📄 10. Sınıf Matematik: Sayma yöntemleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bu problemde hem öğretmenler arasından seçim hem de öğrenciler arasından seçim yapılacağı için kombinasyon formülü kullanılacaktır. Ardından bu iki seçimin sonuçları çarpılarak toplam komisyon sayısı bulunur.



1. Öğretmen seçimi: 5 öğretmenden 3 öğretmen seçilecektir. Bu \(C(5,3)\) farklı şekilde yapılabilir.

\(C(5,3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\) farklı şekilde.



2. Öğrenci seçimi: 8 öğrenciden 2 öğrenci seçilecektir. Bu \(C(8,2)\) farklı şekilde yapılabilir.

\(C(8,2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28\) farklı şekilde.



3. Toplam komisyon sayısı: Öğretmen ve öğrenci seçimleri birbirinden bağımsız olduğu için, bu iki sayının çarpımı bize toplam komisyon sayısını verir.

Toplam komisyon sayısı = \(C(5,3) \times C(8,2) = 10 \times 28 = 280\) farklı şekilde oluşturulabilir.

💡 Çözüm Adımları:

Bu tür sorular genellikle dağıtım prensipleri veya küme bölme prensipleri ile çözülür. Her çocuğa en az bir oyuncak verilmesi şartı, tüm dağıtım durumlarından bazı durumların çıkarılmasıyla veya özel durumların incelenmesiyle çözülebilir.



Öncelikle, 4 farklı oyuncağın 3 farklı çocuğa dağıtılabileceği tüm durumları bulalım. Her oyuncağın 3 farklı çocuğa gitme ihtimali olduğundan, \(3^4 = 81\) farklı dağıtım mümkündür.



Şimdi 'her çocuğa en az bir oyuncak' şartını sağlamayan durumları çıkaralım:



Durum 1: Oyuncakların tamamının 1 çocuğa verilmesi. (Örneğin, tüm oyuncaklar 1. çocuğa, 2. çocuğa veya 3. çocuğa). Bu \(C(3,1) \times 1^4 = 3 \times 1 = 3\) farklı şekilde olabilir.



Durum 2: Oyuncakların tamamının 2 çocuğa verilmesi. Bu durumda bir çocuk hiç oyuncak almaz. Hangi 2 çocuğa verileceği \(C(3,2) = 3\) farklı şekilde seçilir. Seçilen bu 2 çocuğa 4 oyuncağın dağıtımı \(2^4 = 16\) farklı şekilde yapılabilir. Ancak bu \(16\) durumun içinde, oyuncakların tamamının sadece 1 çocuğa verildiği durumlar (yani seçilen 2 çocuktan birine hiç oyuncak gitmediği durumlar) vardır. Bu durumları çıkarmamız gerekir. Seçilen 2 çocuktan birine hiç oyuncak gitmemesi demek, tüm oyuncakların sadece 1. çocuğa veya sadece 2. çocuğa gitmesi demektir. Bu da 2 durumdur. Dolayısıyla, seçilen 2 çocuğa her birine en az bir oyuncak gidecek şekilde dağıtım \(2^4 - 2 = 14\) farklı şekilde olur.

Bu durumda \(C(3,2) \times (2^4 - 2) = 3 \times 14 = 42\) farklı dağıtım mümkündür.



Toplam dağıtım sayısı = (Tüm durumlar) - (1 çocuğa dağıtılan durumlar) - (2 çocuğa dağıtılan durumlar)

Bu, kapsama-dışlama prensibi ile daha doğru bir şekilde ifade edilebilir:



Toplam durum: \(3^4 = 81\)

En az bir çocuğun boş kaldığı durumlar:

- 1 çocuğun boş kaldığı durumlar (yani 2 çocuğa dağıtım): \(C(3,2) \times 2^4 = 3 \times 16 = 48\)

- 2 çocuğun boş kaldığı durumlar (yani 1 çocuğa dağıtım): \(C(3,1) \times 1^4 = 3 \times 1 = 3\)



Kapsama-Dışlama Prensibi:

\(3^4 - C(3,2) \times 2^4 + C(3,1) \times 1^4\)

\(81 - 3 \times 16 + 3 \times 1\)

\(81 - 48 + 3 = 33 + 3 = 36\)



Dolayısıyla, 4 farklı oyuncak 3 çocuğa, her çocuğa en az bir oyuncak vermek şartıyla 36 farklı şekilde dağıtılabilir.

💡 Çözüm Adımları:

'MATEMATİK' kelimesi 9 harfli bir kelimedir. Bu kelimede bazı harfler tekrar etmektedir. Bu tür durumlarda tekrarlı permütasyon formülü kullanılır.



Öncelikle kelimedeki harfleri ve tekrar sayılarını belirleyelim:

- M: 2 adet

- A: 2 adet

- T: 2 adet

- E: 1 adet

- İ: 1 adet

- K: 1 adet



Toplam harf sayısı \(n = 9\).

Tekrar eden harfler: M (\(n_1 = 2\)), A (\(n_2 = 2\)), T (\(n_3 = 2\)).



Tekrarlı permütasyon formülü: \(P(n; n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}\)



Formülü uygulayalım:

\(P(9; 2, 2, 2) = \frac{9!}{2! \times 2! \times 2!}\)



Şimdi hesaplamayı yapalım:

\(9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880\)

\(2! = 2 \times 1 = 2\)



\(P = \frac{362880}{2 \times 2 \times 2} = \frac{362880}{8}\)

\(P = 45360\)



Dolayısıyla, 'MATEMATİK' kelimesinin harfleri yer değiştirilerek 45360 farklı anlamlı veya anlamsız kelime yazılabilir.