🎓 12. Sınıf
📚 2. Sınıf Matematik
💡 2. Sınıf Matematik: Logaritma Çözümlü Sorular
2. Sınıf Matematik: Logaritma Çözümlü Sorular
Soru 1:
Soru 1:
Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.
Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.
- \(\log_2 16\)
- \(\log_3 \frac{1}{27}\)
- \(\log_{0,5} 4\)
Çözüm:
Bu soruda logaritmanın temel tanımını ve özelliklerini kullanarak ifadelerin değerlerini bulacağız. 💡
-
1. İfade: \(\log_2 16\)
📌 Logaritmanın tanımına göre, \(\log_a b = x\) ise \(a^x = b\) demektir.
👉 Bu durumda, \(\log_2 16 = x\) dersek, \(2^x = 16\) olur.
👉 \(16\) sayısını \(2\) tabanında yazarsak, \(16 = 2^4\) olduğunu görürüz.
✅ Yani, \(2^x = 2^4\) ise \(x = 4\)tür.
Sonuç: \(\log_2 16 = 4\) -
2. İfade: \(\log_3 \frac{1}{27}\)
📌 Yine aynı tanımı kullanarak, \(\log_3 \frac{1}{27} = x\) dersek, \(3^x = \frac{1}{27}\) olur.
👉 \(27\) sayısını \(3\) tabanında yazarsak, \(27 = 3^3\)tür. O halde \(\frac{1}{27} = 3^{-3}\) olur.
✅ Yani, \(3^x = 3^{-3}\) ise \(x = -3\)tür.
Sonuç: \(\log_3 \frac{1}{27} = -3\) -
3. İfade: \(\log_{0,5} 4\)
📌 \(\log_{0,5} 4 = x\) dersek, \((0,5)^x = 4\) olur.
👉 \(0,5\) sayısını rasyonel olarak \(\frac{1}{2}\) şeklinde yazabiliriz. Yani \((\frac{1}{2})^x = 4\).
👉 Bu ifadeyi \(2\) tabanında yazarsak, \((2^{-1})^x = 2^2\) yani \(2^{-x} = 2^2\) olur.
✅ Buradan \(-x = 2\) yani \(x = -2\) bulunur.
Sonuç: \(\log_{0,5} 4 = -2\)
Soru 2:
Soru 2:
\(\log_2 3 = a\) olduğuna göre, \(\log_{12} 18\) ifadesinin \(a\) türünden eşitini bulunuz.
\(\log_2 3 = a\) olduğuna göre, \(\log_{12} 18\) ifadesinin \(a\) türünden eşitini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda logaritmanın taban değiştirme kuralını ve çarpım/bölüm özelliklerini kullanacağız. 💡
-
Adım 1: İfadeyi uygun bir tabana çevirme.
📌 Genellikle bilinen tabana (bu durumda \(2\) tabanı) çevirmek işimizi kolaylaştırır. Taban değiştirme kuralı: \(\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}\).
👉 \(\log_{12} 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 12}\) şeklinde yazabiliriz. -
Adım 2: Logaritma içindeki sayıları asal çarpanlarına ayırma.
📌 \(\log_2 18 = \log_2 (2 \cdot 3^2)\)
📌 \(\log_2 12 = \log_2 (2^2 \cdot 3)\) -
Adım 3: Çarpım ve kuvvet özelliklerini uygulama.
💡 \(\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\) ve \(\log_a (x^n) = n \cdot \log_a x\).
👉 \(\log_2 (2 \cdot 3^2) = \log_2 2 + \log_2 3^2 = 1 + 2 \log_2 3\).
👉 \(\log_2 (2^2 \cdot 3) = \log_2 2^2 + \log_2 3 = 2 \log_2 2 + \log_2 3 = 2 \cdot 1 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3\). -
Adım 4: \(a\) yerine koyma.
📌 Soruda \(\log_2 3 = a\) olarak verilmişti.
👉 İfademiz \(\frac{1 + 2 \log_2 3}{2 + \log_2 3}\) idi.
✅ \(a\) yerine yazarsak: \(\frac{1 + 2a}{2 + a}\) elde ederiz.
Sonuç: \(\log_{12} 18 = \frac{1 + 2a}{2 + a}\)
Soru 3:
Soru 3:
\(\log x + \log (x-3) = 1\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
\(\log x + \log (x-3) = 1\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu bir logaritmalı denklemdir. Logaritma özelliklerini kullanarak denklemi çözecek ve tanım kümesine dikkat edeceğiz. 💡
-
Adım 1: Logaritmanın tanım kümesini belirleme.
📌 Logaritmanın içi negatif veya sıfır olamaz.
👉 Bu yüzden, \(x > 0\) ve \(x-3 > 0\) olmalıdır. Yani \(x > 3\) olmalıdır. -
Adım 2: Logaritma özelliklerini kullanarak denklemi birleştirme.
