🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Parçalı Fonksiyonların Limiti Çözümlü Sorular
12. Sınıf Matematik: Parçalı Fonksiyonların Limiti Çözümlü Sorular
Soru 1:
Aşağıda verilen \( f(x) \) parçalı fonksiyonunun \( x \to 1 \) noktasındaki limitini bulunuz.
\[ f(x) = \begin{cases} 2x+3 & , x < 2 \\ x^2-1 & , x \ge 2 \end{cases} \]
\[ f(x) = \begin{cases} 2x+3 & , x < 2 \\ x^2-1 & , x \ge 2 \end{cases} \]
Çözüm:
Bu soruda limitini aradığımız nokta \( x=1 \), fonksiyonun kritik noktası olan \( x=2 \)'den farklıdır. Bu durumda, \( x=1 \) hangi parçaya aitse o parçanın limitini alırız.
- 👉 Adım 1: \( x=1 \) noktasının hangi aralığa düştüğünü belirleyelim.
\( 1 < 2 \) olduğu için, \( f(x) \) fonksiyonu bu aralıkta \( 2x+3 \) olarak tanımlıdır. - 👉 Adım 2: Belirlenen parçanın limitini hesaplayalım.
\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (2x+3) \] - 👉 Adım 3: x yerine 1 yazarak limiti bulalım.
\( 2(1)+3 = 2+3 = 5 \)
Soru 2:
Aşağıda verilen \( g(x) \) parçalı fonksiyonu için \( \lim_{x \to 3^-} g(x) \) limitini hesaplayınız.
\[ g(x) = \begin{cases} 4x-5 & , x < 3 \\ x^2+2 & , x \ge 3 \end{cases} \]
\[ g(x) = \begin{cases} 4x-5 & , x < 3 \\ x^2+2 & , x \ge 3 \end{cases} \]
Çözüm:
Bu soruda bizden \( x=3 \) noktasına soldan yaklaşırken limit isteniyor. \( x=3 \) fonksiyonun kritik noktasıdır.
- 👉 Adım 1: Soldan limit için hangi parçayı kullanacağımızı belirleyelim.
\( x \to 3^- \) demek, \( x \)'in 3'ten küçük değerlerle 3'e yaklaştığı anlamına gelir. Bu durumda, fonksiyonun \( x < 3 \) koşulunu sağlayan parçasını kullanmalıyız.
Yani, \( g(x) = 4x-5 \) parçasını kullanırız. - 👉 Adım 2: Belirlenen parçanın limitini hesaplayalım.
\[ \lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3^-} (4x-5) \] - 👉 Adım 3: x yerine 3 yazarak limiti bulalım.
\( 4(3)-5 = 12-5 = 7 \)
Soru 3:
Aşağıda verilen \( h(x) \) parçalı fonksiyonunun \( x \to 0 \) noktasındaki limitini inceleyiniz. Limit var mıdır? Varsa kaçtır?
\[ h(x) = \begin{cases} x^2+2x-1 & , x < 0 \\ 3x+5 & , x \ge 0 \end{cases} \]
\[ h(x) = \begin{cases} x^2+2x-1 & , x < 0 \\ 3x+5 & , x \ge 0 \end{cases} \]
Çözüm:
\( x=0 \) noktası fonksiyonun kritik noktasıdır. Bu tür kritik noktalarda limitin var olup olmadığını anlamak için sağdan ve soldan limitlere bakmamız gerekir. Eğer sağdan ve soldan limitler birbirine eşitse, limit vardır ve bu değere eşittir.
- 👉 Adım 1: Soldan limiti hesaplayalım.
\( x \to 0^- \) demek, \( x \)'in 0'dan küçük değerlerle 0'a yaklaştığı anlamına gelir. Bu durumda \( x < 0 \) koşulunu sağlayan \( h(x) = x^2+2x-1 \) parçasını kullanırız.
\[ \lim_{x \to 0^-} h(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2+2x-1) = (0)^2+2(0)-1 = -1 \] - 👉 Adım 2: Sağdan limiti hesaplayalım.
