💡 10. Sınıf Matematik: Sayma ve seçme Çözümlü Sorular

Bu soruda temel çarpma prensibini kullanacağız.

• Öncelikle matematik kitapları arasından seçim yapma durumlarını inceleyelim: 5 farklı matematik kitabı var ve bunlardan 1 tanesi seçilecek. Bu seçim 5 farklı şekilde yapılabilir.
• Ardından fizik kitapları arasından seçim yapma durumlarını inceleyelim: 3 farklı fizik kitabı var ve bunlardan 1 tanesi seçilecek. Bu seçim 3 farklı şekilde yapılabilir.
• Çarpma prensibine göre, bu iki seçimin bir arada yapılma sayısı bu sayıların çarpımına eşittir.

Toplam seçene sayısı = (Matematik kitabı seçme sayısı) \( \times \) (Fizik kitabı seçme sayısı)
Toplam seçene sayısı = \( 5 \times 3 = 15 \)
💡 Yani, 1 matematik ve 1 fizik kitabı 15 farklı şekilde seçilebilir.

Bu soruda, seçim sırasının önemli olmadığı durumlar için kombinasyon kullanırız.
Seçilecek eleman sayısı \( k = 2 \) ve toplam eleman sayısı \( n = 4 \) ise, kombinasyon formülü şöyledir:
\( C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Burada \( n! \) (n faktöriyel), 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır.
Formülü uygulayalım:
\( C(4, 2) = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} \)
\( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
\( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
\( C(4, 2) = \frac{24}{2 \times 2} = \frac{24}{4} = 6 \)
✅ Yani, 4 farklı renkte boya kaleminden 2 tanesi 6 farklı şekilde seçilebilir.

Bu soruyu çözmek için hem kombinasyon hem de olasılık kavramlarını kullanacağız.
Öncelikle toplam olası öğrenci grubu sayısını bulalım:

• Toplam öğrenci sayısı = 10 kız + 12 erkek = 22 öğrenci.
• Bu 22 öğrenciden 3 kişilik bir grup seçmenin toplam yolu sayısı: \( C(22, 3) = \binom{22}{3} = \frac{22!}{3!(22-3)!} = \frac{22!}{3!19!} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 7 \times 20 = 1540 \)

Şimdi istenen durumdaki (2 kız ve 1 erkek) öğrenci grubu sayısını bulalım:

• 10 kızdan 2 kız seçme sayısı: \( C(10, 2) = \binom{10}{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \)
• 12 erkekten 1 erkek seçme sayısı: \( C(12, 1) = \binom{12}{1} = \frac{12!}{1!(12-1)!} = \frac{12!}{1!11!} = 12 \)
• İstenen durumdaki grup sayısı = (Kız seçme sayısı) \( \times \) (Erkek seçme sayısı) = \( 45 \times 12 = 540 \)

Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Toplam Olası Durum Sayısı)
Olasılık = \( \frac{540}{1540} \)
Bu kesri sadeleştirelim:
Olasılık = \( \frac{54}{154} = \frac{27}{77} \)
👉 Sonuç olarak, grupta 2 kız ve 1 erkek öğrenci bulunma olasılığı \( \frac{27}{77} \)'dir.

Bu soruda, her bir ürün grubundan kaçar tane alınabileceğini ve bu seçimlerin toplamını düşüneceğiz.

• Akıllı telefonlar için: 3 farklı model var. Müşteri bu modellerden ya hiç almayabilir, ya 1 model alabilir, ya 2 model alabilir ya da 3 model alabilir. Bu durumları ayrı ayrı hesaplamak yerine, her model için "alır" veya "almaz" olmak üzere 2 seçenek olduğunu düşünelim.
• Bu durumda akıllı telefonlar için toplam \( 2^3 = 8 \) farklı seçim olasılığı vardır. Ancak bu seçeneklerin içinde "hiçbir akıllı telefon almamak" durumu da vardır.
• Tablet bilgisayarlar için de benzer şekilde, 4 farklı model olduğu için \( 2^4 = 16 \) farklı seçim olasılığı vardır. Yine bu seçeneklerin içinde "hiçbir tablet almamak" durumu da vardır.

Toplam seçeneği bulmak için bu iki durumu çarparız: \( 8 \times 16 = 128 \).
Ancak soruda "en az birini alacaktır" denildiği için, hem akıllı telefonlardan hem de tabletlerden hiç almadığı tek bir durumu (boş sepet durumu) çıkarmamız gerekir.
Bu durum: (Hiç akıllı telefon almamak) \( \times \) (Hiç tablet almamak) = \( 1 \times 1 = 1 \)
Dolayısıyla, en az bir ürün alma durumu = Toplam seçenek sayısı - Boş sepet durumu
En az bir ürün alma durumu = \( 128 - 1 = 127 \)
✅ Müşteri 127 farklı şekilde alışveriş yapabilir.

