💡 5. Sınıf Matematik: Değişme, birleşme, dağılma Çözümlü Sorular

Toplama işleminde değişme özelliği, toplananların yerleri değiştirildiğinde sonucun değişmediğini ifade eder.

• Adım 1: İlk işlem \( 35 + 18 \) olarak verilmiş.
• Adım 2: İkinci işlem ise toplananların yerleri değiştirilerek \( 18 + 35 \) olarak yazılmış.
• Adım 3: Her iki işlemin sonucunu kontrol edelim:
• \( 35 + 18 = 53 \)
• \( 18 + 35 = 53 \)
• Sonuç: Sonuçlar aynı olduğu için evet, bu işlemde toplama işleminin değişme özelliği kullanılmıştır. ✅

Çarpma işleminde birleşme özelliği, üç veya daha fazla sayıyı çarptığımızda, sayıları hangi gruplara ayırdığımızın sonucu değiştirmediğini söyler.

• Adım 1: İşlem \( (4 \times 5) \times 6 \) şeklinde verilmiş. Önce parantez içindeki işlemi yaparız.
• Adım 2: Parantez içindeki \( 4 \times 5 \) işleminin sonucu \( 20 \) olur.
• Adım 3: Şimdi elde ettiğimiz sonucu \( 6 \) ile çarparız: \( 20 \times 6 \).
• Sonuç: \( 20 \times 6 = 120 \). 💡

Dağılma özelliği, bir sayının bir toplamla çarpımının, o sayının toplamdaki her bir terimle ayrı ayrı çarpımlarının toplamına eşit olduğunu gösterir.

• Adım 1: İşlem \( 7 \times (10 + 3) \) şeklinde.
• Adım 2: Dağılma özelliğini kullanarak \( 7 \) sayısını parantez içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarparız:
• \( 7 \times 10 \)
• \( 7 \times 3 \)
• Adım 3: Bu çarpımların sonuçlarını toplarız: \( (7 \times 10) + (7 \times 3) \).
• Adım 4: Hesaplamaları yapalım:
• \( 7 \times 10 = 70 \)
• \( 7 \times 3 = 21 \)
• Sonuç: Toplam \( 70 + 21 = 91 \). 👉

Bu soruda çarpma işleminin birleşme özelliğini kullanarak farklı gruplamaların sonucunu göreceğiz.

• Birinci İşlem: \( 5 \times (3 \times 2) \)
• Önce parantez içini yapalım: \( 3 \times 2 = 6 \).
• Şimdi \( 5 \times 6 = 30 \).
• İkinci İşlem: \( (5 \times 3) \times 2 \)
• Önce parantez içini yapalım: \( 5 \times 3 = 15 \).
• Şimdi \( 15 \times 2 = 30 \).
• Karşılaştırma: Her iki işlemin sonucu da 30'dur. Bu, çarpma işleminin birleşme özelliğini gösterir. ✅

Bu problemi farklı matematiksel özellikler kullanarak çözebiliriz.

• Yol 1: Önce eklenenleri sonra toplamı bulma (Dağılma Özelliği ile ilişkilendirilebilir)
• Her kutuda toplam kalem sayısı: \( 5 + 2 = 7 \) kalem.
• Toplam kalem sayısı: \( 3 \text{ kutu} \times 7 \text{ kalem/kutu} = 21 \) kalem.
• Bu durum \( 3 \times (5 + 2) \) şeklinde düşünülebilir.
• Yol 2: Önce tüm başlangıç kalemlerini sonra eklenenleri bulma (Dağılma Özelliği)
• Başlangıçtaki toplam kalem sayısı: \( 3 \times 5 = 15 \) kalem.
• Eklenen toplam kalem sayısı: \( 3 \times 2 = 6 \) kalem.
• Toplam kalem sayısı: \( 15 + 6 = 21 \) kalem.
• Bu durum \( (3 \times 5) + (3 \times 2) \) şeklinde düşünülebilir.
• Yol 3: Farklı gruplama ile hesaplama (Birleşme Özelliği ile ilişkilendirilebilir)
• Önce ilk iki kutudaki toplamı bulup sonra üçüncü kutuyu ekleyebiliriz.
• Örneğin, \( (3 \times 5) + (3 \times 5) + (3 \times 5) \) gibi düşünebiliriz.
• Daha basit bir yol: 3 kutunun her birinde 7 kalem var.
• \( 3 \times 7 = 21 \) kalem.
• Sonuç: Ayşe'nin toplam 21 kalemi vardır. 💡

Bu problemi market alışverişi üzerinden dağılma özelliği ile modelleyelim.