\( x \to 0^+ \) demek, \( x \)'in 0'dan büyük değerlerle 0'a yaklaştığı anlamına gelir. Bu durumda \( x \ge 0 \) koşulunu sağlayan \( h(x) = 3x+5 \) parçasını kullanırız.
\[ \lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0^+} (3x+5) = 3(0)+5 = 5 \] - 👉 Adım 3: Sağdan ve soldan limitleri karşılaştıralım.
Soldan limit \( -1 \) iken, sağdan limit \( 5 \)'tir.
\( \lim_{x \to 0^-} h(x) \ne \lim_{x \to 0^+} h(x) \) olduğu için, fonksiyonun \( x \to 0 \) noktasında limiti yoktur.
Soru 4:
Aşağıda verilen \( k(x) \) parçalı fonksiyonunun \( x \to 4 \) noktasındaki limitini inceleyiniz. Limit var mıdır? Varsa kaçtır?
\[ k(x) = \begin{cases} x^2-3x & , x < 4 \\ 2x-4 & , x \ge 4 \end{cases} \]
\[ k(x) = \begin{cases} x^2-3x & , x < 4 \\ 2x-4 & , x \ge 4 \end{cases} \]
Çözüm:
\( x=4 \) noktası fonksiyonun kritik noktasıdır. Limitin varlığını kontrol etmek için sağdan ve soldan limitlere bakmalıyız.
- 👉 Adım 1: Soldan limiti hesaplayalım.
\( x \to 4^- \) için \( x < 4 \) koşulunu sağlayan \( k(x) = x^2-3x \) parçasını kullanırız.
\[ \lim_{x \to 4^-} k(x) = \lim_{x \to 4^-} (x^2-3x) = (4)^2-3(4) = 16-12 = 4 \] - 👉 Adım 2: Sağdan limiti hesaplayalım.
\( x \to 4^+ \) için \( x \ge 4 \) koşulunu sağlayan \( k(x) = 2x-4 \) parçasını kullanırız.
\[ \lim_{x \to 4^+} k(x) = \lim_{x \to 4^+} (2x-4) = 2(4)-4 = 8-4 = 4 \] - 👉 Adım 3: Sağdan ve soldan limitleri karşılaştıralım.
Soldan limit \( 4 \) ve sağdan limit \( 4 \)'tür.
\( \lim_{x \to 4^-} k(x) = \lim_{x \to 4^+} k(x) \) olduğu için, fonksiyonun \( x \to 4 \) noktasında limiti vardır ve \( 4 \)'e eşittir.
Soru 5:
\( f(x) \) parçalı fonksiyonunun \( x \to 2 \) noktasında limiti olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
\[ f(x) = \begin{cases} ax-3 & , x < 2 \\ x^2+a & , x \ge 2 \end{cases} \]
\[ f(x) = \begin{cases} ax-3 & , x < 2 \\ x^2+a & , x \ge 2 \end{cases} \]
Çözüm:
Bir fonksiyonun kritik bir noktada limitinin olması için, o noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir. Bu durumda, \( x=2 \) noktasındaki sağ ve sol limitleri eşitlemeliyiz.
- 👉 Adım 1: Soldan limiti hesaplayalım.
\( x \to 2^- \) için \( x < 2 \) koşulunu sağlayan \( f(x) = ax-3 \) parçasını kullanırız.
\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (ax-3) = a(2)-3 = 2a-3 \] - 👉 Adım 2: Sağdan limiti hesaplayalım.
\( x \to 2^+ \) için \( x \ge 2 \) koşulunu sağlayan \( f(x) = x^2+a \) parçasını kullanırız.
\[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2+a) = (2)^2+a = 4+a \] - 👉 Adım 3: Sağdan ve soldan limitleri eşitleyelim.
Limitin var olması için \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) \) olmalıdır.