Bu problem, aslında iki kişi arasındaki bir seçimi ifade eder. Her tokalaşma, iki kişi arasında gerçekleşir ve tokalaşma sırasının bir önemi yoktur (Ali'nin Veli'ye tokalaşması ile Veli'nin Ali'ye tokalaşması aynıdır). Bu nedenle kombinasyon kullanmalıyız.

• Toplam kişi sayısı \( n = 5 \).
• Her tokalaşma için seçilecek kişi sayısı \( k = 2 \).

Kombinasyon formülünü kullanalım:
\( C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
\( C(5, 2) = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} \)
\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
\( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
\( C(5, 2) = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10 \)
💡 Yani, 5 arkadaş arasında toplam 10 tokalaşma gerçekleşir.

Bu soruda, seçilen kişilerin görevleri farklı olduğu için sıralamanın önemi vardır. Bu tür problemler için permütasyon kullanırız.
Permütasyon formülü: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
Burada:

• Toplam kişi sayısı \( n = 6 \).
• Seçilecek pozisyon sayısı (başkan ve başkan yardımcısı) \( k = 2 \).

Formülü uygulayalım:
\( P(6, 2) = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} \)
\( P(6, 2) = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
Pay ve paydadaki \( 4! \) sadeleşir:
\( P(6, 2) = 6 \times 5 = 30 \)
✅ Alternatif olarak, temel çarpma prensibiyle de çözebiliriz:

• Başkan seçimi için 6 aday vardır.
• Başkan seçildikten sonra, başkan yardımcısı seçimi için geriye 5 aday kalır.
• Toplam farklı seçim sayısı = \( 6 \times 5 = 30 \)

Sonuç olarak, bir başkan ve bir başkan yardımcısı 30 farklı şekilde seçilebilir.

Bu soruda, harflerin tekrar etmemesi ve kelimenin kaç harfli olacağı belirtildiği için permütasyon kullanacağız.
Öncelikle "MATEMATİK" kelimesindeki harfleri inceleyelim: M, A, T, E, M, A, T, İ, K.
Tekrarlayan harfler: M (2), A (2), T (2). Farklı harfler: M, A, T, E, İ, K. Toplam 7 farklı harf var gibi görünüyor ama tekrarlar var.
Ancak soruda harflerin tekrar etmemesi isteniyor. Bu, her harfi biricik kabul ederek çözmemiz gerektiği anlamına gelir. Kelimede 7 farklı harf vardır: M, A, T, E, İ, K. (M, A, T harflerinden birer tane kullanacağız).

• Kelime uzunluğu \( k = 3 \).
• Kullanılabilecek farklı harf sayısı \( n = 7 \) (M, A, T, E, İ, K).

Permütasyon formülü: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
\( P(7, 3) = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} \)
\( P(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
Sadeleştirme sonrası:
\( P(7, 3) = 7 \times 6 \times 5 = 210 \)
👉 Yani, "MATEMATİK" kelimesindeki harfleri kullanarak (harflerin tekrar etmemesi şartıyla) 210 farklı 3 harfli kelime yazılabilir.

Bu soruda, tişört seçimi ile pantolon seçimi birbirinden bağımsızdır. Bu tür durumlarda temel çarpma prensibi kullanılır.

• Tişört seçimi: 5 farklı tişört arasından 1 tişört seçilebilir. Bu seçim 5 farklı şekilde yapılabilir.
• Pantolon seçimi: 4 farklı pantolon arasından 1 pantolon seçilebilir. Bu seçim 4 farklı şekilde yapılabilir.

Toplam farklı kombinasyon sayısı, bu iki sayının çarpımına eşittir:
Toplam Kombinasyon = (Tişört seçme sayısı) \( \times \) (Pantolon seçme sayısı)
Toplam Kombinasyon = \( 5 \times 4 = 20 \)
✅ Dolayısıyla, 1 tişört ve 1 pantolon 20 farklı şekilde seçilebilir.

Bu senaryo, her bir kategori için bağımsız seçimlerin yapıldığı bir durumu temsil eder. Bu nedenle temel çarpma prensibini kullanacağız.

• Ana yemek seçimi: 3 farklı seçenek var.
• Ara sıcak seçimi: 4 farklı seçenek var.
• Tatlı seçimi: 2 farklı seçenek var.

Bu üç seçimin bir arada yapılmasıyla oluşacak toplam farklı menü sayısı, bu seçenek sayılarının çarpımına eşittir:
Toplam Menü Sayısı = (Ana Yemek Seçimi) \( \times \) (Ara Sıcak Seçimi) \( \times \) (Tatlı Seçimi)
Toplam Menü Sayısı = \( 3 \times 4 \times 2 = 24 \)
💡 Yani, bir kişi 24 farklı şekilde menü oluşturabilir.