🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Sorular
10. Sınıf Matematik: Trigonometri Çözümlü Sorular
Soru 1:
Soru:
\(150^\circ\)lik bir açının radyan cinsinden esas ölçüsünü bulunuz.
\(150^\circ\)lik bir açının radyan cinsinden esas ölçüsünü bulunuz.
Çözüm:
Çözüm:
Dereceyi radyana çevirmek için derece ve radyan arasındaki temel dönüşüm formülünü kullanırız:
\[ \frac{D}{180} = \frac{R}{\pi} \]
Adım adım çözelim:
Dereceyi radyana çevirmek için derece ve radyan arasındaki temel dönüşüm formülünü kullanırız:
\[ \frac{D}{180} = \frac{R}{\pi} \]
Adım adım çözelim:
- 1. Adım: Formüldeki \(D\) yerine verilen derece değerini yani \(150\) yazalım:
\[ \frac{150}{180} = \frac{R}{\pi} \] - 2. Adım: Sol taraftaki kesri en sade haline getirmek için \(30\) ile sadeleştirelim:
\[ \frac{5}{6} = \frac{R}{\pi} \] - 3. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak \(R\) değerini yalnız bırakalım:
\[ R = \frac{5\pi}{6} \]
Soru 2:
Soru:
Bir ABC dik üçgeninde B açısı \(90^\circ\)dir.
\(\sin A = \frac{5}{13}\) olduğuna göre, \(\cos A\) ve \(\tan A\) değerlerini bulunuz.
Bir ABC dik üçgeninde B açısı \(90^\circ\)dir.
\(\sin A = \frac{5}{13}\) olduğuna göre, \(\cos A\) ve \(\tan A\) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Çözüm:
Trigonometrik oranları bulmak için bir dik üçgen çizip kenar uzunluklarını yerleştirelim:
Trigonometrik oranları bulmak için bir dik üçgen çizip kenar uzunluklarını yerleştirelim:
- 1. Adım: \(\sin A\) değeri karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır:
\[ \sin A = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{5}{13} \] Bu durumda A açısının karşısındaki kenar \(5\) birim, hipotenüs ise \(13\) birim olarak alınabilir. - 2. Adım: Pisagor teoremini kullanarak komşu dik kenarı bulalım. Bu üçgen ünlü bir özel üçgen olan 5-12-13 dik üçgenidir. Dolayısıyla A açısının komşu dik kenarı \(12\) birimdir.
- 3. Adım: Şimdi istenen trigonometrik oranları hesaplayalım:
👉 \(\cos A = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{12}{13}\)
👉 \(\tan A = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} = \frac{5}{12}\)
Soru 3:
Soru:
\[ \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x} - \cos x \] ifadesinin en sade halini bulunuz.
\[ \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x} - \cos x \] ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözüm:
Çözüm:
Trigonometrideki en temel özdeşliklerden biri olan \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) formülünü kullanalım:
Trigonometrideki en temel özdeşliklerden biri olan \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) formülünü kullanalım:
- 1. Adım: \(\sin^2 x\) ifadesini yalnız bırakırsak:
\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \] elde ederiz. - 2. Adım: Bu ifadeyi soruda yerine yazalım:
\[ \frac{1 - \cos^2 x}{1 - \cos x} - \cos x \] - 3. Adım: Pay kısmındaki \(1 - \cos^2 x\) ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayıralım:
\[ 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x) \] - 4. Adım: İfadeyi yerine koyup sadeleştirmeyi yapalım:
\[ \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{1 - \cos x} - \cos x \] Pay ve paydadaki \((1 - \cos x)\) terimleri birbirini götürür:
\[ (1 + \cos x) - \cos x \] - 5. Adım: Son işlemi yapalım:
\[ 1 + \cos x - \cos x = 1 \]
Soru 4:
Soru:
Aşağıdaki işlemin sonucunu hesaplayınız:
\[ E = \sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \tan 45^\circ \]
Aşağıdaki işlemin sonucunu hesaplayınız:
\[ E = \sin 30^\circ + \cos 60^\circ - \tan 45^\circ \]
Çözüm:
Çözüm:
Özel açıların trigonometrik değerlerini hatırlayalım ve yerlerine yazalım:
Özel açıların trigonometrik değerlerini hatırlayalım ve yerlerine yazalım:
- 1. Adım: Özel açıların değerleri:
👉 \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
👉 \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)
👉 \(\tan 45^\circ = 1\) - 2. Adım: Bu değerleri işlemde yerine koyalım:
\[ E = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 \] - 3. Adım: Toplama ve çıkarma işlemlerini sırasıyla yapalım:
\[ E = 1 - 1 = 0 \]
Soru 5:
Soru:
\(\tan x - \cot x = 4\) olduğuna göre, \(\tan^2 x + \cot^2 x\) ifadesinin değerini bulunuz.
