Bu durumda \( \angle ACB \) de \( 70^\circ \) olur. ✅
4
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Bir parkta bulunan üç arkadaş, Ali, Burcu ve Can, birer noktada durmaktadır. Ali'nin durduğu nokta A, Burcu'nun durduğu nokta B ve Can'ın durduğu nokta C ile bir üçgen oluşturmaktadır. \( \angle CAB = 75^\circ \) ve \( \angle ABC = 45^\circ \) olarak ölçülmüştür. Eğer Ali ile Can arasındaki mesafe 12 metre ise, Burcu ile Can arasındaki mesafeyi (AC uzunluğunu) bulunuz. 🌳
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle üçgenin üçüncü açısını bulalım. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) dir. 📌
Soruda Ali ile Can arasındaki mesafe 12 metre olarak verilmiş. Bu, \( BC \) kenarının uzunluğudur, yani \( BC = 12 \) metredir. Bizden istenen ise Burcu ile Can arasındaki mesafe, yani \( AC \) kenarının uzunluğudur. 📏
Bu tip sorular genellikle Sinüs Teoremi ile çözülür. Ancak 10. Sınıf müfredatında Sinüs Teoremi henüz işlenmediği için, bu sorunun bu seviyede doğrudan çözümü için ek bilgi veya farklı bir yaklaşım gerekebilir. Eğer soru, müfredata uygun olarak sadece temel üçgen bilgisiyle çözülecekse, bu sorunun formatı bu seviyeye uygun olmayabilir.
Not: Eğer bu soru 10. Sınıf müfredatı dışına çıkmadan sorulacaksa, açılar özel durumlar (örneğin 30-60-90 veya 45-45-90 üçgenleri) yaratacak şekilde verilmelidir. Bu soruda verilen açılarla, müfredat dışı bir bilgi olmadan tam bir çözüm üretmek mümkün değildir. Bu nedenle, bu örnek müfredat sınırları içinde kalmak adına, bu tür bir soru için açılar farklı olmalıdır.
Örnek Müfredata Uygun Soru Varyasyonu:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 60^\circ \), \( \angle B = 45^\circ \) ve \( BC = 6\sqrt{2} \) ise, AC kenarını bulunuz.
Bu durumda \( \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \) olur. Sinüs teoremi \( \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \) formülü ile \( AC = \frac{BC \sin B}{\sin A} = \frac{6\sqrt{2} \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{6\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \) bulunur.
Önemli Not: 10. Sınıf müfredatında Sinüs Teoremi yer almadığı için, bu tür bir soru genellikle daha basit açılarla veya Pisagor teoremi gibi daha temel bilgilerle çözülecek şekilde tasarlanır. Bu örnek, müfredat dışı bir konuya işaret edebileceği için dikkatli kullanılmalıdır. ✅
5
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Bir harita üzerinde üç şehir (X, Y, Z) işaretlenmiştir. X ve Y şehirleri arasındaki mesafe 50 km, Y ve Z şehirleri arasındaki mesafe 70 km'dir. Eğer X, Y ve Z şehirlerinin oluşturduğu üçgenin X açısı \( 60^\circ \) ise, X ve Z şehirleri arasındaki mesafeyi (XZ uzunluğunu) yaklaşık olarak hesaplamak istiyoruz. 🗺️
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, iki kenar uzunluğu (\( XY = 50 \) km, \( YZ = 70 \) km) ve bu kenarlar arasındaki açının komşu açısı (\( \angle X = 60^\circ \)) verilmiştir. Üçüncü kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Ancak 10. Sınıf müfredatında Kosinüs Teoremi yer almamaktadır. 📌
Müfredat Sınırları İçinde Yaklaşım:
Eğer bu soru 10. Sınıf müfredatına uygun olacaksa, verilen bilgiler farklı olmalıdır. Örneğin, eğer \( \angle Y \) verilseydi ve \( XY \) ile \( YZ \) kenarları biliniyor olsaydı, \( XZ \) kenarı bulunabilirdi (Kosinüs Teoremi ile).
Örnek Müfredata Uygun Soru Varyasyonu:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm, \( BC = 7 \) cm ve \( \angle B = 60^\circ \) ise, AC kenarının uzunluğunu bulunuz.
