💡 12. Sınıf Matematik: İntegral Çözümlü Sorular

Bu soruda, temel integral alma kurallarını kullanacağız.

• Temel integral alma kuralı: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), burada \( n \neq -1 \).
• Sabitin integrali: \( \int a dx = ax + C \).
• Toplama ve çıkarma durumunda integraller ayrı ayrı alınabilir: \( \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx \).

Şimdi bu kuralları uygulayalım:
\( \int (x^3 + 5x^2 - 7) dx \)
\( = \int x^3 dx + \int 5x^2 dx - \int 7 dx \)
\( = \frac{x^{3+1}}{3+1} + 5 \frac{x^{2+1}}{2+1} - 7x + C \)
\( = \frac{x^4}{4} + 5 \frac{x^3}{3} - 7x + C \)
Sonuç olarak, integralimiz \( \frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} - 7x + C \) olur. 💡

Belirli integralleri hesaplamak için şu adımları izleriz:

• Önce fonksiyonun belirsiz integralini alırız.
• Sonra üst sınırı yerine koyup değerini buluruz.
• Ardından alt sınırı yerine koyup değerini buluruz.
• Son olarak, üst sınırda elde edilen değerden alt sınırda elde edilen değeri çıkarırız.

Fonksiyonumuz \( f(x) = 2x + 1 \).
1. Belirsiz integralini alalım: \( \int (2x + 1) dx = 2 \frac{x^2}{2} + x + C = x^2 + x + C \). 2. Üst sınırı (3) yerine koyalım: \( (3)^2 + 3 = 9 + 3 = 12 \). 3. Alt sınırı (1) yerine koyalım: \( (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \). 4. Çıkarma işlemini yapalım: \( 12 - 2 = 10 \).
Dolayısıyla, \( \int_1^3 (2x + 1) dx = 10 \) olarak bulunur. ✅

Bu tür integrallerde değişken değiştirme yöntemi çok kullanışlıdır.

• Kök içindeki ifadeyi \( u \) olarak tanımlayalım: \( u = x^2 + 1 \).
• Her iki tarafın türevini alarak \( du \) ifadesini bulalım: \( du = 2x dx \).
• Buradan \( x dx \) ifadesini \( \frac{du}{2} \) olarak yazabiliriz.

Şimdi integralde yerine koyalım:
\( \int x \sqrt{x^2 + 1} dx = \int \sqrt{u} \frac{du}{2} \)
\( = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du \)
Şimdi temel integral alma kuralını uygulayalım: \( \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \).
\( = \frac{1}{2} \frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C \)
\( = \frac{1}{2} \frac{u^{3/2}}{3/2} + C \)
\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C \)
\( = \frac{1}{3} u^{3/2} + C \)
Son olarak, \( u \) yerine \( x^2 + 1 \) yazalım:
\( = \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C \)
İntegralimiz \( \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C \) olarak bulunur. 👉

Belirli integrallerde sınırların yer değiştirmesi, integralin işaretini değiştirir.

• Genel kural şöyledir: \( \int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx \).

Bunun nedeni, belirli integrallerin geometrik olarak eğrinin altındaki alanı temsil etmesidir. Sınırları ters çevirdiğimizde, bu alanın yönü değişir ve bu da negatif bir değer olarak ifade edilir.
Örneğin, \( \int_1^3 x dx \) hesaplayalım:
\( \int_1^3 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^3 = \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
Şimdi de \( \int_3^1 x dx \) hesaplayalım:
\( \int_3^1 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_3^1 = \frac{1^2}{2} - \frac{3^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{8}{2} = -4 \).
Gördüğümüz gibi, \( \int_3^1 x dx = - \int_1^3 x dx \) ilişkisi sağlanmıştır. 💡

Yol, hızın zamana göre integralini alarak bulunur.

• Alınan yol \( S \), hız fonksiyonunun belirli integralidir: \( S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \).

Burada \( v(t) = 3t^2 + 2t \), \( t_1 = 1 \) ve \( t_2 = 4 \).
Alınan yolu hesaplamak için integral alalım:
\( S = \int_1^4 (3t^2 + 2t) dt \)
Önce belirsiz integralini alalım: \( \int (3t^2 + 2t) dt = 3 \frac{t^3}{3} + 2 \frac{t^2}{2} + C = t^3 + t^2 + C \).
Şimdi belirli integrali hesaplayalım:
\( S = \left[ t^3 + t^2 \right]_1^4 \)
\( = (4^3 + 4^2) - (1^3 + 1^2) \)
\( = (64 + 16) - (1 + 1) \)
\( = 80 - 2 \)
\( = 78 \) metre.
Araç, 1. saniyeden 4. saniyeye kadar 78 metre yol almıştır. 🚗

Üretilen ürün sayısı, üretim hızının zamana göre integralini alarak bulunur.

• Toplam üretilen ürün sayısı \( P \), hız fonksiyonunun belirli integralidir: \( P = \int_{t_1}^{t_2} R(t) dt \).