\(\tan x - \cot x = 4\) olduğuna göre, \(\tan^2 x + \cot^2 x\) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm:
Çözüm:
Bu tarz sorularda verilen eşitliğin her iki tarafının karesini alarak sonuca ulaşırız:
Bu tarz sorularda verilen eşitliğin her iki tarafının karesini alarak sonuca ulaşırız:
- 1. Adım: Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım:
\[ (\tan x - \cot x)^2 = 4^2 \] - 2. Adım: Tam kare açılımı formülünü uygulayalım:
\[ \tan^2 x - 2 \cdot \tan x \cdot \cot x + \cot^2 x = 16 \] - 3. Adım: Trigonometride aynı açının tanjantı ile kotanjantının çarpımının \(1\) olduğunu biliyoruz:
\[ \tan x \cdot \cot x = 1 \] - 4. Adım: Bu bilgiyi denklemde yerine yazalım:
\[ \tan^2 x - 2 \cdot 1 + \cot^2 x = 16 \] \[ \tan^2 x - 2 + \cot^2 x = 16 \] - 5. Adım: \(-2\) ifadesini eşitliğin karşı tarafına artı olarak geçirelim:
\[ \tan^2 x + \cot^2 x = 16 + 2 \] \[ \tan^2 x + \cot^2 x = 18 \]
Soru 6:
Soru:
Bir deniz fenerinin tepesinden denize bakan bir gözlemci, deniz seviyesindeki bir gemiyi \(30^\circ\)lik bir alçalma açısıyla görmektedir. Deniz fenerinin yüksekliği \(60\) metre olduğuna göre, geminin fenerin tabanına olan yatay uzaklığı kaç metredir?
Bir deniz fenerinin tepesinden denize bakan bir gözlemci, deniz seviyesindeki bir gemiyi \(30^\circ\)lik bir alçalma açısıyla görmektedir. Deniz fenerinin yüksekliği \(60\) metre olduğuna göre, geminin fenerin tabanına olan yatay uzaklığı kaç metredir?
Çözüm:
Çözüm:
Soruyu görselleştirmek için bir dik üçgen modeli kuralım:
Soruyu görselleştirmek için bir dik üçgen modeli kuralım:
- 1. Adım: Alçalma açısı \(30^\circ\) ise, iç ters açılardan dolayı geminin fenere bakış açısı (yükseliş açısı) da \(30^\circ\) olur.
- 2. Adım: Fenerin yüksekliği dik üçgenin karşı dik kenarıdır ve uzunluğu \(60\) metredir. Geminin fenerin tabanına olan yatay uzaklığına \(d\) diyelim. Bu da komşu dik kenardır.