💡 \(\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)\). Burada taban belirtilmediği için taban \(10\)dur.
👉 \(\log (x(x-3)) = 1\). -
Adım 3: Denklemi üslü ifadeye çevirme.
📌 \(\log_a b = c \iff a^c = b\).
👉 Taban \(10\) olduğundan, \(10^1 = x(x-3)\) olur.
👉 \(10 = x^2 - 3x\). -
Adım 4: Kuadratik denklemi çözme.
👉 \(x^2 - 3x - 10 = 0\).
👉 Çarpanlara ayırırsak: \((x-5)(x+2) = 0\).
👉 Buradan \(x = 5\) veya \(x = -2\) bulunur. -
Adım 5: Tanım kümesini kontrol etme.
📌 Adım 1'de \(x > 3\) olması gerektiğini bulmuştuk.
👉 \(x = 5\) değeri \(x > 3\) koşulunu sağlar.
👉 \(x = -2\) değeri \(x > 3\) koşulunu sağlamaz. Bu yüzden \(-2\) kök olarak kabul edilmez. -
Sonuç: Denklemin çözüm kümesi sadece \(x=5\)tir. ✅
Çözüm Kümesi: \(\{5\}\)
Soru 4:
Soru 4:
\(\log_3 (x-2) < 2\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
\(\log_3 (x-2) < 2\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu bir logaritmalı eşitsizliktir. Hem tanım kümesine hem de tabanın 1'den büyük olup olmamasına dikkat etmeliyiz. 💡
-
Adım 1: Logaritmanın tanım kümesini belirleme.
📌 Logaritmanın içi pozitif olmalıdır.
👉 \(x-2 > 0\) olmalı, yani \(x > 2\). -
Adım 2: Eşitsizliği üslü ifadeye çevirme.
📌 Eşitsizliğin tabanı \(3\)tür. \(3 > 1\) olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez.
👉 \(\log_3 (x-2) < 2 \implies x-2 < 3^2\).
👉 \(x-2 < 9\).
👉 \(x < 11\). -
Adım 3: Tanım kümesi ile eşitsizlik çözümünü birleştirme.
📌 \(x > 2\) ve \(x < 11\) koşullarının ikisini de sağlamalıdır.
👉 Bu iki koşulu birleştirirsek, \(2 < x < 11\) elde ederiz. - Sonuç: Eşitsizliğin çözüm kümesi \((2, 11)\) aralığıdır. ✅
Soru 5:
Soru 5:
\(e^{x^2-1} = 2\) olduğuna göre, \(x\) in alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
\(e^{x^2-1} = 2\) olduğuna göre, \(x\) in alabileceği değerler çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda doğal logaritma (\(\ln\)) kavramını ve üslü denklemleri kullanacağız. 💡
-
Adım 1: Denklemin her iki tarafının doğal logaritmasını alma.
📌 \(e^{x^2-1} = 2\) ifadesinde \(e\) tabanlı bir üslü ifade olduğu için doğal logaritma (\(\ln\)) almak en mantıklısıdır.
👉 \(\ln(e^{x^2-1}) = \ln 2\). -
Adım 2: Logaritma özelliklerini uygulama.
💡 \(\ln(e^A) = A\) özelliğini kullanarak sol tarafı basitleştirebiliriz.
👉 \(x^2-1 = \ln 2\). -
Adım 3: \(x^2\) ifadesini yalnız bırakma.
👉 \(x^2 = 1 + \ln 2\). -
Adım 4: \(x\) değerlerini bulma.
👉 \(x = \sqrt{1 + \ln 2}\) veya \(x = -\sqrt{1 + \ln 2}\).
📌 \(1 + \ln 2 > 0\) olduğu için (çünkü \(\ln 2 \approx 0.693\)) karekök alınabilir ve iki farklı reel kök vardır. -
Adım 5: \(x\) değerlerinin çarpımını bulma.
👉 \(x_1 = \sqrt{1 + \ln 2}\) ve \(x_2 = -\sqrt{1 + \ln 2}\).
✅ \(x_1 \cdot x_2 = (\sqrt{1 + \ln 2}) \cdot (-\sqrt{1 + \ln 2}) = -(1 + \ln 2)\).
Sonuç: \(x\) in alabileceği değerler çarpımı \(-(1 + \ln 2)\) dir.
Soru 6:
Soru 6:
Bir bakteri popülasyonunun başlangıçtaki miktarı \(N_0\) olmak üzere, \(t\) saat sonraki miktarı \(N(t) = N_0 \cdot e^{0.2t}\) formülü ile hesaplanmaktadır.
Bakteri popülasyonunun başlangıç miktarının 5 katına ulaşması için yaklaşık kaç saat geçmesi gerekir? (\(\ln 5 \approx 1.6\))
Bir bakteri popülasyonunun başlangıçtaki miktarı \(N_0\) olmak üzere, \(t\) saat sonraki miktarı \(N(t) = N_0 \cdot e^{0.2t}\) formülü ile hesaplanmaktadır.
