🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel fonksiyonlar ve nitel özellikleri Çözümlü Sorular
10. Sınıf Matematik: Rasyonel fonksiyonlar ve nitel özellikleri Çözümlü Sorular
Soru 1:
Rasyonel bir fonksiyon olan \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
💡 Tanım Kümesi: Bir fonksiyonun tanımlı olduğu x değerlerinin kümesidir.
📌 Rasyonel Fonksiyonlar: Pay ve paydası polinom olan fonksiyonlardır. Paydanın sıfır olduğu değerler fonksiyonu tanımsız yapar.
💡 Tanım Kümesi: Bir fonksiyonun tanımlı olduğu x değerlerinin kümesidir.
📌 Rasyonel Fonksiyonlar: Pay ve paydası polinom olan fonksiyonlardır. Paydanın sıfır olduğu değerler fonksiyonu tanımsız yapar.
Çözüm:
Fonksiyonumuz \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \).
- Rasyonel fonksiyonlarda, payda hiçbir zaman sıfır olmamalıdır.
- Bu nedenle, paydadaki ifadeyi sıfıra eşitleyerek tanımsız yapan x değerini bulmalıyız: \( x-2 = 0 \).
- Denklemi çözdüğümüzde \( x = 2 \) buluruz.
- Yani, fonksiyonumuz \( x=2 \) için tanımsızdır.
- Tanım kümesi, reel sayılardan 2'yi çıkardığımız kümedir.
Soru 2:
\( g(x) = \frac{3x}{x^2-9} \) rasyonel fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonumuz \( g(x) = \frac{3x}{x^2-9} \).
- Payda sıfır olmamalıdır.
- Paydadaki ifadeyi sıfıra eşitleyelim: \( x^2 - 9 = 0 \).
- Bu denklem \( (x-3)(x+3) = 0 \) şeklinde çarpanlarına ayrılabilir.
- Dolayısıyla, \( x-3=0 \) veya \( x+3=0 \) olmalıdır.
- Bu denklemlerden \( x=3 \) ve \( x=-3 \) bulunur.
- Fonksiyon bu iki değer için tanımsızdır.
Soru 3:
\( h(x) = \frac{x^2-4}{x-2} \) rasyonel fonksiyonunun grafiği hakkında ne söylenebilir? Fonksiyonun limiti \( x \to 2 \) için nedir?
💡 Limit Kavramı: Bir fonksiyonun bir noktadaki davranışını inceler.
💡 Limit Kavramı: Bir fonksiyonun bir noktadaki davranışını inceler.
Çözüm:
Fonksiyonumuz \( h(x) = \frac{x^2-4}{x-2} \).
- Öncelikle pay kısmını çarpanlarına ayıralım: \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \).
- Şimdi fonksiyonu yeniden yazalım: \( h(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \).
- Eğer \( x \neq 2 \) ise, \( (x-2) \) terimleri sadeleşir ve \( h(x) = x+2 \) olur.
- Bu, fonksiyonun grafiğinin \( y = x+2 \) doğrusu olduğunu, ancak \( x=2 \) noktasında bir "delik" (tanımsızlık) olduğunu gösterir.
- \( x \to 2 \) için limitini bulmak için sadeleşmiş halini kullanırız: \( \lim_{x \to 2} (x+2) \).
- Değeri yerine koyduğumuzda \( 2+2 = 4 \) buluruz.
Soru 4:
\( f(x) = \frac{2x+1}{x+3} \) rasyonel fonksiyonunun düşey ve yatay asimptotlarını bulunuz.
📌 Asimptot: Fonksiyonun grafiğinin sonsuzda yaklaştığı veya belirli bir noktada sonsuza gittiği doğru parçalarıdır.
📌 Asimptot: Fonksiyonun grafiğinin sonsuzda yaklaştığı veya belirli bir noktada sonsuza gittiği doğru parçalarıdır.
Çözüm:
Fonksiyonumuz \( f(x) = \frac{2x+1}{x+3} \).
- Düşey Asimptot: Paydanın sıfır olduğu ve payın sıfır olmadığı x değerleridir.
- Paydayı sıfıra eşitleyelim: \( x+3 = 0 \implies x = -3 \).
- Pay \( 2(-3)+1 = -5 \neq 0 \) olduğundan, \( x = -3 \) bir düşey asimptottur.
- Yatay Asimptot: Fonksiyonun limitinin \( x \to \pm \infty \) için değeridir.
- Payın derecesi (1) ile paydanın derecesi (1) eşittir. Bu durumda yatay asimptot, katsayılarının oranıdır.
- Yatay asimptot \( y = \frac{2}{1} = 2 \) olur.
Soru 5:
Bir inşaat firması, belirli bir projede kullanılacak beton miktarını (m³) zamana (saat) bağlı olarak \( B(t) = \frac{50t}{t+10} \) rasyonel fonksiyonu ile modellemektedir. Projenin başlangıcından (t=0) itibaren beton dökme hızı hakkında ne söylenebilir? Uzun vadede beton dökme hızı neye yaklaşır?
