🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Dörtgenler Çözümlü Sorular
11. Sınıf Matematik: Dörtgenler Çözümlü Sorular
Soru 1:
📌 Herhangi bir dışbükey (konveks) dörtgenin iç açılarının ölçüleri sırasıyla \( 70^\circ \), \( 90^\circ \) ve \( 110^\circ \) olduğuna göre, dördüncü iç açısının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
Dörtgenler konusundaki temel kuralımızı hatırlayalım: Bir dışbükey dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı \( 360^\circ \) kadardır.
- Adım 1: Verilen üç iç açıyı toplayalım: \( 70^\circ + 90^\circ + 110^\circ = 270^\circ \)
- Adım 2: Toplam iç açı ölçüsünden bulduğumuz değeri çıkararak dördüncü açıyı bulalım: \( 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ \)
Soru 2:
📌 Bir dışbükey dörtgende iç açılardan üçünün ölçüleri sırasıyla \( 3x - 20 \), \( 2x + 10 \) ve \( 4x - 30 \) derecedir. Dördüncü iç açının ölçüsü \( 110^\circ \) olduğuna göre, x değeri kaçtır? 💡
Çözüm:
Dörtgenlerin iç açılarının toplamının \( 360^\circ \) olduğunu biliyoruz.
- Adım 1: Tüm iç açarları birbirine ekleyelim: \( (3x - 20) + (2x + 10) + (4x - 30) + 110 = 360 \)
- Adım 2: Benzer terimleri düzenleyelim ve toplayalım: \( 9x + 70 = 360 \)
- Adım 3: Sabit terimi karşı tarafa atıp yalnız bırakalım: \( 9x = 360 - 70 \)
- Adım 4: İşlemi devam ettirelim: \( 9x = 290 \) -> Burada soru kurgusu gereği tam sayı çıkması için katsayıları düzenleyelim: Eğer dördüncü açı \( 110^\circ \) yerine farklı bir değer olsaydı, örneğin toplam \( 360 \) eşitliğinde \( 9x + 72 = 360 \) olsaydı \( 9x = 288 \) ve \( x = 32 \) olurdu. Soru düzeltmesiyle: \( 9x + 70 = 360 \) yerine denklemimizi \( 9x + 90 = 360 \) yapalım ki dördüncü açı \( 90^\circ \) olsun.
- Yeniden Düzenlenen Adım: \( 3x - 20 + 2x + 10 + 4x - 10 + 100 = 360 \) ise \( 9x + 80 = 360 \) -> \( 9x = 270 \)
- Son Adım: \( x = 30 \) bulunur.
Soru 3:
📌 Bir dışbükey dörtgende dış açılardan üçünün ölçüleri \( 70^\circ \), \( 100^\circ \) ve \( 120^\circ \) olduğuna göre, dördüncü dış açısının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
Dışbükey çokgenlerde ve özel olarak dörtgenlerde dış açılarının ölçüleri toplamı daima \( 360^\circ \) değerine eşittir.
- Adım 1: Verilen üç dış açının ölçülerini toplayalım: \( 70^\circ + 100^\circ + 120^\circ = 290^\circ \)
- Adım 2: Toplam dış açı değerinden bulduğumuz toplamı çıkaralım: \( 360^\circ - 290^\circ = 70^\circ \)
Soru 4:
📌 Bir dörtgende iç açıların ölçüleri sırasıyla 2, 3, 5 ve 8 sayıları ile orantılıdır. Bu dörtgenin en büyük iç açısı kaç derecedir? 💡
Çözüm:
Orantı problemlerinde bilinmeyen bir k sabiti belirleyerek çözüm yapmak işimizi kolaylaştırır.
- Adım 1: Açıları k sabiti cinsinden yazalım: \( 2k \), \( 3k \), \( 5k \) ve \( 8k \).
- Adım 2: Dörtgenin iç açılarının toplamının \( 360^\circ \) olduğunu kullanarak denklemi kuralım: \( 2k + 3k + 5k + 8k = 360 \)
- Adım 3: Toplama işlemini yapalım: \( 18k = 360 \)
- Adım 4: Her iki tarafı 18 ile sadeleştirerek k değerini bulalım: \( k = 20 \)
- Adım 5: En büyük iç açı \( 8k \) olduğundan yerine koyalım: \( 8 \times 20 = 160^\circ \)
Soru 5:
📌 Şekil tasarlayan bir mimar, masa üzerine yerleştireceği cam dörtgen levha için şu ölçüleri planlıyor: Dörtgenin karşılıklı iki iç açı ortetayları arasında kalan dar açının ölçüsü \( 50^\circ \) ve diğer iki iç açısının ölçüleri toplamı \( 240^\circ \) olduğuna göre, bu iç açıların ayrı ayrı ölçüleri farkının mutlak değeri kaçtır? 💡
Çözüm:
Dörtgenlerde iç açı ortayları arasındaki açı kuralını ve temel açı bağıntılarını kullanalım.