\( 2a-3 = 4+a \)
\( 2a-a = 4+3 \)
\( a = 7 \)
Soru 6:
Aşağıda verilen \( f(x) \) parçalı fonksiyonunun \( x \to 3 \) noktasındaki limitini bulunuz.
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-9}{x-3} & , x < 3 \\ 2x+1 & , x \ge 3 \end{cases} \]
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-9}{x-3} & , x < 3 \\ 2x+1 & , x \ge 3 \end{cases} \]
Çözüm:
Bu fonksiyonun kritik noktası \( x=3 \)'tür. Limitini bulmak için sağdan ve soldan limitleri ayrı ayrı hesaplayıp karşılaştırmamız gerekir.
- 👉 Adım 1: Soldan limiti hesaplayalım.
\( x \to 3^- \) için \( x < 3 \) koşulunu sağlayan \( f(x) = \frac{x^2-9}{x-3} \) parçasını kullanırız.
Bu ifadede \( x \) yerine 3 yazdığımızda \( \frac{3^2-9}{3-3} = \frac{0}{0} \) belirsizliği oluşur. Bu belirsizliği gidermek için pay kısmını çarpanlarına ayıralım:
\( x^2-9 = (x-3)(x+3) \)
Şimdi limiti tekrar yazalım:
\[ \lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} \] \( x \ne 3 \) olduğu için \( (x-3) \) terimlerini sadeleştirebiliriz:
\[ \lim_{x \to 3^-} (x+3) = 3+3 = 6 \] - 👉 Adım 2: Sağdan limiti hesaplayalım.
\( x \to 3^+ \) için \( x \ge 3 \) koşulunu sağlayan \( f(x) = 2x+1 \) parçasını kullanırız.
\[ \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x+1) = 2(3)+1 = 6+1 = 7 \] - 👉 Adım 3: Sağdan ve soldan limitleri karşılaştıralım.
Soldan limit \( 6 \) iken, sağdan limit \( 7 \)'dir.
\( \lim_{x \to 3^-} f(x) \ne \lim_{x \to 3^+} f(x) \) olduğu için, fonksiyonun \( x \to 3 \) noktasında limiti yoktur.
Soru 7:
Bir telekomünikasyon şirketi, müşterilerinin internet kullanım miktarına göre aylık ücretlendirme yapmaktadır. İlk 10 GB internet kullanımı için GB başına 5 TL, 10 GB üzeri her GB için ise 3 TL ücret alınmaktadır. Bu durumu gösteren ücret fonksiyonu \( Ü(x) \) (x GB cinsinden kullanım miktarını, Ü(x) TL cinsinden ücreti ifade eder) aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
\[ Ü(x) = \begin{cases} 5x & , 0 \le x \le 10 \\ 50 + 3(x-10) & , x > 10 \end{cases} \] Buna göre, bir müşterinin internet kullanımı 10 GB'a sağdan yaklaşırken (yani 10 GB'ın biraz üzerinde) ödeyeceği ücretin limitini bulunuz.
\[ \lim_{x \to 10^+} Ü(x) \]
\[ Ü(x) = \begin{cases} 5x & , 0 \le x \le 10 \\ 50 + 3(x-10) & , x > 10 \end{cases} \] Buna göre, bir müşterinin internet kullanımı 10 GB'a sağdan yaklaşırken (yani 10 GB'ın biraz üzerinde) ödeyeceği ücretin limitini bulunuz.
\[ \lim_{x \to 10^+} Ü(x) \]
Çözüm:
Bu problem, parçalı fonksiyonların günlük hayattaki fiyatlandırma modellerinde nasıl kullanıldığını göstermektedir. Bizden 10 GB kullanım sınırına sağdan yaklaşırken ödenecek ücretin limiti isteniyor.
- 👉 Adım 1: Sağdan limit için hangi parçayı kullanacağımızı belirleyelim.
\( x \to 10^+ \) demek, \( x \)'in 10'dan büyük değerlerle 10'a yaklaştığı anlamına gelir. Bu durumda, fonksiyonun \( x > 10 \) koşulunu sağlayan parçasını kullanmalıyız.
