🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sayma Permütasyon Çözümlü Sorular
10. Sınıf Matematik: Sayma Permütasyon Çözümlü Sorular
Soru 1:
5 farklı renkteki boya kaleminden 3 tanesi seçilerek bir sıralama yapılacaktır. Kaç farklı sıralama yapılabilir? 🎨
Çözüm:
Bu soruda, 5 farklı boya kaleminden 3 tanesini seçip sıralayacağız. Bu bir permütasyon problemidir.
- Seçilebilecek toplam boya kalemi sayısı: \( n = 5 \)
- Seçilecek ve sıralanacak boya kalemi sayısı: \( k = 3 \)
- Permütasyon formülü: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
- Formülü uygulayalım: \( P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} \)
- \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
- \( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
- \( P(5, 3) = \frac{120}{2} = 60 \)
Soru 2:
"ANKARA" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı veya anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir? ✍️
Çözüm:
Bu soruda, "ANKARA" kelimesindeki harflerin kaç farklı şekilde dizilebileceğini bulacağız. Bu, tekrarlı permütasyon problemidir.
- Kelimenin toplam harf sayısı: \( n = 6 \)
- Harflere bakalım: A (2 tane), N (1 tane), K (1 tane), R (1 tane).
- Tekrarlı permütasyon formülü: \( \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \dots \times n_k!} \)
- Burada \( n_1 \) tekrar eden harflerin sayısıdır.
- Uygulayalım: \( \frac{6!}{2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{6!}{2!} \)
- \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)
- \( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
- \( \frac{720}{2} = 360 \)
Soru 3:
Bir sınıfta 10 öğrenci bulunmaktadır. Bu öğrencilerden 3 tanesi seçilerek bir ödül töreninde birinci, ikinci ve üçüncü olarak ödüllendirilecektir. Kaç farklı ödül sıralaması yapılabilir? 🏆
Çözüm:
Bu problemde, 10 öğrenciden 3'ünü seçip belirli sıralara (birinci, ikinci, üçüncü) yerleştireceğiz. Bu, permütasyonun temel mantığıdır.
- Toplam öğrenci sayısı: \( n = 10 \)
- Seçilecek ve sıralanacak öğrenci sayısı: \( k = 3 \)
- Permütasyon formülü: \( P(n, k) = n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1) \)
- Veya \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
- Formülü uygulayalım: \( P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 \)
- \( P(10, 3) = 720 \)
Soru 4:
Bir kütüphanede bulunan 7 farklı roman, 5 farklı şiir kitabı ve 4 farklı tarih kitabından oluşan bir seçki, bir rafa dizilecektir. 📚
Aynı türden olan kitaplar yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir?
Çözüm:
Bu soruda, önce aynı türdeki kitapları birer grup olarak düşüneceğiz, sonra grupları kendi içlerinde ve grupların kendi aralarındaki dizilişlerini hesaplayacağız.
- Kitap türleri: Roman (7), Şiir (5), Tarih (4).
- Adım 1: Grupların kendi içindeki dizilişleri
- 7 farklı romanın kendi arasındaki dizilişi: \( 7! \)
- 5 farklı şiir kitabının kendi arasındaki dizilişi: \( 5! \)
- 4 farklı tarih kitabının kendi arasındaki dizilişi: \( 4! \)
- Adım 2: Grupların kendi arasındaki dizilişi
- 3 farklı tür (Roman, Şiir, Tarih) olduğu için, bu 3 grup kendi arasında \( 3! \) şekilde dizilebilir.
- Adım 3: Toplam diziliş sayısı
- Toplam farklı diziliş sayısı, bu üç adımın çarpımıdır: \( 7! \times 5! \times 4! \times 3! \)
Soru 5:
Bir cep telefonu mağazasında 6 farklı model akıllı telefon bulunmaktadır. Bu modellerden 4 tanesi, bir vitrinde yan yana sergilenecektir. Kaç farklı vitrin düzenlemesi yapılabilir? 📱
Çözüm:
Bu problem, belirli sayıda nesne arasından bir kısmını seçip sıralama problemidir.