💡 Uygulama: Rasyonel fonksiyonlar gerçek hayatta çeşitli büyüme ve değişim modellerini ifade etmek için kullanılır.
💡 Uygulama: Rasyonel fonksiyonlar gerçek hayatta çeşitli büyüme ve değişim modellerini ifade etmek için kullanılır.
Çözüm:
Fonksiyonumuz \( B(t) = \frac{50t}{t+10} \).
- Başlangıçtaki Hız (t=0):
- \( B(0) = \frac{50 \times 0}{0+10} = \frac{0}{10} = 0 \) m³/saat.
- Bu, projenin başlangıcında beton dökme hızının sıfır olduğunu gösterir.
- Uzun Vadede Hız (t \to \infty):
- Bu durum, fonksiyonun \( t \to \infty \) iken limitini bularak hesaplanır.
- Payın derecesi (1) ile paydanın derecesi (1) eşittir.
- Bu nedenle, limit katsayıların oranıdır: \( \lim_{t \to \infty} \frac{50t}{t+10} = \frac{50}{1} = 50 \) m³/saat.
Soru 6:
Bir cep telefonu operatörü, aylık sabit 20 TL'ye ek olarak, kullanılan her 1 GB internet için 5 TL ücret almaktadır. Bir kullanıcının aylık toplam maliyetini (TL) GB cinsinden \( M(g) = \frac{5g + 20}{g} \) şeklinde bir formülle ifade etmek istersek, bu formülün anlamı ne olurdu? (Not: Bu formül, 1 GB başına düşen ortalama maliyeti göstermez, toplam maliyeti farklı bir bakış açısıyla gösterir.)
👉 Günlük Hayat: Rasyonel fonksiyonlar, maliyet analizleri ve ortalama hesaplamalarında karşımıza çıkabilir.
👉 Günlük Hayat: Rasyonel fonksiyonlar, maliyet analizleri ve ortalama hesaplamalarında karşımıza çıkabilir.
Çözüm:
Formülümüz \( M(g) = \frac{5g + 20}{g} \).
- Bu formül, toplam maliyeti (sabit ücret + internet ücreti) GB miktarına böldüğümüzde elde edilen bir ifadeyi temsil eder.
- Formülü şu şekilde ayırabiliriz: \( M(g) = \frac{5g}{g} + \frac{20}{g} = 5 + \frac{20}{g} \).
- Burada 5, her 1 GB için ödenen ek ücrettir.
- \( \frac{20}{g} \) ise, sabit 20 TL'lik ücretin kullanılan GB miktarına oranını gösterir. Bu, GB başına düşen sabit ücretin payını ifade eder.
- Örneğin, 10 GB internet kullanıldığında: \( M(10) = 5 + \frac{20}{10} = 5 + 2 = 7 \) TL olur. Bu, 10 GB için toplam maliyetin 70 TL olduğunu (5*10 + 20 = 70) değil, bu formülün yapısı gereği, toplam maliyetin GB başına düşen ortalama maliyetten farklı bir yorumunu verir. Aslında bu formül, toplam maliyeti GB başına düşen ortalama maliyet olarak değil, sabit 5 TL'ye ek olarak, sabit 20 TL'nin GB'a göre azalan bir yükünü gösterir.
- Eğer bizden 1 GB başına düşen ortalama maliyet istenseydi, formül \( \frac{5g+20}{g} \) değil, \( \frac{5g+20}{g} \) olurdu.
Soru 7:
\( f(x) = \frac{x^2+ax+b}{x-1} \) rasyonel fonksiyonunun grafiği bir doğru olduğuna göre, a ve b değerlerini bulunuz. Bu doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm:
Fonksiyonumuz \( f(x) = \frac{x^2+ax+b}{x-1} \).
- Bir rasyonel fonksiyonun grafiğinin bir doğru olması için, payın paydasına tam bölünmesi gerekir.
- Bu, payın köklerinden birinin \( x=1 \) olması gerektiği anlamına gelir.
- Yani, \( x=1 \) için pay sıfır olmalıdır: \( (1)^2 + a(1) + b = 0 \implies 1 + a + b = 0 \).
- Payda \( x-1 \) olduğu için, payın çarpanlarından biri \( x-1 \) olmalıdır.
- Polinom bölmesi yapabiliriz veya \( x^2+ax+b = (x-1)(x+k) \) şeklinde yazabiliriz.
- \( (x-1)(x+k) = x^2 + kx - x - k = x^2 + (k-1)x - k \).
- Katsayıları eşitleyerek:
- \( a = k-1 \)
- \( b = -k \)
- \( b = -k \) olduğundan, \( k = -b \).