Bu durumda Kosinüs Teoremi \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(\angle B) \) formülü ile \( AC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos(60^\circ) = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39 \) olur. \( AC = \sqrt{39} \) cm bulunur.
Mevcut Soru İçin Çözüm Yaklaşımı (Kosinüs Teoremi Bilgisiyle):
Kosinüs Teoremi'ne göre:
\( XZ^2 = XY^2 + YZ^2 - 2 \times XY \times YZ \times \cos(\angle Y) \)
Ancak \( \angle Y \) verilmemiş. Eğer \( \angle X \) verilmiş olsaydı ve \( XY \) ile \( XZ \) kenarları biliniyor olsaydı, \( YZ \) kenarı bulunabilirdi.
Soruda verilen \( \angle X = 60^\circ \) bilgisiyle, \( YZ \) kenarını bulmak için \( \angle Y \) veya \( \angle Z \) açılarından birinin daha bilinmesi gerekir. Eğer \( \angle Y = 90^\circ \) olsaydı, bu bir dik üçgen olurdu ve \( XZ^2 = XY^2 + YZ^2 \) (Pisagor) ile \( XZ^2 = 50^2 + 70^2 = 2500 + 4900 = 7400 \) ve \( XZ = \sqrt{7400} \approx 86 \) km olurdu. Ancak bu bir varsayımdır.
Sonuç: Mevcut soru formatı, 10. Sınıf müfredatındaki temel üçgen bilgisiyle tam olarak çözülemez. Müfredata uygun hale getirmek için ya açılar ya da verilen kenarların konumu değiştirilmelidir. ✅
6
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Bir ABC üçgeninde, \( \angle A \) açısının açıortayı AD'dir. \( AB = 10 \) cm, \( AC = 15 \) cm ve \( BD = 4 \) cm ise, \( DC \) kaç cm'dir? 📏
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde açıortay teoremi kullanılır. Açıortay teoremi, bir üçgende bir açının açıortayının, karşı kenarı kestiği noktada, kenarı diğer iki kenarla orantılı olarak böldüğünü belirtir. 📌
Açıortay Teoremi'ne göre:
\( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \)
\( \frac{10}{15} = \frac{4}{DC} \)
Şimdi \( DC \) değerini bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım:
\( 10 \times DC = 15 \times 4 \)
\( 10 \times DC = 60 \)
\( DC = \frac{60}{10} \)
\( DC = 6 \) cm
Cevap: \( DC = 6 \) cm ✅
7
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken üçgen bir şekil kullanıyor. Bu üçgenin iki kenarı arasındaki açı \( 120^\circ \) ve bu kenarların uzunlukları sırasıyla 8 metre ve 10 metredir. Mühendisin, bu iki kenarı birleştiren üçüncü kenarın uzunluğunu bilmesi gerekmektedir. Bu uzunluk kaç metredir? 🏗️
Çözüm ve Açıklama
Bu problem, verilen iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı ile üçüncü kenar uzunluğunu bulmayı gerektirir. Bu durum Kosinüs Teoremi ile çözülür. Ancak 10. Sınıf müfredatında Kosinüs Teoremi bulunmamaktadır. 📌
Müfredat Sınırları İçinde Yaklaşım:
Eğer bu soru 10. Sınıf müfredatına uygun olacaksa, verilen bilgiler farklı olmalıdır. Örneğin, eğer üçgen dik üçgen olsaydı veya Pisagor teoremini kullanmaya uygun başka bir durum söz konusu olsaydı çözülebilirdi.
Örnek Müfredata Uygun Soru Varyasyonu:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm ve \( \angle B = 90^\circ \) ise, AC kenarının uzunluğunu bulunuz.
Bu durumda Pisagor Teoremi kullanılır: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). \( AC = \sqrt{100} = 10 \) cm olur.
Mevcut Soru İçin Çözüm Yaklaşımı (Kosinüs Teoremi Bilgisiyle):
Kosinüs Teoremi'ne göre, \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \).
Burada \( a = 8 \) m, \( b = 10 \) m ve \( C = 120^\circ \) 'dir.
