💡 12. Sınıf Matematik: Diziler Çözümlü Sorular

Bu tür sorularda, dizinin genel teriminde \(n\) yerine istenen terim numarasını yazmamız yeterlidir.

• 💡 Adım 1: İstenen terim numarası \(n=5\) olduğundan, genel terimde \(n\) yerine 5 yazılır.
• 👉 Adım 2: Genel terim \(a_n = n^2 - 3n + 1\) ifadesinde \(n=5\) için hesaplama yapılır.
\[a_5 = (5)^2 - 3(5) + 1\]
• 👉 Adım 3: İşlemler sırasıyla yapılır.
\[a_5 = 25 - 15 + 1\] \[a_5 = 10 + 1\] \[a_5 = 11\]
• ✅ Sonuç: Dizinin 5. terimi 11'dir.

Bir dizinin terimlerinin tam sayı olması için, genel terim ifadesinin sonucunun tam sayı olması gerekir. Bu tür rasyonel ifadelerde payı paydaya bölerek veya paydayı payın bir çarpanı haline getirerek çözüm aranır.

• 💡 Adım 1: Rasyonel ifadeyi basitleştirmek için payı paydaya benzetmeye çalışalım.
\[a_n = \frac{2n+10}{n+1} = \frac{2(n+1) + 8}{n+1}\]
• 👉 Adım 2: İfadeyi parçalara ayıralım.
\[a_n = \frac{2(n+1)}{n+1} + \frac{8}{n+1}\] \[a_n = 2 + \frac{8}{n+1}\]
• 📌 Adım 3: \(a_n\) ifadesinin bir tam sayı olabilmesi için \(n+1\) ifadesinin 8'in pozitif tam sayı bölenlerinden biri olması gerekir. (Çünkü \(n\) bir dizi indisi olduğundan pozitif tam sayıdır, yani \(n \ge 1\)).
• 👉 Adım 4: 8'in pozitif tam sayı bölenleri: 1, 2, 4, 8'dir.
• 👉 Adım 5: Her bir bölen için \(n\) değerini bulalım:
• \(n+1 = 1 \implies n = 0\) (Dizi indisi pozitif tam sayı olmalı, bu terim diziye ait değildir.)
• \(n+1 = 2 \implies n = 1\) (Bu terim diziye aittir, \(a_1 = 2 + \frac{8}{2} = 6\))
• \(n+1 = 4 \implies n = 3\) (Bu terim diziye aittir, \(a_3 = 2 + \frac{8}{4} = 4\))
• \(n+1 = 8 \implies n = 7\) (Bu terim diziye aittir, \(a_7 = 2 + \frac{8}{8} = 3\))
• ✅ Sonuç: Dizinin 3 terimi tam sayıdır. (1., 3. ve 7. terimler)

Aritmetik dizilerde genel terim \(a_n = a_1 + (n-1)d\) formülü ile ifade edilir. Burada \(a_1\) ilk terim ve \(d\) ortak farktır.

• 💡 Adım 1: Verilen terimleri aritmetik dizi formülüyle yazalım.
\[a_3 = a_1 + (3-1)d \implies a_3 = a_1 + 2d = 7\] \[a_7 = a_1 + (7-1)d \implies a_7 = a_1 + 6d = 19\]
• 👉 Adım 2: İki denklemi kullanarak \(d\) (ortak fark) ve \(a_1\) (ilk terim) değerlerini bulalım. İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım:
\[(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 19 - 7\] \[4d = 12\] \[d = 3\]
• 👉 Adım 3: \(d=3\) değerini ilk denkleme yerleştirelim (\(a_1 + 2d = 7\)):
\[a_1 + 2(3) = 7\] \[a_1 + 6 = 7\] \[a_1 = 1\]
• 📌 Adım 4: Bulduğumuz \(a_1=1\) ve \(d=3\) değerlerini aritmetik dizinin genel terim formülünde \(a_n = a_1 + (n-1)d\) yerine yazalım.
\[a_n = 1 + (n-1)3\] \[a_n = 1 + 3n - 3\] \[a_n = 3n - 2\]
• ✅ Sonuç: Dizinin genel terimi \(a_n = 3n - 2\)'dir.

Aritmetik bir dizinin ilk \(n\) teriminin toplamı \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) veya \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\) formülü ile bulunur.

• 💡 Adım 1: Verilen değerleri belirleyelim: \(a_1 = 2\), \(d = 3\), \(n = 10\).
• 👉 Adım 2: İkinci toplam formülünü kullanmak daha kolay olacaktır, çünkü \(a_{10}\) terimini ayrıca hesaplamamıza gerek kalmaz.
\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]
• 👉 Adım 3: Değerleri formülde yerine yazalım.
\[S_{10} = \frac{10}{2}(2(2) + (10-1)3)\] \[S_{10} = 5(4 + (9)3)\] \[S_{10} = 5(4 + 27)\] \[S_{10} = 5(31)\] \[S_{10} = 155\]
• ✅ Sonuç: Dizinin ilk 10 teriminin toplamı 155'tir.

