💡 11. Sınıf Matematik: Trigonometrik grafikler Çözümlü Sorular

Bu, trigonometrik fonksiyonların en temel grafiğidir.

• Periyot: \( 2\pi \)
• Genlik: 1
• Dönüm Noktaları: Grafiğin x eksenini kestiği noktalar \( k\pi \) şeklindedir (k bir tam sayıdır).
• Maksimum ve Minimum Değerler: Maksimum değer 1, minimum değer -1'dir.

Grafik, dalgalı bir görünüm sergiler. \( x=0 \) iken \( y=0 \), \( x=\frac{\pi}{2} \) iken \( y=1 \), \( x=\pi \) iken \( y=0 \), \( x=\frac{3\pi}{2} \) iken \( y=-1 \) ve \( x=2\pi \) iken \( y=0 \) olur. 👉 Bu temel grafik, diğer sinüs fonksiyonlarının çizimi için bir başlangıç noktasıdır.

Kosinüs fonksiyonunun grafiği de sinüs gibi dalgalıdır.

• Periyot: \( 2\pi \)
• Genlik: 1
• Dönüm Noktaları: Grafiğin x eksenini kestiği noktalar \( \frac{\pi}{2} + k\pi \) şeklindedir (k bir tam sayıdır).
• Maksimum ve Minimum Değerler: Maksimum değer 1, minimum değer -1'dir.

Grafik, \( x=0 \) iken \( y=1 \) ile başlar. \( x=\frac{\pi}{2} \) iken \( y=0 \), \( x=\pi \) iken \( y=-1 \), \( x=\frac{3\pi}{2} \) iken \( y=0 \) ve \( x=2\pi \) iken \( y=1 \) olur. 💡 Bu grafik, sinüs grafiğinin \( \frac{\pi}{2} \) birim sola kaydırılmış halidir.

Bu fonksiyon, \( y = \sin(x) \) fonksiyonunun genliğini değiştirir.

• Periyot: \( 2\pi \) (Değişmez)
• Genlik: 2 (Orijinal sinüs fonksiyonunun genliği 1 idi, 2 ile çarpıldığı için genlik 2 oldu.)
• Maksimum ve Minimum Değerler: Maksimum değer 2, minimum değer -2'dir.

Grafik, \( y = \sin(x) \) grafiğine göre dikey olarak gerilmiş bir haldedir. 👉 Maksimum ve minimum değerler 1 ve -1 yerine 2 ve -2 olur.

Fonksiyonun içindeki \( x \) yerine \( x - \frac{\pi}{2} \) yazılması, grafiği yatayda kaydırır.

• Periyot: \( 2\pi \) (Değişmez)
• Genlik: 1 (Değişmez)
• Yatay Kayma: Fonksiyon \( \frac{\pi}{2} \) birim sağa kayar.

Bu grafik, \( y = \cos(x) \) fonksiyonunun grafiği ile aynıdır. Çünkü \( \sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos(x) \) değildir, \( \sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x) \) ve \( \sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos(x) \) olur. Ancak, \( \sin(x - \frac{\pi}{2}) \) grafiği, \( \sin(x) \) grafiğinin \( \frac{\pi}{2} \) birim sağa kaydırılmış halidir. 💡 Bu da \( \cos(x) \) grafiği ile aynıdır.

\( x \) teriminin katsayısı, fonksiyonun periyodunu değiştirir.

• Periyot: \( \frac{2\pi}{|2|} = \pi \) (Orijinal periyot \( 2\pi \) idi, \( x \) katsayısı 2 olduğu için periyot \( \pi \) oldu.)
• Genlik: 1 (Değişmez)

Bu fonksiyon, \( y = \cos(x) \) fonksiyonuna göre daha sık dalgalanır. Bir tam dalga \( \pi \) uzunluğunda tamamlanır. 👉 Periyot hesaplaması, \( \frac{2\pi}{|b|} \) formülü ile yapılır, burada \( b \) \( x \) in katsayısıdır.

Bu tür bir soru, trigonometrik fonksiyonların gerçek dünyadaki uygulamalarını anlamamızı sağlar.

• Genlik: Fonksiyondaki 5 sayısı, ses dalgasının genliğini temsil eder. Bu, sesin şiddetiyle ilgilidir. Genlik 5'tir.
• Periyot: \( x \) in katsayısı 4'tür. Periyot \( \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \) olur. Bu, ses dalgasının ne kadar hızlı tekrarlandığını gösterir.
• Frekans: Frekans, periyodun tersidir. Frekans \( \frac{1}{\text{Periyot}} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi} \) Hz'dir. Bu, sesin tizliği veya pesliği ile ilgilidir.

Kısacası, \( y = 5\sin(4x) \) fonksiyonu, genliği 5 olan ve \( \frac{\pi}{2} \) periyoda sahip bir ses dalgasını modeller. 💡 Sesin şiddeti genlikle, tizliği ise frekansla (dolayısıyla periyotla) ilişkilidir.

Bu tür periyodik hareketler, trigonometrik fonksiyonlarla kolayca modellenebilir.

• Genlik: Maksimum ve minimum değerler arasındaki farkın yarısıdır. \( \frac{3 - 0.5}{2} = \frac{2.5}{2} = 1.25 \)
• Dikey Kayma (Orta Nokta): Maksimum ve minimum değerlerin ortalamasıdır. \( \frac{3 + 0.5}{2} = \frac{3.5}{2} = 1.75 \). Bu, salıncağın orta noktasının yerden yüksekliğidir.
• Periyot: 4 saniye verilmiş. \( \frac{2\pi}{b} = 4 \Rightarrow b = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \)

Çocuk en yüksek noktadayken zamanı \( t=0 \) alırsak, kosinüs fonksiyonunu kullanmak mantıklıdır (çünkü \( \cos(0) = 1 \)). Fonksiyonumuz \( y = a\cos(bx + c) + d \) şeklinde olacaktır. Burada:

• \( a = 1.25 \) (Genlik)
• \( b = \frac{\pi}{2} \) (Periyot belirleyici)
• \( d = 1.75 \) (Dikey kayma)

\( t=0 \) anında maksimum yükseklikte olduğu için \( c=0 \) alabiliriz. Dolayısıyla, fonksiyonumuz \( y = 1.25\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 1.75 \) şeklinde olur. ✅ Bu fonksiyon, çocuğun sallanma sırasındaki yerden yüksekliğini zamanla doğru bir şekilde modelleyecektir.

Tanjant fonksiyonunun grafiği, sinüs ve kosinüs grafiklerinden farklı bir yapıya sahiptir.

• Periyot: \( \pi \) (Sinüs ve kosinüsün periyodundan farklıdır.)
• Asimptotlar: Tanjant fonksiyonu, \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (k bir tam sayıdır) noktalarında tanımsızdır. Bu noktalarda dikey asimptotlar bulunur.
• Dönüm Noktaları: Grafik, \( x = k\pi \) noktalarında \( y=0 \) olur.

Grafik, sürekli artan veya azalan parçalardan oluşur ve bu parçalar dikey asimptotlarla ayrılır. 👉 Tanjant fonksiyonunun grafiğini çizerken asimptotları doğru belirlemek çok önemlidir.