📄 11. Sınıf Matematik: Trigonometrik grafikler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

\(f(x) = 2\sin(x) + 1\) fonksiyonunun periyodu \(2\pi\)'dir. Bu nedenle \([0, 2\pi]\) aralığında grafiği çizebiliriz.
Fonksiyonun değer aralığı: \(-1 \le \sin(x) \le 1\) olduğundan,
\(2(-1) + 1 \le 2\sin(x) + 1 \le 2(1) + 1\)
\(-1 \le f(x) \le 3\).
Maksimum değer 3, minimum değer -1'dir.
Önemli noktalar:
* \(x=0\): \(f(0) = 2\sin(0) + 1 = 2(0) + 1 = 1\). Nokta: \((0, 1)\).
* \(x=\frac{\pi}{2}\): \(f(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + 1 = 2(1) + 1 = 3\). Maksimum nokta: \((\frac{\pi}{2}, 3)\).
* \(x=\pi\): \(f(\pi) = 2\sin(\pi) + 1 = 2(0) + 1 = 1\). Nokta: \((\pi, 1)\).
* \(x=\frac{3\pi}{2}\): \(f(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + 1 = 2(-1) + 1 = -1\). Minimum nokta: \((\frac{3\pi}{2}, -1)\).
* \(x=2\pi\): \(f(2\pi) = 2\sin(2\pi) + 1 = 2(0) + 1 = 1\). Nokta: \((2\pi, 1)\).
Bu noktalar birleştirilerek sinüs eğrisine benzer bir grafik elde edilir. Grafik y ekseninde 1 birim yukarı ötelenmiş ve genliği 2 katına çıkmış bir sinüs grafiğidir.

💡 Çözüm Adımları:

\(g(x) = \cos(2x)\) fonksiyonunun periyodu \(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi\)'dir.
Bu fonksiyonun grafiği, \(y = \cos(x)\) fonksiyonunun grafiğinin x ekseni boyunca \(\frac{1}{2}\) oranında sıkıştırılmasıyla elde edilir.
\([0, \pi]\) aralığında grafik bir tam periyodu tamamlar.
Önemli noktalar:
* \(x=0\): \(g(0) = \cos(0) = 1\). Maksimum nokta: \((0, 1)\).
* \(x=\frac{\pi}{4}\): \(g(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0\). x eksenini keser: \((\frac{\pi}{4}, 0)\).
* \(x=\frac{\pi}{2}\): \(g(\frac{\pi}{2}) = \cos(\pi) = -1\). Minimum nokta: \((\frac{\pi}{2}, -1)\).
* \(x=\frac{3\pi}{4}\): \(g(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0\). x eksenini keser: \((\frac{3\pi}{4}, 0)\).
* \(x=\pi\): \(g(\pi) = \cos(2\pi) = 1\). Maksimum nokta: \((\pi, 1)\).
Grafik \(y = \cos(x)\) grafiğine benzer ancak daha sıkıştırılmış bir dalga formundadır. \(x=0\) ve \(x=\pi\) noktalarında maksimum, \(x=\frac{\pi}{2}\) noktasında minimum değerini alır.

💡 Çözüm Adımları:

\(h(x) = \tan(x)\) fonksiyonunun periyodu \(\pi\)'dir.
Bu aralık \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) ve \((\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\) olmak üzere iki tam periyodu kapsar.
Temel özellikler:
* Asimptotlar: Tanjant fonksiyonu \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) \((k \in \mathbb{Z})\) noktalarında tanımsızdır ve bu noktalarda düşey asimptotları bulunur. Verilen aralıkta asimptotlar \(x = -\frac{\pi}{2}\), \(x = \frac{\pi}{2}\) ve \(x = \frac{3\pi}{2}\)'dir.
* Orijin Simetrisi: Tanjant fonksiyonu tek fonksiyondur, yani orijine göre simetriktir (\(\tan(-x) = -\tan(x)\)).
* Değer Aralığı: \((-\infty, \infty)\) olduğundan, fonksiyonun değerleri tüm reel sayıları alabilir.
* x eksenini kesen noktalar: \(\tan(x) = 0\) olduğunda \(x = k\pi\) \((k \in \mathbb{Z})\) noktalarında x eksenini keser. Verilen aralıkta bunlar \(x=0\) ve \(x=\pi\) noktalarıdır.
Grafik, her asimptot aralığında \((-\infty, \infty)\) aralığında artan bir eğri çizer. Asimptotlara yaklaştıkça değerler sonsuza gider.