- 3. Adım: Karşı ve komşu kenarları ilişkilendiren trigonometrik oran tanjanttır:
\[ \tan 30^\circ = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} \] \[ \tan 30^\circ = \frac{60}{d} \] - 4. Adım: \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) değerini yerine yazalım:
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60}{d} \] - 5. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak \(d\) değerini bulalım:
\[ d = 60\sqrt{3} \text{ metre} \]
Soru 7:
Soru:
Bir okulun girişine tekerlekli sandalye kullanan öğrenciler için bir rampa yapılacaktır. Rampa yönetmeliğine göre güvenli bir geçiş için rampanın eğim açısı en fazla \(30^\circ\) olmalıdır. Rampanın yerden yüksekliği \(1.5\) metre olacağına göre, yapılacak rampanın boyu (hipotenüs uzunluğu) en az kaç metre olmalıdır?
Bir okulun girişine tekerlekli sandalye kullanan öğrenciler için bir rampa yapılacaktır. Rampa yönetmeliğine göre güvenli bir geçiş için rampanın eğim açısı en fazla \(30^\circ\) olmalıdır. Rampanın yerden yüksekliği \(1.5\) metre olacağına göre, yapılacak rampanın boyu (hipotenüs uzunluğu) en az kaç metre olmalıdır?
Çözüm:
Çözüm:
Bu günlük hayat problemini dik üçgen yardımıyla modelleyelim:
Bu günlük hayat problemini dik üçgen yardımıyla modelleyelim:
- 1. Adım: Rampanın yüksekliği dik üçgenin karşı dik kenarıdır ve uzunluğu \(1.5\) metredir.
- 2. Adım: Rampanın eğim açısı \(30^\circ\)dir.
- 3. Adım: Bizden istenen rampanın kendi boyu, yani dik üçgenin hipotenüs uzunluğudur. Bu uzunluğa \(L\) diyelim.
- 4. Adım: Karşı kenar ve hipotenüsü içeren trigonometrik oran sinüstür:
\[ \sin 30^\circ = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \] \[ \sin 30^\circ = \frac{1.5}{L} \] - 5. Adım: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) değerini yerine yazalım:
\[ \frac{1}{2} = \frac{1.5}{L} \] - 6. Adım: İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ L = 2 \cdot 1.5 = 3 \text{ metre} \]
Soru 8:
Soru:
Analitik düzlemde, birim çember üzerinde ve birinci bölgede bulunan bir \(P(a, \frac{\sqrt{3}}{2})\) noktası veriliyor. Buna göre, \(a\) değerini bulunuz.
Analitik düzlemde, birim çember üzerinde ve birinci bölgede bulunan bir \(P(a, \frac{\sqrt{3}}{2})\) noktası veriliyor. Buna göre, \(a\) değerini bulunuz.
Çözüm:
Çözüm:
Birim çember üzerindeki her noktanın koordinatları birim çember denklemini sağlamak zorundadır:
Birim çember üzerindeki her noktanın koordinatları birim çember denklemini sağlamak zorundadır:
- 1. Adım: Birim çemberin genel denklemi şudur:
\[ x^2 + y^2 = 1 \] - 2. Adım: Verilen \(P(a, \frac{\sqrt{3}}{2})\) noktasının koordinatlarını denklemde yerine yazalım:
\[ a^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 \] - 3. Adım: Kare alma işlemini uygulayalım:
\[ a^2 + \frac{3}{4} = 1 \] - 4. Adım: \(\frac{3}{4}\) ifadesini karşıya atarak \(a^2\) değerini yalnız bırakalım:
\[ a^2 = 1 - \frac{3}{4} \] \[ a^2 = \frac{1}{4} \] - 5. Adım: Her iki tarafın karekökünü alalım:
\[ a = \frac{1}{2} \text{ veya } a = -\frac{1}{2} \] - 6. Adım: Noktanın birinci bölgede olduğu belirtilmiştir. Birinci bölgede \(x\) koordinatı (yani \(a\)) pozitif olmalıdır. Bu yüzden:
\[ a = \frac{1}{2} \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/10-sinif-matematik-trigonometri/sorular