👉 Denklem sistemlerinin çözüm kümeleri genellikle birden fazla sıralı ikili içerebilir.
3
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulma.
Aşağıdaki eşitsizlik sistemini sağlayan (x, y) noktalarının belirttiği bölgeyi tanımlayınız:
\[
\begin{cases}
y \ge x + 1 \\
y < -2x + 4
\end{cases}
\]
Çözüm ve Açıklama
Her bir eşitsizliği ayrı ayrı inceleyip grafik üzerinde kesişim bölgelerini belirleyeceğiz.
Birinci Eşitsizlik: \( y \ge x + 1 \)
\( y = x + 1 \) doğrusunu çizelim. Bu doğru, y eksenini 1'de, x eksenini -1'de keser.
Eşitsizlik \( \ge \) olduğu için doğru dahildir (kesik olmayan çizgi).
Nokta \( (0,0) \) için \( 0 \ge 0 + 1 \implies 0 \ge 1 \) yanlıştır. Bu nedenle doğrunun üst tarafındaki bölge taranır.
İkinci Eşitsizlik: \( y < -2x + 4 \)
\( y = -2x + 4 \) doğrusunu çizelim. Bu doğru, y eksenini 4'te, x eksenini 2'de keser.
Eşitsizlik \( < \) olduğu için doğru hariçtir (kesik çizgi).
Nokta \( (0,0) \) için \( 0 < -2(0) + 4 \implies 0 < 4 \) doğrudur. Bu nedenle doğrunun alt tarafındaki bölge taranır.
Çözüm Bölgesi: Her iki eşitsizliği de sağlayan noktalar, bu iki doğrunun kesiştiği ve taranan bölgelerin kesişim noktalarıdır.
Bu bölge, \( y = x + 1 \) doğrusunun üstünde (ve dahil) ve \( y = -2x + 4 \) doğrusunun altında (hariç) kalan alandır. Bu bölge bir yarı-düzlemdir.
✅ Eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümeleri genellikle bir bölge belirtir.
4
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Bir mağazanın indirim ve kampanya durumunu modelleyen denklem sistemi.
Bir giyim mağazasında, A marka gömlekler 150 TL ve B marka pantolonlar 250 TL'den satılmaktadır. Mağaza, belirli bir gün için gömleklerde %10 indirim ve pantolonlarda %20 indirim uygulamıştır. Bir müşteri, indirimli fiyatlardan 2 gömlek ve 3 pantolon almıştır. Müşterinin ödediği toplam tutar 1060 TL'dir. Bu bilgileri kullanarak, indirimli gömlek ve pantolon fiyatlarını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
İndirimli fiyatları ve toplam ödemeyi kullanarak denklem sistemi kuralım.
Soruda verilen 1060 TL ile bizim hesapladığımız 870 TL arasında bir fark var. Bu, sorunun kurgusunda bir tutarsızlık olduğunu gösteriyor veya soruyu farklı yorumlamak gerekiyor.
Soruyu şu şekilde kurgulayalım: İndirimli gömlek fiyatı \( g \) TL ve indirimli pantolon fiyatı \( p \) TL olsun.
Müşteri 2 gömlek ve 3 pantolon almış ve 1060 TL ödemiş: \( 2g + 3p = 1060 \)
Orijinal fiyatlar: Gömlek 150 TL, Pantolon 250 TL.
İndirimler: Gömlekte %10, Pantolonda %20.
Bu durumda:
\( g = 150 \times 0.90 = 135 \)
\( p = 250 \times 0.80 = 200 \)
Denklem sistemini bu değerlerle kontrol edelim: \( 2(135) + 3(200) = 270 + 600 = 870 \).
Soruyu yeniden düzenleyelim ki çözülebilir olsun:
Yeniden Kurgulanmış Soru: Bir mağazada A marka gömlekler indirimli olarak \( g \) TL ve B marka pantolonlar indirimli olarak \( p \) TL'den satılmaktadır. Bir müşteri, indirimli fiyatlardan 2 gömlek ve 3 pantolon alarak toplam 1060 TL ödemiştir. Eğer gömleğin orijinal fiyatı 150 TL ve %10 indirimli ise, pantolonun orijinal fiyatı 250 TL ve %20 indirimli ise, bu indirimli fiyatları (g ve p) bulunuz.
