekilde dizilebilir.
Ancak, matematik kitapları kendi aralarında da yer değiştirebilir. 5 matematik kitabı kendi aralarında \(5!\) farklı şekilde sıralanabilir.
Bu nedenle, matematik kitapları bir arada olmak koşuluyla toplam diziliş sayısı \(4! \times 5!\) olacaktır.
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
Toplam diziliş sayısı: \(24 \times 120 = 2880\) farklı şekilde dizilebilir.

💡 Çözüm Adımları:

Bu problem, 6 aday arasından 3 farklı pozisyona yapılacak sıralı atamayı ifade eder. Yani bir permütasyon problemidir.
Müdür pozisyonu için 6 adaydan biri seçilebilir.
Müdür yardımcısı pozisyonu için kalan 5 adaydan biri seçilebilir.
Rehber öğretmen pozisyonu için kalan 4 adaydan biri seçilebilir.
Bu durum, çarpma yoluyla sayma ilkesiyle \(6 \times 5 \times 4\) olarak hesaplanabilir.
\(6 \times 5 \times 4 = 120\) farklı şekilde atama yapılabilir.
Permütasyon formülü ile de çözebiliriz:
\(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\) formülünde \(n = 6\) (toplam aday sayısı) ve \(r = 3\) (pozisyon sayısı) değerlerini yerine koyarız.
\(P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120\).
Dolayısıyla, 120 farklı şekilde atama yapılabilir.