Yani, \( Ü(x) = 50 + 3(x-10) \) parçasını kullanırız. (Buradaki 50 TL, ilk 10 GB için ödenen sabit ücrettir: \( 5 \times 10 = 50 \)). - 👉 Adım 2: Belirlenen parçanın limitini hesaplayalım.
\[ \lim_{x \to 10^+} Ü(x) = \lim_{x \to 10^+} (50 + 3(x-10)) \] - 👉 Adım 3: x yerine 10 yazarak limiti bulalım.
\( 50 + 3(10-10) = 50 + 3(0) = 50+0 = 50 \)
Soru 8:
Bir şehirdeki taksi ücretlendirmesi şu şekildedir: İlk 5 km için sabit 20 TL ücret alınır. 5 km'den sonraki her km için ise 4 TL ek ücret talep edilir. Gidilen mesafeyi \( m \) (km cinsinden), ödenecek toplam ücreti \( T(m) \) (TL cinsinden) gösteren parçalı fonksiyon aşağıdaki gibidir:
\[ T(m) = \begin{cases} 20 & , 0 < m \le 5 \\ 20 + 4(m-5) & , m > 5 \end{cases} \] Bir müşteri 5 km'ye soldan yaklaşan bir mesafede (yani 5 km'den biraz az) yolculuk yaparsa ödeyeceği ücretin limitini bulunuz. Bu limit, taksi ücretlendirme modelinin 5 km sınırındaki davranışını nasıl yorumlamamıza yardımcı olur?
\[ \lim_{m \to 5^-} T(m) \]
\[ T(m) = \begin{cases} 20 & , 0 < m \le 5 \\ 20 + 4(m-5) & , m > 5 \end{cases} \] Bir müşteri 5 km'ye soldan yaklaşan bir mesafede (yani 5 km'den biraz az) yolculuk yaparsa ödeyeceği ücretin limitini bulunuz. Bu limit, taksi ücretlendirme modelinin 5 km sınırındaki davranışını nasıl yorumlamamıza yardımcı olur?
\[ \lim_{m \to 5^-} T(m) \]
Çözüm:
Bu örnek, günlük hayattaki bir hizmetin ücretlendirme tarifesinin parçalı fonksiyonla nasıl modellendiğini ve limit kavramının bu modeldeki davranışını anlamak için nasıl kullanıldığını gösterir.
\[ \lim_{m \to 5^-} T(m) = 20 \]
- 👉 Adım 1: Soldan limit için hangi parçayı kullanacağımızı belirleyelim.
\( m \to 5^- \) demek, \( m \)'nin 5'ten küçük değerlerle 5'e yaklaştığı anlamına gelir. Bu durumda, fonksiyonun \( 0 < m \le 5 \) koşulunu sağlayan parçasını kullanmalıyız.
Yani, \( T(m) = 20 \) parçasını kullanırız. - 👉 Adım 2: Belirlenen parçanın limitini hesaplayalım.
\[ \lim_{m \to 5^-} T(m) = \lim_{m \to 5^-} (20) \] Sabit bir fonksiyonun limiti, o sabit değere eşittir.
\( \lim_{m \to 5^-} 20 = 20 \)
\[ \lim_{m \to 5^-} T(m) = 20 \]
💡 Yorum: Bu limit değeri, taksi ücretlendirme sisteminin 5 km'nin hemen altında 20 TL olarak sabitlendiğini göstermektedir. Eğer sağdan limiti de hesaplasaydık ( \( \lim_{m \to 5^+} (20 + 4(m-5)) = 20 + 4(5-5) = 20 \) ), 5 km noktasında limitin var ve 20 TL olduğunu görürdük. Bu da ücretlendirme politikasının 5 km sınırında "sürekli" olduğunu, yani ani bir fiyat sıçraması olmadığını gösterir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/12-sinif-matematik-parcali-fonksiyonlarin-limiti/sorular