Burada \( R(t) = 100 - 2t \), \( t_1 = 0 \) (ilk saatten başladığımızı varsayıyoruz) ve \( t_2 = 5 \).
Toplam üretilen ürünü hesaplamak için integral alalım:
\( P = \int_0^5 (100 - 2t) dt \)
Önce belirsiz integralini alalım: \( \int (100 - 2t) dt = 100t - 2 \frac{t^2}{2} + C = 100t - t^2 + C \).
Şimdi belirli integrali hesaplayalım:
\( P = \left[ 100t - t^2 \right]_0^5 \)
\( = (100 \cdot 5 - 5^2) - (100 \cdot 0 - 0^2) \)
\( = (500 - 25) - (0 - 0) \)
\( = 475 \) ürün.
Fabrikada ilk 5 saatte 475 ürün üretilmiştir. 🏭

Bu integrali iki farklı yöntemle çözeceğiz.
Yöntem 1: Değişken Değiştirme

• \( u = \sin(x) \) dersek, \( du = \cos(x) dx \) olur.

İntegralimiz şu hale gelir:
\( \int u du = \frac{u^2}{2} + C \)
\( u \) yerine \( \sin(x) \) yazarsak: \( \frac{\sin^2(x)}{2} + C \).

Yöntem 2: Trigonometrik Özdeşlik Kullanımı

• Temel trigonometrik özdeşliklerden biri \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \)'dir.
• Buradan \( \sin(x) \cos(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \) elde ederiz.

Şimdi bu ifadeyi integralde yerine koyalım:
\( \int \frac{1}{2} \sin(2x) dx \)
\( = \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx \)
Şimdi \( v = 2x \) dersek, \( dv = 2 dx \) olur, yani \( dx = \frac{dv}{2} \).
\( = \frac{1}{2} \int \sin(v) \frac{dv}{2} \)
\( = \frac{1}{4} \int \sin(v) dv \)
\( = \frac{1}{4} (-\cos(v)) + C \)
\( = -\frac{1}{4} \cos(v) + C \)
\( v \) yerine \( 2x \) yazarsak: \( -\frac{1}{4} \cos(2x) + C \).

Sonuçların Karşılaştırılması
Birinci yöntemden \( \frac{\sin^2(x)}{2} + C \) elde ettik. İkinci yöntemden ise \( -\frac{1}{4} \cos(2x) + C \) elde ettik.
Trigonometrik özdeşliklerden \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) olduğunu biliyoruz.
İkinci sonucu bu özdeşlikle yeniden yazalım:
\( -\frac{1}{4} (1 - 2\sin^2(x)) + C \)
\( = -\frac{1}{4} + \frac{2\sin^2(x)}{4} + C \)
\( = -\frac{1}{4} + \frac{\sin^2(x)}{2} + C \)
Buradaki \( -\frac{1}{4} \) sabiti, genel integral sabiti \( C \) içine dahil edilebilir. Bu nedenle, her iki yöntemden elde edilen sonuçlar eşdeğerdir. 💯

Tüketici surplus'u, talep eğrisinin altında kalan ve piyasa fiyatının üstünde kalan alan olarak tanımlanır. Bu, integral ile hesaplanır.

• Tüketici surplus'u (CS), \( CS = \int_0^{q^} p(q) dq - p^ q^* \) formülüyle bulunur.
• Burada \( q^ \) talep edilen miktar, \( p^ \) ise bu miktar için belirlenen fiyattır.

Soruda \( q^* = 10 \) adet olarak verilmiş.
Önce \( q^ = 10 \) için piyasa fiyatını bulalım: \( p^ = p(10) = 100 - 2(10) = 100 - 20 = 80 \) TL/adet.
Şimdi tüketici surplus'unu hesaplayalım:
\( CS = \int_0^{10} (100 - 2q) dq - (80 \cdot 10) \)
Önce integrali alalım:
\( \int_0^{10} (100 - 2q) dq = \left[ 100q - q^2 \right]_0^{10} \)
\( = (100 \cdot 10 - 10^2) - (100 \cdot 0 - 0^2) \)
\( = (1000 - 100) - (0) \)
\( = 900 \) TL.
Şimdi tüketici surplus'unu hesaplayalım:
\( CS = 900 - (80 \cdot 10) \)
\( CS = 900 - 800 \)
\( CS = 100 \) TL.
10 adet talep edildiğinde tüketici surplus'u 100 TL'dir. 💰

Depoya dolan su miktarı, su dolma hızının zamana göre integralini alarak bulunur.

• Depoya dolan su miktarı \( V \), hız fonksiyonunun belirli integralidir: \( V = \int_{t_1}^{t_2} H(t) dt \).

Burada \( H(t) = 2t + 5 \), \( t_1 = 0 \) (başlangıç) ve \( t_2 = 10 \) dakika.
Depoya dolan su miktarını hesaplamak için integral alalım:
\( V = \int_0^{10} (2t + 5) dt \)
Önce belirsiz integralini alalım: \( \int (2t + 5) dt = 2 \frac{t^2}{2} + 5t + C = t^2 + 5t + C \).
Şimdi belirli integrali hesaplayalım:
\( V = \left[ t^2 + 5t \right]_0^{10} \)
\( = (10^2 + 5 \cdot 10) - (0^2 + 5 \cdot 0) \)
\( = (100 + 50) - (0) \)
\( = 150 \) litre.
İlk 10 dakikada depoya 150 litre su dolmuştur. 💧