\( c^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \times 8 \times 10 \times \cos(120^\circ) \)
\( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \)
\( c^2 = 64 + 100 - 160 \times (-\frac{1}{2}) \)
\( c^2 = 164 + 80 \)
\( c^2 = 244 \)
\( c = \sqrt{244} = \sqrt{4 \times 61} = 2\sqrt{61} \) metre.
Önemli Not: 10. Sınıf müfredatında Kosinüs Teoremi yer almadığı için, bu tür bir soru temel üçgen bilgisiyle çözülemez. ✅
8
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Bir ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm, \( BC = 7 \) cm ve \( AC = 8 \) cm'dir. Bu üçgenin çevresi kaç cm'dir? 📏
Çözüm ve Açıklama
Bir üçgenin çevresi, üç kenar uzunluğunun toplamına eşittir. 📌
Çevre = Kenar 1 + Kenar 2 + Kenar 3
Çevre = \( AB + BC + AC \)
Çevre = \( 5 \) cm + \( 7 \) cm + \( 8 \) cm
Çevre = \( 20 \) cm
Cevap: Üçgenin çevresi \( 20 \) cm'dir. ✅
9
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 90^\circ \) ve \( \angle B = 30^\circ \) olarak verilmiştir. Eğer \( BC \) kenarının uzunluğu 10 cm ise, \( AB \) kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Bu bir dik üçgen problemidir. \( \angle A = 90^\circ \) olduğundan, \( BC \) hipotenüstür. \( \angle B = 30^\circ \) ise, bu özel bir dik üçgendir (30-60-90 üçgeni). 📌
30-60-90 üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki ilişki şöyledir:
\( AB \) kenarı, \( \angle C = 60^\circ \) açısının karşısındadır. \( AC \) kenarı ise \( \angle B = 30^\circ \) açısının karşısındadır.
Önce \( AC \) kenarını bulalım:
\( AC = \frac{BC}{2} \)
\( AC = \frac{10}{2} \)
\( AC = 5 \) cm
Şimdi \( AB \) kenarını bulalım:
\( AB = AC \times \sqrt{3} \)
\( AB = 5 \times \sqrt{3} \) cm
Cevap: \( AB = 5\sqrt{3} \) cm ✅
10
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Bir bisikletli, düz bir yolda ilerlerken önündeki bir tepenin zirvesine doğru bakıyor. Tepenin zirvesi T, bisikletlinin bulunduğu nokta B ve tepenin dibi D olsun. B, D ve T noktaları bir dik üçgen oluşturmaktadır (\( \angle BDT = 90^\circ \)). Bisikletli ile tepenin dibi arasındaki mesafe 40 metre (\( BD = 40 \) m) ve bisikletlinin baktığı tepe zirvesinin yerden yüksekliği 30 metredir (\( TD = 30 \) m). Bisikletlinin, tepenin zirvesine olan kuş uçuşu mesafesini (BT uzunluğunu) hesaplayınız. 🚴♀️
Çözüm ve Açıklama
Bu problem, bir dik üçgenin iki dik kenarı verildiğinde hipotenüsünü bulmayı gerektirir. Bu durum Pisagor Teoremi ile çözülür. 📌
Pisagor Teoremi'ne göre, dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:
\( BT^2 = BD^2 + TD^2 \)
Verilenler:
\( BD = 40 \) m
\( TD = 30 \) m
Şimdi hesaplamayı yapalım:
\( BT^2 = (40)^2 + (30)^2 \)
\( BT^2 = 1600 + 900 \)
\( BT^2 = 2500 \)
\( BT = \sqrt{2500} \)
\( BT = 50 \) m
Cevap: Bisikletlinin tepenin zirvesine olan kuş uçuşu mesafesi \( 50 \) metredir. ✅
10. Sınıf Matematik: Üçgenler Fonksiyonlar Problemler Çözümlü Sorular
Soru 1:
Bir ABC üçgeninde, \( \angle A = 50^\circ \) ve \( \angle B = 60^\circ \) olarak verilmiştir. Buna göre \( \angle C \) kaç derecedir? 📐
Çözüm:
Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman \( 180^\circ \) dir. 📌
Bu bilgiyi kullanarak \( \angle C \) açısını bulabiliriz:
\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
\( 50^\circ + 60^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( 110^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( \angle C = 180^\circ - 110^\circ \)
\( \angle C = 70^\circ \)
Cevap: \( \angle C = 70^\circ \) ✅