• Problem Tanımı: 4 paket bisküvi var. Her pakette 12 adet bisküvi var ve her paketin fiyatı 5 TL.
• Dağılma Özelliği ile Kurulum:
• Toplam ödenen para = (Paket sayısı) x (Her paketin fiyatı)
• Bu durumda, paket sayısı 4 ve her paketin fiyatı 5 TL.
• Ancak soruda "her birinde 12 şer adet bulunan" bilgisi var. Bu bilgi, aslında paket başına düşen bisküvi sayısını belirtiyor ve doğrudan fiyat hesaplamasında kullanılmayabilir, ancak problemin bağlamını zenginleştirir.
• Biz doğrudan paket sayısı ve paket fiyatını kullanacağız: \( 4 \times 5 \)
• Ancak dağılma özelliğini göstermek için şöyle bir senaryo kurabiliriz:
• Diyelim ki her paketin fiyatı 5 TL ve biz bu 4 paketi almak istiyoruz.
• Eğer fiyatı \( 10 - 5 \) şeklinde düşünürsek (bu örnekte bu şekilde kurmak zor, daha basit bir dağılma kuralım):
• Fiyatı \( 4 + 1 \) TL olan bir ürün düşünelim. 4 paket alacağız.
• \( 4 \times (4+1) \) TL
• Dağılma özelliği: \( (4 \times 4) + (4 \times 1) = 16 + 4 = 20 \) TL.
• Daha Uygun Bir Dağılma Senaryosu:
• Her paketin fiyatı 5 TL. Biz 4 paket alıyoruz.
• Eğer fiyatı \( 2+3 \) TL gibi düşünürsek: \( 4 \times (2+3) \)
• Dağılma özelliği ile: \( (4 \times 2) + (4 \times 3) = 8 + 12 = 20 \) TL.
• Sonuç: Toplamda 20 TL ödenir. 💰

Bu işlemde toplama işleminin birleşme özelliği kullanılmıştır.

• Açıklama:
• Toplama işleminde birleşme özelliği, üç veya daha fazla sayıyı toplarken, sayıları hangi gruplara ayırdığımızın sonucu değiştirmediğini söyler.
• Burada \( (15 + 20) \) grubu ile \( (20 + 25) \) grubu karşılaştırılmıştır.
• Her iki tarafta da aynı sayılar \( 15, 20, 25 \) toplanmaktadır, sadece gruplama (parantezlerin yeri) değişmiştir.
• Sonuç: Kullanılan özellik birleşme özelliğidir. 📌

Çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini uygulayacağız.

• Adım 1: İşlem \( 9 \times (10 - 2) \) şeklinde verilmiş.
• Adım 2: Dağılma özelliğini kullanarak \( 9 \) sayısını parantez içindeki her bir terimle ayrı ayrı çarparız:
• \( 9 \times 10 \)
• \( 9 \times 2 \)
• Adım 3: Bu çarpımların sonuçlarını, parantezdeki işleme göre (çıkarma) birbirinden çıkarırız: \( (9 \times 10) - (9 \times 2) \).
• Adım 4: Hesaplamaları yapalım:
• \( 9 \times 10 = 90 \)
• \( 9 \times 2 = 18 \)
• Sonuç: Fark \( 90 - 18 = 72 \). 👉

Bu soruda çarpma işleminin değişme özelliği sorulmaktadır.

• Adım 1: İlk işlem \( 23 \times 14 \) olarak verilmiş.
• Adım 2: İkinci işlem ise çarpanların yerleri değiştirilerek \( 14 \times 23 \) olarak yazılmış.
• Adım 3: Değişme özelliği gereği, çarpanların yerleri değiştirildiğinde sonuç değişmez.
• Sonuç: Evet, \( 14 \times 23 \) ile aynı sonucu verir. Bu, çarpma işleminin değişme özelliğidir. ✅