Bakteri popülasyonunun başlangıç miktarının 5 katına ulaşması için yaklaşık kaç saat geçmesi gerekir? (\(\ln 5 \approx 1.6\))
Çözüm:
Bu bir gerçek hayat uygulaması sorusudur. Verilen formülü kullanarak logaritma yardımıyla süreyi hesaplayacağız. 💡
-
Adım 1: Soruyu matematiksel ifadeye dönüştürme.
📌 Başlangıç miktarı \(N_0\). Popülasyonun başlangıç miktarının 5 katına ulaşması demek, \(N(t) = 5 N_0\) olması demektir.
👉 Verilen formül: \(N(t) = N_0 \cdot e^{0.2t}\).
👉 Bu iki ifadeyi eşitlersek: \(5 N_0 = N_0 \cdot e^{0.2t}\). -
Adım 2: Denklemi sadeleştirme.
📌 Eşitliğin her iki tarafındaki \(N_0\) terimini sadeleştirebiliriz (çünkü \(N_0 \neq 0\)).
👉 \(5 = e^{0.2t}\). -
Adım 3: Denklemi logaritmik forma çevirme.
📌 \(e\) tabanlı bir üslü ifade olduğu için her iki tarafın doğal logaritmasını (\(\ln\)) alalım.
👉 \(\ln 5 = \ln(e^{0.2t})\). -
Adım 4: Logaritma özelliklerini uygulama ve \(t\) değerini bulma.
💡 \(\ln(e^A) = A\) özelliğinden, \(\ln(e^{0.2t}) = 0.2t\) olur.
👉 \(\ln 5 = 0.2t\).
📌 Soruda \(\ln 5 \approx 1.6\) olarak verilmişti.
👉 \(1.6 = 0.2t\).
👉 \(t = \frac{1.6}{0.2} = \frac{16}{2} = 8\). - Sonuç: Bakteri popülasyonunun başlangıç miktarının 5 katına ulaşması için yaklaşık 8 saat geçmesi gerekir. ✅
Soru 7:
Soru 7:
\(\log_x 27 = 3\) olduğuna göre, \(x\) kaçtır?
\(\log_x 27 = 3\) olduğuna göre, \(x\) kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda logaritmanın temel tanımını kullanarak \(x\) değerini bulacağız. 💡
-
Adım 1: Logaritmik ifadeyi üslü ifadeye çevirme.
📌 Logaritmanın tanımına göre, \(\log_a b = c\) ise \(a^c = b\) demektir.
👉 Bu durumda, \(\log_x 27 = 3\) ifadesini \(x^3 = 27\) şeklinde yazabiliriz. -
Adım 2: \(x\) değerini bulma.
👉 \(x^3 = 27\)
📌 \(27\) sayısının \(3\)ün küpü olduğunu biliyoruz: \(27 = 3^3\).
👉 Yani, \(x^3 = 3^3\) olur.
✅ Buradan \(x = 3\) bulunur. -
Adım 3: Taban koşulunu kontrol etme.
📌 Logaritmanın tabanı \(1\) olamaz ve pozitif olmalıdır. \(x=3\) bu koşulları sağlar (\(3 \neq 1\) ve \(3 > 0\)).
Sonuç: \(x = 3\)
Soru 8:
Soru 8:
\(\log_5 125 + \log_4 1 - \ln e^3\) ifadesinin değeri kaçtır?
\(\log_5 125 + \log_4 1 - \ln e^3\) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda logaritmanın temel özelliklerini ve özel değerlerini kullanacağız. 💡
-
Adım 1: \(\log_5 125\) ifadesinin değerini bulma.
📌 \(125 = 5^3\) olduğunu biliyoruz.
👉 \(\log_5 125 = \log_5 (5^3)\).
💡 \(\log_a (a^n) = n\) özelliğinden, \(\log_5 (5^3) = 3\) olur. -
Adım 2: \(\log_4 1\) ifadesinin değerini bulma.
💡 Hangi tabanda olursa olsun, \(1\)in logaritması her zaman \(0\)dır: \(\log_a 1 = 0\).
👉 Bu yüzden, \(\log_4 1 = 0\) olur. -
Adım 3: \(\ln e^3\) ifadesinin değerini bulma.
📌 \(\ln\) doğal logaritma olup tabanı \(e\)dir. Yani \(\ln e^3 = \log_e e^3\).
💡 Yine \(\log_a (a^n) = n\) özelliğinden, \(\log_e e^3 = 3\) olur. -
Adım 4: Tüm değerleri yerine koyarak sonuca ulaşma.
👉 İfade: \(\log_5 125 + \log_4 1 - \ln e^3\)
👉 Yerine koyarsak: \(3 + 0 - 3\).
✅ Sonuç: \(3 + 0 - 3 = 0\).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/12-sinif-matematik-logaritma/sorular