- Vitrine konulacak toplam telefon modeli sayısı: \( n = 6 \)
- Vitrine konulacak telefon modeli sayısı: \( k = 4 \)
- Bu bir permütasyon problemidir: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
- Uygulayalım: \( P(6, 4) = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} \)
- \( 6! = 720 \)
- \( 2! = 2 \)
- \( P(6, 4) = \frac{720}{2} = 360 \)
Soru 6:
4'ü erkek ve 5'i kız olmak üzere toplam 9 kişilik bir öğrenci grubundan, 3 kişilik bir komite seçilecektir. Bu komitede 2 erkek ve 1 kız bulunma olasılığı kaçtır? (Bu soru permütasyon ile çözülebilir ancak kombinasyon daha uygundur. Permütasyon mantığıyla da yaklaşım gösterilecektir.) 🧑🤝🧑
Çözüm:
Bu soru aslında kombinasyon konusuna daha yakındır. Ancak permütasyon mantığıyla yaklaşım gösterelim:
- Toplam Durum (Permütasyon Mantığıyla): 9 kişiden 3 kişinin seçilip sıralanması \( P(9, 3) = 9 \times 8 \times 7 = 504 \) farklı sıralama vardır.
- İstenen Durum (Permütasyon Mantığıyla):
- Önce 2 erkek seçip sıralayalım: \( P(4, 2) = 4 \times 3 = 12 \)
- Sonra 1 kız seçelim: \( P(5, 1) = 5 \)
- Bu seçilenleri 3 kişilik komitede kaç farklı yere koyabiliriz? 3 farklı yer var (1., 2., 3.).
- Yani, \( P(4, 2) \times P(5, 1) \times 3! = 12 \times 5 \times 6 = 360 \) farklı sıralama olur.
- Olasılık: \( \frac{\text{İstenen Durum}}{\text{Toplam Durum}} = \frac{360}{504} \)
- Bu kesir sadeleştirildiğinde \( \frac{5}{7} \) bulunur.
Soru 7:
3 farklı anahtar ve 3 farklı kilit bulunmaktadır. Her anahtar sadece bir kilidi açmaktadır. Bu anahtarların kilitlere kaç farklı şekilde atanabileceğini bulunuz. 🔑
Çözüm:
Bu problem, 3 farklı nesneyi 3 farklı yere sıralama problemidir.
- Birinci anahtar için 3 farklı kilit seçeneği vardır.
- İkinci anahtar için geriye kalan 2 kilit seçeneği vardır.
- Üçüncü anahtar için ise sadece 1 kilit kalır.
- Toplam farklı atama sayısı, bu sayıların çarpımıdır: \( 3 \times 2 \times 1 \)
- Bu, \( 3! \) ile aynıdır.
- \( 3! = 6 \)
Soru 8:
Bir yarışmada 6 sporcu bulunmaktadır. Bu sporcuların yarışı bitirme sıralamaları (birinci, ikinci, üçüncü vb.) kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? 🥇
Çözüm:
Bu, 6 farklı sporcunun yarışı bitirme sıralamasının kaç farklı şekilde olabileceğini bulma problemidir. Her sporcu farklı bir sıraya geleceği için bu bir permütasyon problemidir.
- Yarışmacı sayısı: \( n = 6 \)
- Sıralanacak yarışmacı sayısı: \( k = 6 \) (Tüm yarışmacılar sıralanacak)
- Permütasyon formülü: \( P(n, k) = P(6, 6) = \frac{6!}{(6-6)!} = \frac{6!}{0!} \)
- \( 0! \) tanım gereği 1'dir.
- \( P(6, 6) = 6! \)
- \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/10-sinif-matematik-sayma-permutasyon/sorular