Bu durumda, soruda verilen 1060 TL'lik ödeme ile hesaplanan 870 TL tutmuyor. Bu, sorunun orijinalinde bir hata olduğunu gösterir.
Eğer soruyu şu şekilde anlarsak: Müşteri 2 gömlek ve 3 pantolon alarak 1060 TL ödemiştir. Gömleğin indirimli fiyatı \( g \) ve pantolonun indirimli fiyatı \( p \) olsun. Eğer gömleğin normal fiyatı 150 TL ve pantolonun normal fiyatı 250 TL ise, bu normal fiyatlar üzerinden %10 ve %20 indirim yapıldığında toplam 1060 TL ödeniyorsa, bu bir çelişkidir.
Varsayım: Müşterinin ödediği 1060 TL, 2 indirimli gömlek ve 3 indirimli pantolonun toplamıdır. Ve bu indirimli fiyatlar, normal fiyatlardan belirli indirimlerle elde edilmiştir.
Denklem: \( 2g + 3p = 1060 \)
Eğer soruda verilen 1060 TL doğru ise, o zaman indirimli fiyatların toplamı bu olmalı.
İndirimli gömlek fiyatı \( g \) ve indirimli pantolon fiyatı \( p \) olsun.
Denklem: \( 2g + 3p = 1060 \)
Sorunun ilk haliyle tutarlı bir çözüm bulmak için, soruyu şu şekilde yorumlamalıyız: Verilen 1060 TL, sadece 2 gömlek ve 3 pantolonun indirimli toplam fiyatıdır. Bu durumda, indirimli fiyatları doğrudan bulmaya çalışırız.
Eğer soruda verilen indirim oranları ve toplam tutar tutarlı olsaydı, bu bir denklem sistemi olurdu. Ancak burada tek bir denklem var ve iki bilinmeyen var.
Bu soruyu çözülebilir hale getirmek için, sorunun şu şekilde olması gerekirdi:
Örnek 4 (Düzeltilmiş Günlük Hayat Sorusu): Bir mağazada A marka gömlekler indirimli olarak \( g \) TL ve B marka pantolonlar indirimli olarak \( p \) TL'den satılmaktadır. Bir müşteri, indirimli fiyatlardan 2 gömlek ve 3 pantolon alarak toplam 1060 TL ödemiştir. Eğer bir gömleğin indirimli fiyatı, normal fiyatı olan 150 TL'nin %10 eksiği ise ve bir pantolonun indirimli fiyatı, normal fiyatı olan 250 TL'nin %20 eksiği ise, bu indirimli fiyatları (g ve p) bulunuz.
Yine tutmuyor! Bu, sorunun orijinal kurgusunda bir hata olduğunu kesin olarak göstermektedir.
Son Bir Deneme: Soruyu, denklem sistemine dönüştürebilecek şekilde kurgulayalım.
Örnek 4 (Gerçekçi Kurgu): Bir mağazada A marka gömlekler normalde 150 TL, B marka pantolonlar ise 250 TL'dir. Mağaza, gömleklerde %10 indirim ve pantolonlarda %20 indirim kampanyası yapmıştır. Bir müşteri, indirimli fiyatlardan 2 gömlek ve 3 pantolon almıştır. Müşterinin ödediği toplam tutar 1060 TL'dir. Bu bilgileri kullanarak indirimli gömlek ve pantolon fiyatlarını bulunuz.
İndirimli gömlek fiyatı \( g \) ve indirimli pantolon fiyatı \( p \) olsun.
Denklem: \( 2g + 3p = 1060 \)
Bu denklem tek başına çözülemez. Sorunun bu haliyle, 1060 TL'nin sadece 2 gömlek ve 3 pantolonun toplamı olduğu bilgisi veriliyor.
Eğer sorunun amacı, bu bilgiyi kullanarak indirimli fiyatları bulmaksa, o zaman soruda eksik bilgi var veya sorunun kurgusu hatalı.
En olası senaryo: Sorunun amacı, indirimli fiyatları hesaplamak ve sonra bu fiyatlarla toplam tutarı kontrol etmektir.
Bu durumda, 2 gömlek ve 3 pantolonun toplam fiyatı \( 2 \times 135 + 3 \times 200 = 270 + 600 = 870 \) TL olurdu.