Soru 2:
Bir ikizkenar üçgende, tepe açısı \( 80^\circ \) ise, taban açılarından biri kaç derecedir? 💡
Çözüm:
İkizkenar üçgende taban açıları birbirine eşittir. 📐
Üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) olduğundan:
Bu durumda \( \angle ACB \) de \( 70^\circ \) olur. ✅
Soru 4:
Bir parkta bulunan üç arkadaş, Ali, Burcu ve Can, birer noktada durmaktadır. Ali'nin durduğu nokta A, Burcu'nun durduğu nokta B ve Can'ın durduğu nokta C ile bir üçgen oluşturmaktadır. \( \angle CAB = 75^\circ \) ve \( \angle ABC = 45^\circ \) olarak ölçülmüştür. Eğer Ali ile Can arasındaki mesafe 12 metre ise, Burcu ile Can arasındaki mesafeyi (AC uzunluğunu) bulunuz. 🌳
Çözüm:
Öncelikle üçgenin üçüncü açısını bulalım. Bir üçgenin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \) dir. 📌
Soruda Ali ile Can arasındaki mesafe 12 metre olarak verilmiş. Bu, \( BC \) kenarının uzunluğudur, yani \( BC = 12 \) metredir. Bizden istenen ise Burcu ile Can arasındaki mesafe, yani \( AC \) kenarının uzunluğudur. 📏
Bu tip sorular genellikle Sinüs Teoremi ile çözülür. Ancak 10. Sınıf müfredatında Sinüs Teoremi henüz işlenmediği için, bu sorunun bu seviyede doğrudan çözümü için ek bilgi veya farklı bir yaklaşım gerekebilir. Eğer soru, müfredata uygun olarak sadece temel üçgen bilgisiyle çözülecekse, bu sorunun formatı bu seviyeye uygun olmayabilir.
Not: Eğer bu soru 10. Sınıf müfredatı dışına çıkmadan sorulacaksa, açılar özel durumlar (örneğin 30-60-90 veya 45-45-90 üçgenleri) yaratacak şekilde verilmelidir. Bu soruda verilen açılarla, müfredat dışı bir bilgi olmadan tam bir çözüm üretmek mümkün değildir. Bu nedenle, bu örnek müfredat sınırları içinde kalmak adına, bu tür bir soru için açılar farklı olmalıdır.
Örnek Müfredata Uygun Soru Varyasyonu:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 60^\circ \), \( \angle B = 45^\circ \) ve \( BC = 6\sqrt{2} \) ise, AC kenarını bulunuz.
Bu durumda \( \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \) olur. Sinüs teoremi \( \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \) formülü ile \( AC = \frac{BC \sin B}{\sin A} = \frac{6\sqrt{2} \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{6\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \) bulunur.
Önemli Not: 10. Sınıf müfredatında Sinüs Teoremi yer almadığı için, bu tür bir soru genellikle daha basit açılarla veya Pisagor teoremi gibi daha temel bilgilerle çözülecek şekilde tasarlanır. Bu örnek, müfredat dışı bir konuya işaret edebileceği için dikkatli kullanılmalıdır. ✅
Soru 5:
Bir harita üzerinde üç şehir (X, Y, Z) işaretlenmiştir. X ve Y şehirleri arasındaki mesafe 50 km, Y ve Z şehirleri arasındaki mesafe 70 km'dir. Eğer X, Y ve Z şehirlerinin oluşturduğu üçgenin X açısı \( 60^\circ \) ise, X ve Z şehirleri arasındaki mesafeyi (XZ uzunluğunu) yaklaşık olarak hesaplamak istiyoruz. 🗺️
Çözüm:
Bu problemde, iki kenar uzunluğu (\( XY = 50 \) km, \( YZ = 70 \) km) ve bu kenarlar arasındaki açının komşu açısı (\( \angle X = 60^\circ \)) verilmiştir. Üçüncü kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. Ancak 10. Sınıf müfredatında Kosinüs Teoremi yer almamaktadır. 📌
Müfredat Sınırları İçinde Yaklaşım:
Eğer bu soru 10. Sınıf müfredatına uygun olacaksa, verilen bilgiler farklı olmalıdır. Örneğin, eğer \( \angle Y \) verilseydi ve \( XY \) ile \( YZ \) kenarları biliniyor olsaydı, \( XZ \) kenarı bulunabilirdi (Kosinüs Teoremi ile).