Geometrik dizilerde genel terim \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\) formülü ile ifade edilir. Burada \(a_1\) ilk terim ve \(r\) ortak çarpandır.

• 💡 Adım 1: Verilen terimleri geometrik dizi formülüyle yazalım.
\[a_2 = a_1 \cdot r^{2-1} \implies a_2 = a_1 \cdot r = 6\] \[a_4 = a_1 \cdot r^{4-1} \implies a_4 = a_1 \cdot r^3 = 54\]
• 👉 Adım 2: İkinci denklemi birinci denkleme bölerek \(r\) (ortak çarpan) değerini bulalım.
\[\frac{a_1 \cdot r^3}{a_1 \cdot r} = \frac{54}{6}\] \[r^2 = 9\]
• 📌 Adım 3: \(r^2 = 9\) denkleminden \(r\) değerini bulalım. Dizi pozitif terimli olduğundan ortak çarpan \(r\) de pozitif olmalıdır.
\[r = 3 \quad (\text{veya } r = -3)\]

Dizi pozitif terimli olduğu için \(r\) değeri pozitif olmalıdır. Eğer \(r=-3\) olsaydı, örneğin \(a_1\) pozitif olsa bile \(a_2\) negatif olurdu ( \(a_2 = a_1 \cdot (-3)\) ). Bu da dizinin pozitif terimli olma şartına aykırı olurdu.

• ✅ Sonuç: Dizinin ortak çarpanı 3'tür.

Geometrik bir dizinin ilk \(n\) teriminin toplamı \(S_n = a_1 \frac{1-r^n}{1-r}\) formülü ile bulunur. (\(r \neq 1\) için)

• 💡 Adım 1: Verilen değerleri belirleyelim: \(a_1 = 3\), \(r = 2\), \(n = 5\).
• 👉 Adım 2: Toplam formülünde değerleri yerine yazalım.
\[S_5 = 3 \cdot \frac{1-2^5}{1-2}\]
• 👉 Adım 3: Üslü ifadeyi hesaplayalım: \(2^5 = 32\).
\[S_5 = 3 \cdot \frac{1-32}{1-2}\] \[S_5 = 3 \cdot \frac{-31}{-1}\] \[S_5 = 3 \cdot 31\] \[S_5 = 93\]
• ✅ Sonuç: Dizinin ilk 5 teriminin toplamı 93'tür.

Koltuk sayıları bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu problemi aritmetik dizinin ilk \(n\) terim toplamı formülüyle çözebiliriz.

• 💡 Adım 1: Dizinin ilk terimini (\(a_1\)), ortak farkını (\(d\)) ve terim sayısını (\(n\)) belirleyelim.
• İlk sıra 8 koltuk: \(a_1 = 8\)
• İkinci sıra 10 koltuk, üçüncü sıra 12 koltuk: Ortak fark \(d = 10 - 8 = 2\).
• Toplam 15 sıra: \(n = 15\).
• 👉 Adım 2: Aritmetik dizinin ilk \(n\) teriminin toplamı formülünü kullanalım: \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\).
• 👉 Adım 3: Değerleri formülde yerine yazalım.
\[S_{15} = \frac{15}{2}(2(8) + (15-1)2)\] \[S_{15} = \frac{15}{2}(16 + (14)2)\] \[S_{15} = \frac{15}{2}(16 + 28)\] \[S_{15} = \frac{15}{2}(44)\]
• 👉 Adım 4: Hesaplamayı tamamlayalım.
\[S_{15} = 15 \cdot 22\] \[S_{15} = 330\]
• ✅ Sonuç: Bu sinema salonunda toplam 330 koltuk bulunmaktadır.

Rekürans bağıntısı, bir dizinin terimlerini önceki terimler cinsinden tanımlar. İstenen terimi bulmak için adım adım ilerlememiz gerekir.

• 💡 Adım 1: Dizinin ilk terimi verilmiş: \(a_1 = 2\).
• 👉 Adım 2: \(a_2\) terimini bulmak için rekürans bağıntısında \(n=1\) yazalım.
\[a_{1+1} = 3a_1 - 1\] \[a_2 = 3(2) - 1\] \[a_2 = 6 - 1\] \[a_2 = 5\]
• 👉 Adım 3: \(a_3\) terimini bulmak için rekürans bağıntısında \(n=2\) yazalım.
\[a_{2+1} = 3a_2 - 1\] \[a_3 = 3(5) - 1\] \[a_3 = 15 - 1\] \[a_3 = 14\]
• 👉 Adım 4: \(a_4\) terimini bulmak için rekürans bağıntısında \(n=3\) yazalım.
\[a_{3+1} = 3a_3 - 1\] \[a_4 = 3(14) - 1\] \[a_4 = 42 - 1\] \[a_4 = 41\]
• ✅ Sonuç: Dizinin 4. terimi 41'dir.