💡 10. Sınıf Matematik: Siralama Ve Secme Çözümlü Sorular

Bu problemde sıralamanın önemi yoktur, yani kırmızı ve mavi seçmek ile mavi ve kırmızı seçmek aynı durumu ifade eder. Bu nedenle kombinasyon kullanmalıyız. * Toplam tişört sayısı \( n = 5 \). * Seçilecek tişört sayısı \( r = 2 \). * Kombinasyon formülü: \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) Hesaplama: * \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} \) * \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!} \) * \( C(5, 2) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} \) * \( C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \) * \( C(5, 2) = \frac{20}{2} \) * \( C(5, 2) = 10 \) Sonuç: 10 farklı şekilde 2 tişört seçilebilir. 💡

Bu soruda hem matematik kitapları arasından seçim yapılacak hem de fizik kitapları arasından seçim yapılacak. Bu iki seçim birbirinden bağımsızdır ve sonuçları çarpmalıyız. * Matematik kitapları arasından seçim: 4 farklı matematik kitabı var, 1 tanesi seçilecek. Bu \( C(4, 1) \) şekilde yapılır. * Fizik kitapları arasından seçim: 3 farklı fizik kitabı var, 1 tanesi seçilecek. Bu \( C(3, 1) \) şekilde yapılır. Hesaplama: * Matematik seçimi: \( C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4 \) * Fizik seçimi: \( C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3 \) Toplam farklı seçim sayısı: \( 4 \times 3 = 12 \) Sonuç: 12 farklı şekilde 1 matematik ve 1 fizik kitabı seçilebilir. ✅

Bu problemde sıralama önemlidir. Yani birinci, ikinci ve üçüncü olan kişilerin kimler olduğu ve hangi sırayla geldikleri farklı durumlar oluşturur. Bu nedenle permutasyon kullanmalıyız. * Toplam kişi sayısı \( n = 6 \). * Dereceye girecek kişi sayısı \( r = 3 \). * Permutasyon formülü: \( P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \) Hesaplama: * \( P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} \) * \( P(6, 3) = \frac{6!}{3!} \) * \( P(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} \) * \( P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 \) * \( P(6, 3) = 120 \) Sonuç: İlk 3 derece için 120 farklı sıralama mümkündür. 🏆

Burada önemli olan seçilen paraların türlerinin farklı olması değil, toplamda kaç farklı şekilde 2 madeni para seçilebileceğidir. Paraların türleri farklı olsa da, aynı türden paralar kendi içlerinde ayırt edilemez kabul edilir (yani 1 TL'lerden birini seçmekle diğerini seçmek aynı sonucu verir). Bu nedenle toplam para sayısını kullanarak kombinasyon yapmalıyız. * Toplam madeni para sayısı: \( 5 + 4 + 3 = 12 \) adet. * Seçilecek madeni para sayısı: \( r = 2 \). Kombinasyon formülü: \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) Hesaplama: * \( C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} \) * \( C(12, 2) = \frac{12!}{2!10!} \) * \( C(12, 2) = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} \) * \( C(12, 2) = \frac{132}{2} \) * \( C(12, 2) = 66 \) Sonuç: 66 farklı olası seçim yapılabilir. 💰

Bu problemde, stil seçimi ve renk seçimi birbirinden bağımsız iki olaydır. Kullanıcının yapacağı her stil seçimi, her renk seçeneği ile birleşerek farklı bir tasarım oluşturacaktır. Bu tür durumlarda çarpma prensibi kullanılır. * Stil seçeneği sayısı: \( n_1 = 5 \) * Renk seçeneği sayısı: \( n_2 = 4 \) Toplam farklı tasarım sayısı: \( n_1 \times n_2 \) Hesaplama: * Toplam tasarım = \( 5 \times 4 \) * Toplam tasarım = \( 20 \) Sonuç: Kullanıcı 20 farklı profil fotoğrafı tasarımı oluşturabilir. 🎨

Bu soruda hem kız öğrenciler arasından hem de erkek öğrenciler arasından seçim yapılacaktır. Her iki seçim de kendi içinde bir kombinasyon problemidir ve bu iki seçim sonucu çarpılarak toplam farklı grup sayısı bulunur. * Kız öğrenci seçimi: 7 kız arasından 3 kız seçilecek. Bu \( C(7, 3) \) ile hesaplanır. * Erkek öğrenci seçimi: 5 erkek arasından 2 erkek seçilecek. Bu \( C(5, 2) \) ile hesaplanır. Hesaplama: * Kız seçimi: \( C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \) * Erkek seçimi: \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \) Toplam farklı grup sayısı: \( 35 \times 10 = 350 \) Sonuç: Gösteri grubu 350 farklı şekilde oluşturulabilir. 🎭

Bu durum, çarpma prensibinin günlük hayattaki basit bir uygulamasıdır. Müşterinin yapabileceği her pasta seçimi, her içecek seçeneği ile birleşerek farklı bir menü oluşturur. * Pasta seçeneği sayısı: \( n_1 = 3 \) * İçecek seçeneği sayısı: \( n_2 = 2 \) Toplam farklı menü seçeneği sayısı: \( n_1 \times n_2 \) Hesaplama: * Toplam menü = \( 3 \times 2 \) * Toplam menü = \( 6 \) Sonuç: Müşteri 6 farklı menü seçeneğine sahip olabilir. 🍰🥤

Burada önemli olan hangi romanların seçildiği, hangi sırayla seçildiği değil. Yani A, B, C romanlarını seçmek ile C, A, B romanlarını seçmek aynı okuma listesini verir. Bu nedenle kombinasyon kullanmalıyız. * Toplam roman sayısı \( n = 6 \). * Seçilecek roman sayısı \( r = 3 \). * Kombinasyon formülü: \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) Hesaplama: * \( C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} \) * \( C(6, 3) = \frac{6!}{3!3!} \) * \( C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \) * \( C(6, 3) = \frac{120}{6} \) * \( C(6, 3) = 20 \) Sonuç: Kişi 20 farklı roman üçlüsü seçebilir. 📚