- \( a = -b - 1 \implies a+b = -1 \). Bu, daha önce bulduğumuz \( 1+a+b=0 \) denklemiyle tutarlıdır.
- Şimdi \( k \) yerine \( -b \) koyarsak: \( a = -b - 1 \).
- Pay \( x^2 + (-b-1)x + b \) olur.
- Bu ifade \( (x-1)(x-b) \) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
- O halde, \( f(x) = \frac{(x-1)(x-b)}{x-1} \).
- \( x \neq 1 \) için \( f(x) = x-b \) olur.
Soru 8:
\( f(x) = \frac{x-5}{x^2-25} \) rasyonel fonksiyonunun grafiği hakkında ne söylenebilir? \( x \to 5 \) için limiti nedir?
Çözüm:
Fonksiyonumuz \( f(x) = \frac{x-5}{x^2-25} \).
- Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım: \( x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \).
- Fonksiyonu yeniden yazalım: \( f(x) = \frac{x-5}{(x-5)(x+5)} \).
- Eğer \( x \neq 5 \) ise, \( (x-5) \) terimleri sadeleşir ve \( f(x) = \frac{1}{x+5} \) olur.
- Bu, fonksiyonun grafiğinin \( y = \frac{1}{x+5} \) fonksiyonunun grafiği olduğunu, ancak \( x=5 \) noktasında bir "delik" olduğunu gösterir.
- \( x \to 5 \) için limitini bulmak için sadeleşmiş halini kullanırız: \( \lim_{x \to 5} \frac{1}{x+5} \).
- Değeri yerine koyduğumuzda \( \frac{1}{5+5} = \frac{1}{10} \) buluruz.
Soru 9:
Bir bisikletli, 120 km'lik bir mesafeyi belirli bir hızla gitmektedir. Gidiş süresi (saat) \( S(v) = \frac{120}{v} \) rasyonel fonksiyonu ile ifade edilir, burada \( v \) bisikletlinin hızıdır (km/saat). Hızı artırdıkça süresi nasıl değişir? Çok yüksek hızlarda süre neye yaklaşır?
👉 Uygulama: Fizikte hız, zaman ve mesafe ilişkisi rasyonel fonksiyonlarla modellenebilir.
👉 Uygulama: Fizikte hız, zaman ve mesafe ilişkisi rasyonel fonksiyonlarla modellenebilir.
Çözüm:
Fonksiyonumuz \( S(v) = \frac{120}{v} \).
- Bu fonksiyon, toplam mesafenin (120 km) hıza bölünmesiyle süreyi verir.
- Hız Artışı ve Süre Değişimi:
- Payda \( v \) olduğu için, \( v \) değeri arttıkça \( S(v) \) değeri azalacaktır. Yani, hız arttıkça süre azalır.
- Örneğin, \( v=20 \) km/saat ise, \( S(20) = \frac{120}{20} = 6 \) saat sürer.
- Eğer \( v=30 \) km/saat ise, \( S(30) = \frac{120}{30} = 4 \) saat sürer.
- Çok Yüksek Hızlarda Süre (v \to \infty):
- Bu durum, fonksiyonun \( v \to \infty \) iken limitini bularak hesaplanır.
- \( \lim_{v \to \infty} \frac{120}{v} \).
- Pay sabitken payda sonsuza giderse, limit 0 olur.
Soru 10:
Bir kimya deneyinde, belirli bir reaksiyonun ürün miktarını (gram) zamana (dakika) bağlı olarak \( M(t) = \frac{10t}{t^2+1} \) rasyonel fonksiyonu ile modellemektedir. Reaksiyonun başlangıcında (t=0) ürün miktarı nedir? Reaksiyon ilerledikçe ürün miktarı neye yaklaşır?
💡 Kimya Uygulaması: Kimyasal reaksiyonların ilerleyişi zamanla değişen miktarlarla modellenebilir.
💡 Kimya Uygulaması: Kimyasal reaksiyonların ilerleyişi zamanla değişen miktarlarla modellenebilir.
Çözüm:
Fonksiyonumuz \( M(t) = \frac{10t}{t^2+1} \).
- Başlangıçtaki Ürün Miktarı (t=0):
- \( M(0) = \frac{10 \times 0}{0^2+1} = \frac{0}{1} = 0 \) gram.
- Bu, reaksiyonun başlangıcında henüz ürün oluşmadığını gösterir.
- Reaksiyon İlerledikçe Ürün Miktarı (t \to \infty):
- Bu durum, fonksiyonun \( t \to \infty \) iken limitini bularak hesaplanır.
- Payın derecesi (1) paydanın derecesinden (2) küçüktür.
- Bu durumda limit 0 olur.
- \( \lim_{t \to \infty} \frac{10t}{t^2+1} = 0 \) gram.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/10-sinif-matematik-rasyonel-fonksiyonlar-ve-nitel-ozellikleri/sorular