💡 11. Sınıf Matematik: Analitik Geometri Çözümlü Sorular
1
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Soru 1: Analitik düzlemde verilen \(A(2, -3)\) ve \(B(-4, 5)\) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm ve Açıklama
📌 İki nokta arasındaki uzaklık formülü \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) ile bulunur.
💡 Adım 1: Noktaların koordinatlarını belirleyelim.
\(A(x_1, y_1) = (2, -3)\)
\(B(x_2, y_2) = (-4, 5)\)
👉 Adım 2: Uzaklık formülünü uygulayalım.
\[d = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (5 - (-3))^2}\]
\[d = \sqrt{(-6)^2 + (5 + 3)^2}\]
\[d = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2}\]
\[d = \sqrt{36 + 64}\]
\[d = \sqrt{100}\]
✅ Adım 3: Sonucu bulalım.
\[d = 10\]
Buna göre, \(A\) ve \(B\) noktaları arasındaki uzaklık 10 birimdir.
2
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Soru 2: Analitik düzlemde \(A(3, -1)\) noktasından geçen ve eğimi \(m = 2\) olan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
📌 Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi \(y - y_1 = m(x - x_1)\) formülü ile bulunur.
💡 Adım 1: Verilen değerleri belirleyelim.
\(A(x_1, y_1) = (3, -1)\)
\(m = 2\)
👉 Adım 2: Doğru denklemi formülünde yerine koyalım.
\[y - (-1) = 2(x - 3)\]
\[y + 1 = 2x - 6\]
✅ Adım 3: Denklemi düzenleyelim.
\[y = 2x - 6 - 1\]
\[y = 2x - 7\]
Buna göre, doğrunun denklemi \(y = 2x - 7\) veya \(2x - y - 7 = 0\)'dır.
3
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Soru 3: Analitik düzlemde \(A(1, 4)\) ve \(B(-2, -5)\) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
📌 İki noktası bilinen doğrunun denklemini bulmak için önce eğimi hesaplarız, sonra bir nokta ve eğim kullanarak denklemi yazarız.
💡 Adım 1: Doğrunun eğimini hesaplayalım.
Eğim formülü \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) dir.
\[m = \frac{-5 - 4}{-2 - 1} = \frac{-9}{-3} = 3\]
👉 Adım 2: \(A(1, 4)\) noktasını ve \(m=3\) eğimini kullanarak doğru denklemini yazalım.
\[y - y_1 = m(x - x_1)\]
\[y - 4 = 3(x - 1)\]
\[y - 4 = 3x - 3\]
✅ Adım 3: Denklemi düzenleyelim.
\[y = 3x - 3 + 4\]
\[y = 3x + 1\]
Buna göre, doğrunun denklemi \(y = 3x + 1\) veya \(3x - y + 1 = 0\)'dır.
4
Çözümlü Soru
Zor Seviye
Soru 4: Analitik düzlemde \(d_1: 2x - 3y + 5 = 0\) doğrusuna paralel olan ve \(A(1, 2)\) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
📌 Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. İlk doğrunun eğimini bulup, bu eğimi ve verilen noktayı kullanarak yeni doğrunun denklemini yazacağız.
Buna göre, \(A\) noktasının doğruya olan uzaklığı \(\frac{3}{5}\) birimdir.
6
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Soru 6: Analitik düzlemde \(A(2, -1)\) noktasının orijin etrafında pozitif yönde \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan \(A'\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
📌 Bir \(P(x, y)\) noktasının orijin etrafında pozitif yönde \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan \(P'\) noktasının koordinatları \(P'(-y, x)\) olur.
💡 Adım 1: Verilen \(A\) noktasının koordinatlarını belirleyelim.
\(A(x, y) = (2, -1)\)
👉 Adım 2: Dönme kuralını uygulayalım.
\(x' = -y\) ve \(y' = x\)
\(x' = -(-1) = 1\)
\(y' = 2\)
✅ Adım 3: \(A'\) noktasının koordinatlarını yazalım.
\(A'(1, 2)\)
Buna göre, \(A'\) noktasının koordinatları \((1, 2)\)'dir.
7
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Soru 7: Analitik düzlemde \(B(4, -3)\) noktasının \(y = x\) doğrusuna göre yansıması olan \(B'\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
📌 Bir \(P(x, y)\) noktasının \(y = x\) doğrusuna göre yansıması olan \(P'\) noktasının koordinatları \(P'(y, x)\) olur.
💡 Adım 1: Verilen \(B\) noktasının koordinatlarını belirleyelim.
\(B(x, y) = (4, -3)\)
👉 Adım 2: Yansıma kuralını uygulayalım.
\(x' = y\) ve \(y' = x\)
\(x' = -3\)
\(y' = 4\)
✅ Adım 3: \(B'\) noktasının koordinatlarını yazalım.
\(B'(-3, 4)\)
Buna göre, \(B'\) noktasının koordinatları \((-3, 4)\)'tür.
8
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Soru 8: Köşe koordinatları \(A(1, 2)\), \(B(5, 2)\) ve \(C(3, 6)\) olan üçgenin alanını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
📌 Bir üçgenin analitik düzlemdeki alanını bulmak için taban ve bu tabana ait yüksekliği kullanabiliriz. Burada \(AB\) kenarını taban olarak alabiliriz, çünkü \(y\) koordinatları aynıdır.
💡 Adım 1: \(AB\) kenarının uzunluğunu (taban) bulalım.