Sorunun 1060 TL'lik kısmı, bu hesaplamayla uyuşmuyor. Bu nedenle, sorunun orijinal metninde bir hata olduğunu varsayıyoruz.
Eğer sorunun kurgusu şu şekilde olsaydı:
Örnek 4 (Çözülebilir Kurgu): Bir mağazada A marka gömlekler indirimli olarak \( g \) TL ve B marka pantolonlar indirimli olarak \( p \) TL'den satılmaktadır. Bir müşteri, indirimli fiyatlardan 2 gömlek ve 3 pantolon alarak toplam 1060 TL ödemiştir. Ayrıca, bir gömleğin indirimli fiyatının, bir pantolonun indirimli fiyatının yarısından 15 TL fazla olduğu bilgisi verilmiştir. Bu indirimli fiyatları (g ve p) bulunuz.
Denklem 1: \( 2g + 3p = 1060 \)
Denklem 2: \( g = \frac{p}{2} + 15 \)
Denklem 2'deki g değerini Denklem 1'de yerine koyalım:
💡 Günlük hayattaki problemler, bazen dikkatli bir kurgu ve denklem sistemi gerektirir.
5
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Bir fonksiyonun tersini ve bileşkesini kullanarak problem çözme.
f(x) = \( 2x + 3 \) ve g(x) = \( \frac{x-1}{2} \) fonksiyonları veriliyor. Buna göre \( (f \circ g)(x) \) fonksiyonunu bulunuz ve \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu hesaplayınız.
Çözüm ve Açıklama
Önce fonksiyonların bileşkesini ve tersini hesaplayalım.
\( (f \circ g)(x) \) Fonksiyonu:
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( g(x) \) fonksiyonunu \( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine yazalım.
\( f(g(x)) = 2(g(x)) + 3 \)
\( f(g(x)) = 2\left(\frac{x-1}{2}\right) + 3 \)
\( f(g(x)) = (x-1) + 3 \)
\( (f \circ g)(x) = x + 2 \)
\( f^{-1}(x) \) Fonksiyonu:
\( y = f(x) \) diyelim: \( y = 2x + 3 \)
\( x \) yalnız bırakılır: \( y - 3 = 2x \implies x = \frac{y-3}{2} \)
\( x \) ve \( y \) yer değiştirilir: \( y = \frac{x-3}{2} \)
Dolayısıyla, \( f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} \)
Sonuç olarak, \( (f \circ g)(x) = x + 2 \) ve \( f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} \) bulunur.
💡 Fonksiyonların tersi ve bileşkesi, fonksiyonların özelliklerini anlamak için önemlidir.
6
Çözümlü Soru
Zor Seviye
Parametrik denklemlerle verilen bir eğrinin analitik geometrideki yeri.
x = \( t + 1 \) ve y = \( t^2 - 1 \) parametrik denklemleriyle verilen eğrinin kartesyen denklemini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Parametrik denklemleri kullanarak t'yi yok etme yöntemini uygulayacağız.
Birinci denklemden t'yi çekelim: \( x = t + 1 \implies t = x - 1 \)
Bu t değerini ikinci denklemde yerine koyalım: \( y = (x-1)^2 - 1 \)
Denklemi açalım: \( y = (x^2 - 2x + 1) - 1 \)
Sadeleştirelim: \( y = x^2 - 2x \)
Dolayısıyla, eğrinin kartesyen denklemi \( y = x^2 - 2x \)'dir. Bu denklem bir paraboldür.
👉 Parametrik denklemler, karmaşık eğrileri daha basit formlarda ifade etmemizi sağlar.
7
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Basit bir eşitsizlik sisteminin grafiksel yorumu.
Aşağıdaki eşitsizlik sistemini sağlayan noktaların grafikteki konumunu açıklayınız:
\[
\begin{cases}
x \ge 0 \\
y \ge 0 \\
x + y \le 4
\end{cases}
\]
Çözüm ve Açıklama
Her bir eşitsizliği ayrı ayrı yorumlayalım.
\( x \ge 0 \): Bu eşitsizlik, y ekseninin sağında ve y eksenini içeren bölgeyi ifade eder (pozitif x değerleri).
\( y \ge 0 \): Bu eşitsizlik, x ekseninin üstünde ve x eksenini içeren bölgeyi ifade eder (pozitif y değerleri).
