💡 11. Sınıf Matematik: Sinüs Teoremi Çözümlü Sorular

Bu soruyu çözmek için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Sinüs Teoremi'ne göre bir üçgende kenar uzunluklarının, karşılarındaki açıların sinüslerine oranı sabittir. Yani: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Soruda verilenler:

• \( a = 6 \) cm
• \( \hat{A} = 30^\circ \)
• \( \hat{B} = 45^\circ \)

Bizden \( b \) kenarının uzunluğu isteniyor. Sinüs Teoremi'nin ilgili kısmını yazalım: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \] Verilen değerleri formülde yerine koyalım: \[ \frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} \] Sinüs değerlerini hatırlayalım: \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) ve \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). \[ \frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] Denklemi çözelim:

• \( 6 \times 2 = b \times \frac{2}{\sqrt{2}} \)
• \( 12 = b \times \sqrt{2} \)
• \( b = \frac{12}{\sqrt{2}} \)

Paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı \( \sqrt{2} \) ile çarpalım:

• \( b = \frac{12\sqrt{2}}{2} \)
• \( b = 6\sqrt{2} \) cm

✅ Sonuç olarak, \( b \) kenarının uzunluğu \( 6\sqrt{2} \) cm'dir.

Bu soruda Sinüs Teoremi'ni ve Kosinüs Teoremi'nin temel mantığını bir arada kullanacağız. Öncelikle \( a \) kenarının uzunluğunu bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanabiliriz, ancak \( \hat{B} \) açısının sinüsünü bulmak için doğrudan Sinüs Teoremi'nin \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \) formunu kullanmak daha pratiktir. Ancak burada \( a \) kenarını bilmiyoruz. Bu yüzden \( \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \) ve \( \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \) gibi oranları kullanabiliriz. En kolayı, önce \( a \) kenarını bulup sonra \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \) oranını kullanmaktır. Kosinüs Teoremi: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \) Verilenler:

• \( b = 8 \) cm
• \( c = 10 \) cm
• \( \hat{A} = 60^\circ \)

\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz. \( a^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \times 8 \times 10 \times \cos 60^\circ \) \( a^2 = 64 + 100 - 160 \times \frac{1}{2} \) \( a^2 = 164 - 80 \) \( a^2 = 84 \) \( a = \sqrt{84} = \sqrt{4 \times 21} = 2\sqrt{21} \) cm Şimdi Sinüs Teoremi'ni kullanalım: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \] Değerleri yerine koyalım: \[ \frac{2\sqrt{21}}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin B} \] \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz. \[ \frac{2\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sin B} \] \[ \frac{4\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sin B} \] İfadeyi sadeleştirelim: \( \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{21}{3}} = \sqrt{7} \). \[ 4\sqrt{7} = \frac{8}{\sin B} \] Şimdi \( \sin B \) için çözelim: \[ \sin B = \frac{8}{4\sqrt{7}} \] \[ \sin B = \frac{2}{\sqrt{7}} \] Paydayı rasyonel yapalım: \[ \sin B = \frac{2\sqrt{7}}{7} \] ✅ Buna göre \( \hat{B} \) açısının sinüsü \( \frac{2\sqrt{7}}{7} \) olarak bulunur.