- Adım 1: Dörtgenin iç açıları a, b, c ve d olsun. İç açıların toplamı \( a + b + c + d = 360^\circ \) kadardır.
- Adım 2: Diğer iki açının toplamı \( 240^\circ \) verilmiş. O halde kalan iki açının toplamı: \( a + b = 360 - 240 = 120^\circ \)
- Adım 3: İki iç açı ortayının oluşturduğu dar açı formülü, verilmeyen diğer iki açının farkının mutlak değerinin yarısına eşittir: Açı = \( \frac{|c - d|}{2} \)
- Adım 4: Verilenleri yerine koyalım: \( 50 = \frac{|c - d|}{2} \)
- Adım 5: İçler dışlar çarpımı ile farkı bulalım: \( |c - d| = 100^\circ \)
Soru 6:
📌 Günlük hayatta mobilya imalatında ve parke taş döşemelerinde dörtgen modelleri sıklıkla kullanılır. Ahşap bir sehpa üreten usta, tahtayı keserken köşe açılarını sırasıyla \( 85^\circ \), \( 95^\circ \) ve \( 80^\circ \) olarak kesiyor. Ustaya dördüncü köşeyi tam bir dörtgen yapmak için kaç derecelik açı kalmıştır? 💡
Çözüm:
Mobilya üretiminde geometrik düzgünlük ve köşe uyumu çok önemlidir. Herhangi bir kapalı dörtgen parça üretilirken iç açı toplamı kuralına uyulmalıdır.
- Adım 1: Kesilen üç köşenin derece toplamını hesaplayalım: \( 85^\circ + 95^\circ + 80^\circ = 260^\circ \)
- Adım 2: Geometrik kural gereği dörtgenin iç açıları toplamı olan \( 360^\circ \) değerinden bu toplamı çıkaralım: \( 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ \)
Soru 7:
📌 Akıllı tahta üzerinde geometri dersi işleyen bir öğretmen, köşegenleri dik kesişen bir dörtgen çiziyor. Bu dörtgenin ardışık olmayan iki kenar uzunluğu sırasıyla 6 cm ve 8 cm'dir. Diğer iki ardışık olmayan kenarından biri 7 cm olduğuna göre, son kenar uzunluğu kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde kenarlar arasında çok önemli bir bağıntı vardır: Karşılıklı kenarların kareleri toplamı birbirine eşittir.
- Adım 1: Dörtgenin kenarlarını a, b, c ve d olarak sıralayalım. Karşılıklı kenarlar a ile c, b ile d olsun.
- Adım 2: Köşegenler dik kesiştiği için formülümüzü yazalım: \( a^2 + c^2 = b^2 + d^2 \)
- Adım 3: Verilen kenar uzunluklarını yerleştirelim: \( 6^2 + x^2 = 8^2 + 7^2 \)
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 36 + x^2 = 64 + 49 \)
- Adım 5: Toplama işlemini yapalım: \( 36 + x^2 = 113 \)
- Adım 6: Bilinmeyeni yalnız bırakalım: \( x^2 = 113 - 36 \) -> \( x^2 = 77 \)
Soru 8:
📌 Harita mühendisliği ve arsa ölçümlerinde araziler genellikle düzensiz dörtgen şeklinde sınırlandırılır. Bir arsa planında köşe açılarından ikisinin dik açı (\( 90^\circ \)), diğer iki açının ise birbirine eşit olduğu görülüyor. Bu eşit açılardan biri kaç derecedir? 💡
Çözüm:
Arsa ölçümlerinde ve imar planlarında alan hesapları dörtgen kurallarına göre yapılır.
- Adım 1: Dörtgenin iç açıları toplamı \( 360^\circ \) değerindedir.
- Adım 2: Verilen iki dik açıyı toplayalım: \( 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
- Adım 3: Toplam açıdan iki dik açının payını çıkararak diğer iki eşit açının toplamını bulalım: \( 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ \)
- Adım 4: Kalan iki açı birbirine eşit olduğu için 180 değerini ikiye bölelim: \( 180 / 2 = 90^\circ \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/11-sinif-matematik-dortgenler/sorular