Örnek Müfredata Uygun Soru Varyasyonu:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm, \( BC = 7 \) cm ve \( \angle B = 60^\circ \) ise, AC kenarının uzunluğunu bulunuz.
Bu durumda Kosinüs Teoremi \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(\angle B) \) formülü ile \( AC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos(60^\circ) = 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39 \) olur. \( AC = \sqrt{39} \) cm bulunur.
Mevcut Soru İçin Çözüm Yaklaşımı (Kosinüs Teoremi Bilgisiyle):
Kosinüs Teoremi'ne göre:
\( XZ^2 = XY^2 + YZ^2 - 2 \times XY \times YZ \times \cos(\angle Y) \)
Ancak \( \angle Y \) verilmemiş. Eğer \( \angle X \) verilmiş olsaydı ve \( XY \) ile \( XZ \) kenarları biliniyor olsaydı, \( YZ \) kenarı bulunabilirdi.
Soruda verilen \( \angle X = 60^\circ \) bilgisiyle, \( YZ \) kenarını bulmak için \( \angle Y \) veya \( \angle Z \) açılarından birinin daha bilinmesi gerekir. Eğer \( \angle Y = 90^\circ \) olsaydı, bu bir dik üçgen olurdu ve \( XZ^2 = XY^2 + YZ^2 \) (Pisagor) ile \( XZ^2 = 50^2 + 70^2 = 2500 + 4900 = 7400 \) ve \( XZ = \sqrt{7400} \approx 86 \) km olurdu. Ancak bu bir varsayımdır.
Sonuç: Mevcut soru formatı, 10. Sınıf müfredatındaki temel üçgen bilgisiyle tam olarak çözülemez. Müfredata uygun hale getirmek için ya açılar ya da verilen kenarların konumu değiştirilmelidir. ✅
Soru 6:
Bir ABC üçgeninde, \( \angle A \) açısının açıortayı AD'dir. \( AB = 10 \) cm, \( AC = 15 \) cm ve \( BD = 4 \) cm ise, \( DC \) kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bu problemde açıortay teoremi kullanılır. Açıortay teoremi, bir üçgende bir açının açıortayının, karşı kenarı kestiği noktada, kenarı diğer iki kenarla orantılı olarak böldüğünü belirtir. 📌
Açıortay Teoremi'ne göre:
\( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \)
\( \frac{10}{15} = \frac{4}{DC} \)
Şimdi \( DC \) değerini bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım:
\( 10 \times DC = 15 \times 4 \)
\( 10 \times DC = 60 \)
\( DC = \frac{60}{10} \)
\( DC = 6 \) cm
Cevap: \( DC = 6 \) cm ✅
Soru 7:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın temelini tasarlarken üçgen bir şekil kullanıyor. Bu üçgenin iki kenarı arasındaki açı \( 120^\circ \) ve bu kenarların uzunlukları sırasıyla 8 metre ve 10 metredir. Mühendisin, bu iki kenarı birleştiren üçüncü kenarın uzunluğunu bilmesi gerekmektedir. Bu uzunluk kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
Bu problem, verilen iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı ile üçüncü kenar uzunluğunu bulmayı gerektirir. Bu durum Kosinüs Teoremi ile çözülür. Ancak 10. Sınıf müfredatında Kosinüs Teoremi bulunmamaktadır. 📌
Müfredat Sınırları İçinde Yaklaşım:
Eğer bu soru 10. Sınıf müfredatına uygun olacaksa, verilen bilgiler farklı olmalıdır. Örneğin, eğer üçgen dik üçgen olsaydı veya Pisagor teoremini kullanmaya uygun başka bir durum söz konusu olsaydı çözülebilirdi.
Örnek Müfredata Uygun Soru Varyasyonu:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 6 \) cm, \( BC = 8 \) cm ve \( \angle B = 90^\circ \) ise, AC kenarının uzunluğunu bulunuz.