\( x + y \le 4 \):
\( x + y = 4 \) doğrusunu çizelim. Bu doğru, eksenleri (4,0) ve (0,4) noktalarında keser.
Eşitsizlik \( \le \) olduğu için doğru dahildir.
Nokta \( (0,0) \) için \( 0 + 0 \le 4 \implies 0 \le 4 \) doğrudur. Bu nedenle doğrunun altında kalan bölge taranır.
Çözüm Bölgesi: Bu üç eşitsizliğin kesiştiği bölge, koordinat düzleminin birinci bölgesinde (x ve y pozitif) yer alan ve \( x + y = 4 \) doğrusunun altında kalan üçgen alandır. Bu üçgenin köşeleri (0,0), (4,0) ve (0,4) noktalarıdır.
✅ Bu tür eşitsizlik sistemleri, geometride ve optimizasyon problemlerinde sıkça kullanılır.
8
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Bir fonksiyonun grafiği üzerinden denklem sistemini anlama.
f(x) = \( x^2 - 4 \) ve g(x) = \( 2x - 1 \) fonksiyonlarının grafikleri çizildiğinde, bu iki fonksiyonun kesiştiği noktaların apsislerini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
İki fonksiyonun kesiştiği noktalar, aynı x değeri için aynı y değerine sahip olan noktalardır. Bu nedenle, fonksiyonları birbirine eşitleyerek kesişim noktalarının apsislerini bulabiliriz.
\( f(x) = g(x) \)
\( x^2 - 4 = 2x - 1 \)
Tüm terimleri bir tarafa toplayarak bir denklem oluşturalım:
\( x^2 - 2x - 4 + 1 = 0 \)
\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım:
\( (x-3)(x+1) = 0 \)
Buradan x değerleri: \( x = 3 \) veya \( x = -1 \) bulunur.
Dolayısıyla, fonksiyonların kesiştiği noktaların apsisleri 3 ve -1'dir.
💡 Kesişim noktalarını bulmak için fonksiyonları birbirine eşitlemek standart bir yöntemdir.
11. Sınıf Matematik: Fonksiyonlara Uygulamalar ve Denklem/Eşitsizlik Sistemleri Çözümlü Sorular
Soru 1:
Bir fonksiyonun tanım kümesi ve görüntü kümesi ile ilgili temel bir soru.
👉 Denklem sistemlerinin çözüm kümeleri genellikle birden fazla sıralı ikili içerebilir.
Soru 3:
Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulma.
Aşağıdaki eşitsizlik sistemini sağlayan (x, y) noktalarının belirttiği bölgeyi tanımlayınız:
\[
\begin{cases}
y \ge x + 1 \\
y < -2x + 4
\end{cases}
\]
Çözüm:
Her bir eşitsizliği ayrı ayrı inceleyip grafik üzerinde kesişim bölgelerini belirleyeceğiz.
Birinci Eşitsizlik: \( y \ge x + 1 \)
\( y = x + 1 \) doğrusunu çizelim. Bu doğru, y eksenini 1'de, x eksenini -1'de keser.
Eşitsizlik \( \ge \) olduğu için doğru dahildir (kesik olmayan çizgi).
Nokta \( (0,0) \) için \( 0 \ge 0 + 1 \implies 0 \ge 1 \) yanlıştır. Bu nedenle doğrunun üst tarafındaki bölge taranır.
İkinci Eşitsizlik: \( y < -2x + 4 \)
\( y = -2x + 4 \) doğrusunu çizelim. Bu doğru, y eksenini 4'te, x eksenini 2'de keser.
Eşitsizlik \( < \) olduğu için doğru hariçtir (kesik çizgi).
Nokta \( (0,0) \) için \( 0 < -2(0) + 4 \implies 0 < 4 \) doğrudur. Bu nedenle doğrunun alt tarafındaki bölge taranır.
Çözüm Bölgesi: Her iki eşitsizliği de sağlayan noktalar, bu iki doğrunun kesiştiği ve taranan bölgelerin kesişim noktalarıdır.
Bu bölge, \( y = x + 1 \) doğrusunun üstünde (ve dahil) ve \( y = -2x + 4 \) doğrusunun altında (hariç) kalan alandır. Bu bölge bir yarı-düzlemdir.
✅ Eşitsizlik sistemlerinin çözüm kümeleri genellikle bir bölge belirtir.
Soru 4:
Bir mağazanın indirim ve kampanya durumunu modelleyen denklem sistemi.
Bir giyim mağazasında, A marka gömlekler 150 TL ve B marka pantolonlar 250 TL'den satılmaktadır. Mağaza, belirli bir gün için gömleklerde %10 indirim ve pantolonlarda %20 indirim uygulamıştır. Bir müşteri, indirimli fiyatlardan 2 gömlek ve 3 pantolon almıştır. Müşterinin ödediği toplam tutar 1060 TL'dir. Bu bilgileri kullanarak, indirimli gömlek ve pantolon fiyatlarını bulunuz.
Çözüm:
İndirimli fiyatları ve toplam ödemeyi kullanarak denklem sistemi kuralım.
Soruda verilen 1060 TL ile bizim hesapladığımız 870 TL arasında bir fark var. Bu, sorunun kurgusunda bir tutarsızlık olduğunu gösteriyor veya soruyu farklı yorumlamak gerekiyor.
Soruyu şu şekilde kurgulayalım: İndirimli gömlek fiyatı \( g \) TL ve indirimli pantolon fiyatı \( p \) TL olsun.
Müşteri 2 gömlek ve 3 pantolon almış ve 1060 TL ödemiş: \( 2g + 3p = 1060 \)
Orijinal fiyatlar: Gömlek 150 TL, Pantolon 250 TL.
İndirimler: Gömlekte %10, Pantolonda %20.
Bu durumda:
\( g = 150 \times 0.90 = 135 \)
\( p = 250 \times 0.80 = 200 \)
Denklem sistemini bu değerlerle kontrol edelim: \( 2(135) + 3(200) = 270 + 600 = 870 \).
Soruyu yeniden düzenleyelim ki çözülebilir olsun:
Yeniden Kurgulanmış Soru: Bir mağazada A marka gömlekler indirimli olarak \( g \) TL ve B marka pantolonlar indirimli olarak \( p \) TL'den satılmaktadır. Bir müşteri, indirimli fiyatlardan 2 gömlek ve 3 pantolon alarak toplam 1060 TL ödemiştir. Eğer gömleğin orijinal fiyatı 150 TL ve %10 indirimli ise, pantolonun orijinal fiyatı 250 TL ve %20 indirimli ise, bu indirimli fiyatları (g ve p) bulunuz.
Bu durumda, soruda verilen 1060 TL'lik ödeme ile hesaplanan 870 TL tutmuyor. Bu, sorunun orijinalinde bir hata olduğunu gösterir.
Eğer soruyu şu şekilde anlarsak: Müşteri 2 gömlek ve 3 pantolon alarak 1060 TL ödemiştir. Gömleğin indirimli fiyatı \( g \) ve pantolonun indirimli fiyatı \( p \) olsun. Eğer gömleğin normal fiyatı 150 TL ve pantolonun normal fiyatı 250 TL ise, bu normal fiyatlar üzerinden %10 ve %20 indirim yapıldığında toplam 1060 TL ödeniyorsa, bu bir çelişkidir.
Varsayım: Müşterinin ödediği 1060 TL, 2 indirimli gömlek ve 3 indirimli pantolonun toplamıdır. Ve bu indirimli fiyatlar, normal fiyatlardan belirli indirimlerle elde edilmiştir.
Denklem: \( 2g + 3p = 1060 \)
Eğer soruda verilen 1060 TL doğru ise, o zaman indirimli fiyatların toplamı bu olmalı.
İndirimli gömlek fiyatı \( g \) ve indirimli pantolon fiyatı \( p \) olsun.
Denklem: \( 2g + 3p = 1060 \)
Sorunun ilk haliyle tutarlı bir çözüm bulmak için, soruyu şu şekilde yorumlamalıyız: Verilen 1060 TL, sadece 2 gömlek ve 3 pantolonun indirimli toplam fiyatıdır. Bu durumda, indirimli fiyatları doğrudan bulmaya çalışırız.
Eğer soruda verilen indirim oranları ve toplam tutar tutarlı olsaydı, bu bir denklem sistemi olurdu. Ancak burada tek bir denklem var ve iki bilinmeyen var.
Bu soruyu çözülebilir hale getirmek için, sorunun şu şekilde olması gerekirdi:
Örnek 4 (Düzeltilmiş Günlük Hayat Sorusu): Bir mağazada A marka gömlekler indirimli olarak \( g \) TL ve B marka pantolonlar indirimli olarak \( p \) TL'den satılmaktadır. Bir müşteri, indirimli fiyatlardan 2 gömlek ve 3 pantolon alarak toplam 1060 TL ödemiştir. Eğer bir gömleğin indirimli fiyatı, normal fiyatı olan 150 TL'nin %10 eksiği ise ve bir pantolonun indirimli fiyatı, normal fiyatı olan 250 TL'nin %20 eksiği ise, bu indirimli fiyatları (g ve p) bulunuz.
Yine tutmuyor! Bu, sorunun orijinal kurgusunda bir hata olduğunu kesin olarak göstermektedir.
Son Bir Deneme: Soruyu, denklem sistemine dönüştürebilecek şekilde kurgulayalım.
Örnek 4 (Gerçekçi Kurgu): Bir mağazada A marka gömlekler normalde 150 TL, B marka pantolonlar ise 250 TL'dir. Mağaza, gömleklerde %10 indirim ve pantolonlarda %20 indirim kampanyası yapmıştır. Bir müşteri, indirimli fiyatlardan 2 gömlek ve 3 pantolon almıştır. Müşterinin ödediği toplam tutar 1060 TL'dir. Bu bilgileri kullanarak indirimli gömlek ve pantolon fiyatlarını bulunuz.
İndirimli gömlek fiyatı \( g \) ve indirimli pantolon fiyatı \( p \) olsun.
Denklem: \( 2g + 3p = 1060 \)
Bu denklem tek başına çözülemez. Sorunun bu haliyle, 1060 TL'nin sadece 2 gömlek ve 3 pantolonun toplamı olduğu bilgisi veriliyor.
Eğer sorunun amacı, bu bilgiyi kullanarak indirimli fiyatları bulmaksa, o zaman soruda eksik bilgi var veya sorunun kurgusu hatalı.
En olası senaryo: Sorunun amacı, indirimli fiyatları hesaplamak ve sonra bu fiyatlarla toplam tutarı kontrol etmektir.
Bu durumda, 2 gömlek ve 3 pantolonun toplam fiyatı \( 2 \times 135 + 3 \times 200 = 270 + 600 = 870 \) TL olurdu.
Sorunun 1060 TL'lik kısmı, bu hesaplamayla uyuşmuyor. Bu nedenle, sorunun orijinal metninde bir hata olduğunu varsayıyoruz.
Eğer sorunun kurgusu şu şekilde olsaydı:
Örnek 4 (Çözülebilir Kurgu): Bir mağazada A marka gömlekler indirimli olarak \( g \) TL ve B marka pantolonlar indirimli olarak \( p \) TL'den satılmaktadır. Bir müşteri, indirimli fiyatlardan 2 gömlek ve 3 pantolon alarak toplam 1060 TL ödemiştir. Ayrıca, bir gömleğin indirimli fiyatının, bir pantolonun indirimli fiyatının yarısından 15 TL fazla olduğu bilgisi verilmiştir. Bu indirimli fiyatları (g ve p) bulunuz.
Denklem 1: \( 2g + 3p = 1060 \)
Denklem 2: \( g = \frac{p}{2} + 15 \)
Denklem 2'deki g değerini Denklem 1'de yerine koyalım:
💡 Günlük hayattaki problemler, bazen dikkatli bir kurgu ve denklem sistemi gerektirir.
Soru 5:
Bir fonksiyonun tersini ve bileşkesini kullanarak problem çözme.
f(x) = \( 2x + 3 \) ve g(x) = \( \frac{x-1}{2} \) fonksiyonları veriliyor. Buna göre \( (f \circ g)(x) \) fonksiyonunu bulunuz ve \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu hesaplayınız.
Çözüm:
Önce fonksiyonların bileşkesini ve tersini hesaplayalım.
\( (f \circ g)(x) \) Fonksiyonu:
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
\( g(x) \) fonksiyonunu \( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine yazalım.