\(A(1, 2)\) ve \(B(5, 2)\) noktaları arasındaki uzaklık:
11. Sınıf Matematik: Analitik Geometri Çözümlü Sorular
Soru 1:
Soru 1: Analitik düzlemde verilen \(A(2, -3)\) ve \(B(-4, 5)\) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
📌 İki nokta arasındaki uzaklık formülü \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) ile bulunur.
💡 Adım 1: Noktaların koordinatlarını belirleyelim.
\(A(x_1, y_1) = (2, -3)\)
\(B(x_2, y_2) = (-4, 5)\)
👉 Adım 2: Uzaklık formülünü uygulayalım.
\[d = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (5 - (-3))^2}\]
\[d = \sqrt{(-6)^2 + (5 + 3)^2}\]
\[d = \sqrt{(-6)^2 + (8)^2}\]
\[d = \sqrt{36 + 64}\]
\[d = \sqrt{100}\]
✅ Adım 3: Sonucu bulalım.
\[d = 10\]
Buna göre, \(A\) ve \(B\) noktaları arasındaki uzaklık 10 birimdir.
Soru 2:
Soru 2: Analitik düzlemde \(A(3, -1)\) noktasından geçen ve eğimi \(m = 2\) olan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
📌 Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi \(y - y_1 = m(x - x_1)\) formülü ile bulunur.
💡 Adım 1: Verilen değerleri belirleyelim.
\(A(x_1, y_1) = (3, -1)\)
\(m = 2\)
👉 Adım 2: Doğru denklemi formülünde yerine koyalım.
\[y - (-1) = 2(x - 3)\]
\[y + 1 = 2x - 6\]
✅ Adım 3: Denklemi düzenleyelim.
\[y = 2x - 6 - 1\]
\[y = 2x - 7\]
Buna göre, doğrunun denklemi \(y = 2x - 7\) veya \(2x - y - 7 = 0\)'dır.
Soru 3:
Soru 3: Analitik düzlemde \(A(1, 4)\) ve \(B(-2, -5)\) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
📌 İki noktası bilinen doğrunun denklemini bulmak için önce eğimi hesaplarız, sonra bir nokta ve eğim kullanarak denklemi yazarız.
💡 Adım 1: Doğrunun eğimini hesaplayalım.
Eğim formülü \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) dir.
\[m = \frac{-5 - 4}{-2 - 1} = \frac{-9}{-3} = 3\]
👉 Adım 2: \(A(1, 4)\) noktasını ve \(m=3\) eğimini kullanarak doğru denklemini yazalım.
\[y - y_1 = m(x - x_1)\]
\[y - 4 = 3(x - 1)\]
\[y - 4 = 3x - 3\]
✅ Adım 3: Denklemi düzenleyelim.
\[y = 3x - 3 + 4\]
\[y = 3x + 1\]
Buna göre, doğrunun denklemi \(y = 3x + 1\) veya \(3x - y + 1 = 0\)'dır.
Soru 4:
Soru 4: Analitik düzlemde \(d_1: 2x - 3y + 5 = 0\) doğrusuna paralel olan ve \(A(1, 2)\) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
📌 Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. İlk doğrunun eğimini bulup, bu eğimi ve verilen noktayı kullanarak yeni doğrunun denklemini yazacağız.
Buna göre, \(A\) noktasının doğruya olan uzaklığı \(\frac{3}{5}\) birimdir.
Soru 6:
Soru 6: Analitik düzlemde \(A(2, -1)\) noktasının orijin etrafında pozitif yönde \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan \(A'\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
📌 Bir \(P(x, y)\) noktasının orijin etrafında pozitif yönde \(90^\circ\) döndürülmesiyle oluşan \(P'\) noktasının koordinatları \(P'(-y, x)\) olur.
💡 Adım 1: Verilen \(A\) noktasının koordinatlarını belirleyelim.
\(A(x, y) = (2, -1)\)
👉 Adım 2: Dönme kuralını uygulayalım.
\(x' = -y\) ve \(y' = x\)
\(x' = -(-1) = 1\)
\(y' = 2\)
✅ Adım 3: \(A'\) noktasının koordinatlarını yazalım.
\(A'(1, 2)\)
Buna göre, \(A'\) noktasının koordinatları \((1, 2)\)'dir.
Soru 7:
Soru 7: Analitik düzlemde \(B(4, -3)\) noktasının \(y = x\) doğrusuna göre yansıması olan \(B'\) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
📌 Bir \(P(x, y)\) noktasının \(y = x\) doğrusuna göre yansıması olan \(P'\) noktasının koordinatları \(P'(y, x)\) olur.
💡 Adım 1: Verilen \(B\) noktasının koordinatlarını belirleyelim.
\(B(x, y) = (4, -3)\)
👉 Adım 2: Yansıma kuralını uygulayalım.
\(x' = y\) ve \(y' = x\)
\(x' = -3\)
\(y' = 4\)
✅ Adım 3: \(B'\) noktasının koordinatlarını yazalım.
\(B'(-3, 4)\)
Buna göre, \(B'\) noktasının koordinatları \((-3, 4)\)'tür.
Soru 8:
Soru 8: Köşe koordinatları \(A(1, 2)\), \(B(5, 2)\) ve \(C(3, 6)\) olan üçgenin alanını bulunuz.
Çözüm:
📌 Bir üçgenin analitik düzlemdeki alanını bulmak için taban ve bu tabana ait yüksekliği kullanabiliriz. Burada \(AB\) kenarını taban olarak alabiliriz, çünkü \(y\) koordinatları aynıdır.
💡 Adım 1: \(AB\) kenarının uzunluğunu (taban) bulalım.
\(A(1, 2)\) ve \(B(5, 2)\) noktaları arasındaki uzaklık: