💡 10. Sınıf Matematik: Permütasyon Çözümlü Sorular

Bu soruyu çözmek için önce faktöriyelleri ayrı ayrı hesaplayıp sonra toplamamız gerekiyor. İşte adımlar:

• 👉 Öncelikle \(5!\) değerini bulalım:
  \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
• 👉 Ardından \(3!\) değerini hesaplayalım:
  \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
• 👉 Son olarak, bulduğumuz bu iki değeri toplayalım:
  \(120 + 6 = 126\)

✅ Yani, \(5! + 3!\) işleminin sonucu 126'dır.

Bu bir sıralama (permütasyon) problemidir. Elimizde 3 farklı kitap var ve hepsini rafa dizeceğiz.

• 📌 Birinci kitap için 3 farklı yer seçeneği vardır.
• 📌 İkinci kitap için, birinci kitap yerleştiği için geriye 2 farklı yer seçeneği kalır.
• 📌 Üçüncü kitap için ise geriye sadece 1 yer seçeneği kalır.

Bu durumda, kitapların diziliş sayısı faktöriyel ile bulunur:
\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \] ✅ Üç farklı kitap, bir rafa 6 farklı şekilde dizilebilir.

Bu problemde hem seçim hem de sıralama (görevlendirme) söz konusu olduğu için permütasyon kullanacağız. Çünkü başkan ve başkan yardımcısı olmak farklı görevlerdir, yani sıralama önemlidir.
\(n\) farklı eleman arasından \(r\) tanesinin seçilip sıralanması \(P(n, r)\) formülü ile hesaplanır:
\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \] Burada \(n=7\) (toplam öğrenci sayısı) ve \(r=2\) (seçilecek kişi sayısı) 'dir.

• 👉 Formülü uygulayalım:
  \[ P(7, 2) = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} \]
• 👉 Faktöriyelleri açarak sadeleştirelim:
  \[ P(7, 2) = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] \[ P(7, 2) = 7 \times 6 = 42 \]

✅ Yani, 7 öğrenci arasından başkan ve başkan yardımcısı 42 farklı şekilde seçilip görevlendirilebilir.

Bu soruda verilen kümenin elemanları ile üç basamaklı, rakamları farklı sayılar oluşturacağız. Rakamların farklı olması ve basamak sırasının önemli olması, bu sorunun bir permütasyon problemi olduğunu gösterir.

• 📌 Yüzler basamağı için: A kümesinde 5 farklı eleman olduğu için 5 seçeneğimiz var.
• 📌 Onlar basamağı için: Rakamlar farklı olacağı için yüzler basamağında kullandığımız elemanı bir daha kullanamayız. Geriye 4 eleman kalır, yani 4 seçeneğimiz var.
• 📌 Birler basamağı için: Yüzler ve onlar basamağında kullandığımız elemanları kullanamayız. Geriye 3 eleman kalır, yani 3 seçeneğimiz var.

Bu durumda toplam sayı adedi bu seçeneklerin çarpımı olacaktır:
\[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \] 👉 Alternatif olarak, \(P(n, r)\) formülünü de kullanabiliriz. Burada \(n=5\) (kümenin eleman sayısı) ve \(r=3\) (basamak sayısı) 'tür.
\[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \] ✅ A kümesinin elemanları kullanılarak rakamları farklı 60 farklı üç basamaklı doğal sayı yazılabilir.

Bu tür koşullu permütasyon sorularında, koşulu sağlayan elemanları tek bir birim gibi düşünebiliriz.

• 📌 Koşul: "T" harfi "P" harfinin hemen sağında yer alacak. Bu durumda "PT" ikilisini ayrılmaz bir blok gibi düşünmeliyiz.
• 📌 Kelimemiz "KİTAP". Harfler: K, İ, T, A, P.
• 📌 "PT" bloğunu tek bir harf gibi düşünürsek, elimizde yeni "harfler" şunlar olur: K, İ, A, (PT).
• 📌 Artık elimizde 4 farklı "birim" var ve bu 4 birimi kendi aralarında sıralayacağız.
• 📌 Bu 4 birimin sıralanma sayısı \(4!\) ile bulunur.
  \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

✅ "KİTAP" kelimesinin harfleri yer değiştirilerek oluşturulabilecek 5 harfli kelimelerin 24 tanesinde "T" harfi "P" harfinin hemen sağında yer alır.

Bu problemde, belirli bir grubun (kız öğrencilerin) yan yana olma koşulu var. Bu durumda bu grubu tek bir birim olarak düşüneceğiz.

• 📌 Kızları bir grup yapalım: 4 kız öğrenciyi bir araya getirerek onları tek bir "kız grubu" olarak düşünelim. (K1 K2 K3 K4)
• 📌 Yeni birimler: Artık elimizde 1 kız grubu ve 3 erkek öğrenci var. Toplamda \(1 + 3 = 4\) birimimiz oldu.
• 📌 Birimlerin sıralanması: Bu 4 birim kendi aralarında \(4!\) farklı şekilde sıralanabilir.
  \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
• 📌 Kızların kendi içindeki sıralanması: Kız grubu içindeki 4 kız öğrenci de kendi aralarında yer değiştirebilirler. Bu da \(4!\) farklı şekilde olur.
  \[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
• 📌 Toplam oturma düzeni: Hem birimlerin kendi arasındaki sıralanışını hem de kızların kendi içindeki sıralanışını çarpmalıyız.
  \[ 24 \times 24 = 576 \]

✅ Kız öğrencilerin hepsinin yan yana olması koşuluyla 576 farklı oturma düzeni oluşturulabilir.

Bu, günlük hayattan bir permütasyon örneğidir. Müşterilerin hangi gişeye gideceği bir sıralama oluşturur.

• 📌 Birinci müşteri için: 4 farklı gişeden birini seçebilir, yani 4 seçeneği var.
• 📌 İkinci müşteri için: İlk müşterinin gittiği gişe dolduğu için geriye 3 farklı gişe kalır, yani 3 seçeneği var.
• 📌 Üçüncü müşteri için: İlk iki müşterinin gittiği gişeler dolduğu için geriye 2 farklı gişe kalır, yani 2 seçeneği var.
• 📌 Dördüncü müşteri için: Son kalan 1 gişeye gidecektir, yani 1 seçeneği var.

Bu durumda, müşterilerin gişelere dağılımı faktöriyel ile hesaplanır:
\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] ✅ İlk 4 müşteri bu 4 farklı gişeye 24 farklı şekilde dağılabilir.

Bu soruda, 6 farklı ana yemek arasından 3 tanesini seçeceğiz ve bu seçimi belirli bir sıraya göre yapacağız (yani sipariş sırası önemli). Bu da bir permütasyon problemidir.
\(n\) farklı eleman arasından \(r\) tanesinin seçilip sıralanması \(P(n, r)\) formülü ile hesaplanır. Burada \(n=6\) (toplam ana yemek sayısı) ve \(r=3\) (sipariş edilecek yemek sayısı) 'tür.

• 👉 Formülü uygulayalım:
  \[ P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} \]
• 👉 Faktöriyelleri açarak sadeleştirelim:
  \[ P(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} \] \[ P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120 \]

✅ Arkadaş grubu, 6 farklı ana yemekten 3 tanesini 120 farklı sırayla sipariş edebilir.