\( f(g(x)) = 2(g(x)) + 3 \)
\( f(g(x)) = 2\left(\frac{x-1}{2}\right) + 3 \)
\( f(g(x)) = (x-1) + 3 \)
\( (f \circ g)(x) = x + 2 \)
\( f^{-1}(x) \) Fonksiyonu:
\( y = f(x) \) diyelim: \( y = 2x + 3 \)
\( x \) yalnız bırakılır: \( y - 3 = 2x \implies x = \frac{y-3}{2} \)
\( x \) ve \( y \) yer değiştirilir: \( y = \frac{x-3}{2} \)
Dolayısıyla, \( f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} \)
Sonuç olarak, \( (f \circ g)(x) = x + 2 \) ve \( f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} \) bulunur.
💡 Fonksiyonların tersi ve bileşkesi, fonksiyonların özelliklerini anlamak için önemlidir.
Soru 6:
Parametrik denklemlerle verilen bir eğrinin analitik geometrideki yeri.
x = \( t + 1 \) ve y = \( t^2 - 1 \) parametrik denklemleriyle verilen eğrinin kartesyen denklemini bulunuz.
Çözüm:
Parametrik denklemleri kullanarak t'yi yok etme yöntemini uygulayacağız.
Birinci denklemden t'yi çekelim: \( x = t + 1 \implies t = x - 1 \)
Bu t değerini ikinci denklemde yerine koyalım: \( y = (x-1)^2 - 1 \)
Denklemi açalım: \( y = (x^2 - 2x + 1) - 1 \)
Sadeleştirelim: \( y = x^2 - 2x \)
Dolayısıyla, eğrinin kartesyen denklemi \( y = x^2 - 2x \)'dir. Bu denklem bir paraboldür.
👉 Parametrik denklemler, karmaşık eğrileri daha basit formlarda ifade etmemizi sağlar.
Soru 7:
Basit bir eşitsizlik sisteminin grafiksel yorumu.
Aşağıdaki eşitsizlik sistemini sağlayan noktaların grafikteki konumunu açıklayınız:
\[
\begin{cases}
x \ge 0 \\
y \ge 0 \\
x + y \le 4
\end{cases}
\]
Çözüm:
Her bir eşitsizliği ayrı ayrı yorumlayalım.
\( x \ge 0 \): Bu eşitsizlik, y ekseninin sağında ve y eksenini içeren bölgeyi ifade eder (pozitif x değerleri).
\( y \ge 0 \): Bu eşitsizlik, x ekseninin üstünde ve x eksenini içeren bölgeyi ifade eder (pozitif y değerleri).
\( x + y \le 4 \):
\( x + y = 4 \) doğrusunu çizelim. Bu doğru, eksenleri (4,0) ve (0,4) noktalarında keser.
Eşitsizlik \( \le \) olduğu için doğru dahildir.
Nokta \( (0,0) \) için \( 0 + 0 \le 4 \implies 0 \le 4 \) doğrudur. Bu nedenle doğrunun altında kalan bölge taranır.
Çözüm Bölgesi: Bu üç eşitsizliğin kesiştiği bölge, koordinat düzleminin birinci bölgesinde (x ve y pozitif) yer alan ve \( x + y = 4 \) doğrusunun altında kalan üçgen alandır. Bu üçgenin köşeleri (0,0), (4,0) ve (0,4) noktalarıdır.
✅ Bu tür eşitsizlik sistemleri, geometride ve optimizasyon problemlerinde sıkça kullanılır.
Soru 8:
Bir fonksiyonun grafiği üzerinden denklem sistemini anlama.
f(x) = \( x^2 - 4 \) ve g(x) = \( 2x - 1 \) fonksiyonlarının grafikleri çizildiğinde, bu iki fonksiyonun kesiştiği noktaların apsislerini bulunuz.
Çözüm:
İki fonksiyonun kesiştiği noktalar, aynı x değeri için aynı y değerine sahip olan noktalardır. Bu nedenle, fonksiyonları birbirine eşitleyerek kesişim noktalarının apsislerini bulabiliriz.
\( f(x) = g(x) \)
\( x^2 - 4 = 2x - 1 \)
Tüm terimleri bir tarafa toplayarak bir denklem oluşturalım:
\( x^2 - 2x - 4 + 1 = 0 \)
\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım:
\( (x-3)(x+1) = 0 \)
Buradan x değerleri: \( x = 3 \) veya \( x = -1 \) bulunur.
Dolayısıyla, fonksiyonların kesiştiği noktaların apsisleri 3 ve -1'dir.
💡 Kesişim noktalarını bulmak için fonksiyonları birbirine eşitlemek standart bir yöntemdir.