Bu durumda Pisagor Teoremi kullanılır: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). \( AC = \sqrt{100} = 10 \) cm olur.
Mevcut Soru İçin Çözüm Yaklaşımı (Kosinüs Teoremi Bilgisiyle):
Kosinüs Teoremi'ne göre, \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \).
Burada \( a = 8 \) m, \( b = 10 \) m ve \( C = 120^\circ \) 'dir.
\( c^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \times 8 \times 10 \times \cos(120^\circ) \)
\( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \)
\( c^2 = 64 + 100 - 160 \times (-\frac{1}{2}) \)
\( c^2 = 164 + 80 \)
\( c^2 = 244 \)
\( c = \sqrt{244} = \sqrt{4 \times 61} = 2\sqrt{61} \) metre.
Önemli Not: 10. Sınıf müfredatında Kosinüs Teoremi yer almadığı için, bu tür bir soru temel üçgen bilgisiyle çözülemez. ✅
Soru 8:
Bir ABC üçgeninde \( AB = 5 \) cm, \( BC = 7 \) cm ve \( AC = 8 \) cm'dir. Bu üçgenin çevresi kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Bir üçgenin çevresi, üç kenar uzunluğunun toplamına eşittir. 📌
Çevre = Kenar 1 + Kenar 2 + Kenar 3
Çevre = \( AB + BC + AC \)
Çevre = \( 5 \) cm + \( 7 \) cm + \( 8 \) cm
Çevre = \( 20 \) cm
Cevap: Üçgenin çevresi \( 20 \) cm'dir. ✅
Soru 9:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 90^\circ \) ve \( \angle B = 30^\circ \) olarak verilmiştir. Eğer \( BC \) kenarının uzunluğu 10 cm ise, \( AB \) kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu bir dik üçgen problemidir. \( \angle A = 90^\circ \) olduğundan, \( BC \) hipotenüstür. \( \angle B = 30^\circ \) ise, bu özel bir dik üçgendir (30-60-90 üçgeni). 📌
30-60-90 üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki ilişki şöyledir:
\( AB \) kenarı, \( \angle C = 60^\circ \) açısının karşısındadır. \( AC \) kenarı ise \( \angle B = 30^\circ \) açısının karşısındadır.
Önce \( AC \) kenarını bulalım:
\( AC = \frac{BC}{2} \)
\( AC = \frac{10}{2} \)
\( AC = 5 \) cm
Şimdi \( AB \) kenarını bulalım:
\( AB = AC \times \sqrt{3} \)
\( AB = 5 \times \sqrt{3} \) cm
Cevap: \( AB = 5\sqrt{3} \) cm ✅
Soru 10:
Bir bisikletli, düz bir yolda ilerlerken önündeki bir tepenin zirvesine doğru bakıyor. Tepenin zirvesi T, bisikletlinin bulunduğu nokta B ve tepenin dibi D olsun. B, D ve T noktaları bir dik üçgen oluşturmaktadır (\( \angle BDT = 90^\circ \)). Bisikletli ile tepenin dibi arasındaki mesafe 40 metre (\( BD = 40 \) m) ve bisikletlinin baktığı tepe zirvesinin yerden yüksekliği 30 metredir (\( TD = 30 \) m). Bisikletlinin, tepenin zirvesine olan kuş uçuşu mesafesini (BT uzunluğunu) hesaplayınız. 🚴♀️
Çözüm:
Bu problem, bir dik üçgenin iki dik kenarı verildiğinde hipotenüsünü bulmayı gerektirir. Bu durum Pisagor Teoremi ile çözülür. 📌
Pisagor Teoremi'ne göre, dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir:
\( BT^2 = BD^2 + TD^2 \)
Verilenler:
\( BD = 40 \) m
\( TD = 30 \) m
Şimdi hesaplamayı yapalım:
\( BT^2 = (40)^2 + (30)^2 \)
\( BT^2 = 1600 + 900 \)
\( BT^2 = 2500 \)
\( BT = \sqrt{2500} \)
\( BT = 50 \) m
Cevap: Bisikletlinin tepenin zirvesine olan kuş uçuşu mesafesi \( 50 \) metredir. ✅