💡 5. Sınıf Matematik: Değişme birleşme dağılma özelliği Çözümlü Sorular

Bu soruda toplama işleminin birleşme özelliği kullanılmıştır.

• Birleşme özelliği, toplama işleminde sayıların gruplandırılmasının sonucu değiştirmediğini ifade eder.
• İşlemde \( (15 + 27) \) önce toplanmış, sonra \( 35 \) eklenmiştir.
• Diğer tarafta ise \( 27 + 35 \) önce toplanmış, sonra \( 15 \) eklenmiştir.
• Her iki durumda da sonuç aynı olacaktır.

💡 Birleşme özelliği: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)

Çarpma işleminin değişme özelliği, çarpılan sayıların yerlerinin değiştirilmesinin sonucu değiştirmediğini ifade eder.
Bu özellik şu şekilde ifade edilir: \( a \times b = b \times a \)
Örneğimizde: \( 45 \times 10 = 10 \times 45 \) şeklinde yazılabilir. Her iki durumda da sonuç \( 450 \) olur. 👉 Değişme özelliği, işlemleri zihinden yaparken bize yardımcı olur.

Bu işlemde çarpma işleminin birleşme özelliği kullanılmıştır.

• Birleşme özelliği, çarpma işleminde sayıların gruplandırılmasının sonucu değiştirmediğini gösterir.
• İşlemde önce \( 5 \) ile \( 4 \) çarpılmış, sonra sonuç \( 7 \) ile çarpılmıştır.
• Diğer tarafta ise önce \( 7 \) ile \( 5 \) çarpılmış, sonra sonuç \( 4 \) ile çarpılmıştır.
• Sonuç her iki durumda da aynıdır: \( 7 \times 20 = 140 \) ve \( 35 \times 4 = 140 \).

✅ Birleşme özelliği: \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)

Dağılma özelliği, çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılmasını ifade eder.
İşlem şu şekilde çözülür:

• Önce \( 12 \) sayısı parantez içindeki \( 10 \) ile çarpılır: \( 12 \times 10 = 120 \)
• Sonra \( 12 \) sayısı parantez içindeki \( 3 \) ile çarpılır: \( 12 \times 3 = 36 \)
• Bulunan sonuçlar toplanır: \( 120 + 36 = 156 \)

💡 Dağılma özelliği: \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \) Yani, \( 12 \times (10 + 3) = (12 \times 10) + (12 \times 3) = 120 + 36 = 156 \)

Bu işlemde de çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği kullanılır.
Adımlar şunlardır:

• \( 4 \) sayısı \( 50 \) ile çarpılır: \( 4 \times 50 = 200 \)
• \( 4 \) sayısı \( 20 \) ile çarpılır: \( 4 \times 20 = 80 \)
• Elde edilen sonuçlar toplanır: \( 200 + 80 = 280 \)

📌 Dağılma özelliği: \( (a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c) \) Bu durumda, \( (50 + 20) \times 4 = (50 \times 4) + (20 \times 4) = 200 + 80 = 280 \)

Çiftçinin dikeceği toplam domates fidesi sayısını bulmak için sıra sayısı ile her sıradaki fide sayısını çarparız.

• Normal çözüm: \( 8 \text{ sıra} \times 15 \text{ fide/sıra} = 120 \text{ fide} \)
• Değişme özelliğini kullanarak: Çarpma işleminin değişme özelliğine göre \( a \times b = b \times a \) olduğundan, işlemi \( 15 \times 8 \) şeklinde de yapabiliriz.
• Değişme özelliği ile çözüm: \( 15 \times 8 = 120 \text{ fide} \)

Her iki durumda da sonuç aynıdır. Değişme özelliği, işlemleri farklı açılardan görmemizi sağlar.

Ayşe'nin bir hafta boyunca kumbarasına attığı toplam parayı bulmak için günlük attığı para ile gün sayısını çarparız.

• Günlük atılan para: \( 5 \) TL
• Gün sayısı: \( 7 \) gün
• Toplam para: \( 5 \text{ TL/gün} \times 7 \text{ gün} = 35 \text{ TL} \)

Bu basit çarpma işleminde birleşme özelliğini doğrudan kullanmak yerine, örneğin şöyle bir senaryo düşünürsek kullanabiliriz:
Diyelim ki Ayşe ilk 3 gün 5 TL, sonraki 4 gün de 5 TL attı. Toplam para: \( (3 \times 5) + (4 \times 5) \).
Burada dağılma özelliğinin tersi söz konusu. Ancak, eğer şöyle bir durum olsaydı:
Birinci hafta 5 TL, ikinci hafta 5 TL, üçüncü hafta 5 TL attı. Toplam 3 hafta (21 gün) sonunda ne kadar birikmiş olur?
Bu durumda \( (5+5+5) \times 7 \) gibi bir ifade yerine, \( 5 \times (7+7+7) \) gibi bir ifade düşünebiliriz. Ancak bu, sorunun temel mantığından biraz uzaklaşır.
Temel olarak, \( 5 \times 7 \) gibi tek bir çarpma işleminde birleşme özelliğini göstermek için sayıyı parçalamak gerekir, örneğin \( 5 \times (3+4) \). Ancak bu, sorunun basitliğini bozar.
Bu senaryoda en net görülen özellik, tek bir çarpma işlemidir.

Öncelikle mevcut kitap sayısını bulalım:

• Her raftaki kitap sayısı: \( 20 \)
• Raf sayısı: \( 5 \)
• Mevcut kitap sayısı: \( 20 \times 5 = 100 \) kitap

Şimdi yeni gelen kitapları ekleyelim:

• Yeni gelen kitap sayısı: \( 30 \)
• Toplam kitap sayısı: \( 100 + 30 = 130 \) kitap

Dağılma özelliğini bu problemi çözmek için doğrudan kullanmak zor olabilir. Ancak, şöyle bir senaryo düşünelim:
Eğer her rafta 20 kitap olsaydı ve biz her rafa 6'şar tane daha kitap ekleseydik, toplamda kaç kitap eklemiş olurduk?
Bu durumda \( 6 \times 5 \) yerine \( (6 \times 5) \) olurdu.
Bizim sorumuzda ise, mevcut kitap sayısını (20 x 5) hesaplayıp sonra 30 ekliyoruz. Dağılma özelliğini kullanmak için, örneğin şöyle bir ifadeyi ele alabilirdik:
Eğer her rafta 20 kitap olsaydı ve biz bu 5 rafa toplamda 30 kitap ekleseydik, her rafa ortalama kaç kitap düşerdi gibi bir soru olsaydı dağılma özelliğini kullanmak daha anlamlı olabilirdi.
Bu soruda dağılma özelliğini doğrudan kullanmak yerine, temel aritmetik işlemlerle çözmek daha pratiktir.