💡 5. Sınıf Matematik: Değişme Birleşme ve Dağılma Özellikleri Çözümlü Sorular

Bu işlemde toplama işleminin Değişme Özelliği kullanılmıştır.

• Değişme Özelliği, toplama veya çarpma işlemlerinde sayıların yerleri değiştirildiğinde sonucun değişmediğini ifade eder.
• Yani, \( a + b = b + a \) veya \( a \times b = b \times a \) şeklindedir.
• Örneğimizde 15 ve 23'ün yerleri değiştirilmiş ancak toplamları aynı kalmıştır.

✅ Sonuç: Değişme Özelliği.

Çarpma işleminin Birleşme Özelliği sayesinde sayıları farklı gruplara ayırarak işlem yapabiliriz.

• Birleşme Özelliği, toplama veya çarpma işlemlerinde üç veya daha fazla sayıyla işlem yaparken sayıların gruplandırılma şeklinin sonucu değiştirmediğini söyler.
• Yani, \( (a + b) + c = a + (b + c) \) veya \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \) şeklindedir.
• Örneğimizde:
• Önce \( 4 \times 5 = 20 \)
• Sonra \( 20 \times 3 = 60 \)

👉 Eğer \( 4 \times (5 \times 3) \) şeklinde yapsaydık:

• Önce \( 5 \times 3 = 15 \)
• Sonra \( 4 \times 15 = 60 \)

Sonuç her iki durumda da aynıdır. ✅ Sonuç: 60.

Dağılma özelliği, çarpma işleminin toplama veya çıkarma işlemi üzerine dağılmasını ifade eder.

• Formülü: \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \)
• Örneğimizde 7 sayısı parantez içindeki her iki sayıyla ayrı ayrı çarpılır:
• \( 7 \times 10 = 70 \)
• \( 7 \times 2 = 14 \)
• Şimdi bu sonuçları toplarız: \( 70 + 14 = 84 \)

📌 Kontrol edelim: \( 7 \times (10 + 2) = 7 \times 12 = 84 \). Sonuçlar eşleşiyor. ✅ Sonuç: 84.

Bu işlemde toplama işleminin Birleşme Özelliği kullanılmıştır.

• Sayıların gruplanma şekli değiştirilmiş ancak sonuç aynı kalmıştır.
• Sol taraf: \( (12 + 5) + 8 = 17 + 8 = 25 \)
• Sağ taraf: \( 12 + (5 + 8) = 12 + 13 = 25 \)

Sonuç her iki tarafta da 25'tir. ✅ Sonuç: Birleşme Özelliği, 25.

Bu problemde dağılma özelliğini kullanabiliriz.

• Her pakette 5 elma var.
• Birinci gün hazırlanan elma sayısı: \( 3 \times 5 \)
• İkinci gün hazırlanan elma sayısı: \( 4 \times 5 \)
• Toplam elma sayısı bu ikisinin toplamıdır: \( (3 \times 5) + (4 \times 5) \)
• Dağılma özelliğini kullanarak bunu şu şekilde yazabiliriz: \( (3 + 4) \times 5 \)
• Şimdi hesaplayalım:
• \( 3 + 4 = 7 \)
• \( 7 \times 5 = 35 \)

Demek ki toplam 35 elma paketlenmiştir. 💡 Dağılma özelliğinin tersini kullandık: \( (a \times c) + (b \times c) = (a + b) \times c \) ✅ Sonuç: \( (3+4) \times 5 = 35 \) elma.

Ayşe'nin her gün bu iki aktiviteye ayırdığı toplam süre: \( 2 + 1 = 3 \) saat.
Bu rutini 5 gün boyunca sürdürüyor. Toplam süreyi bulmak için \( 5 \times 3 \) işlemini yapmalıyız.
Ancak bizden toplama işleminin birleşme özelliğini kullanmamız isteniyor. Bu biraz dolaylı olacak ama şöyle düşünebiliriz:
Her gün okuduğu sürenin toplamı: \( 5 \times 2 \)
Her gün ödev yaptığı sürenin toplamı: \( 5 \times 1 \)
Toplam süre: \( (5 \times 2) + (5 \times 1) \)
Bu ifade dağılma özelliğinin bir şeklidir. Ancak bizden birleşme özelliği istenmiş.
Şöyle bir senaryo düşünelim:
Ayşe Pazartesi 2 saat kitap, 1 saat ödev yaptı.
Salı 2 saat kitap, 1 saat ödev yaptı.
...
Toplam okuma süresi: \( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \)
Toplam ödev süresi: \( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \)
Birleşme özelliğini kullanarak okuma süresini hesaplayalım:
\( (2+2) + (2+2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 \) saat okumuş.
Birleşme özelliğini kullanarak ödev süresini hesaplayalım:
\( (1+1) + (1+1) + 1 = 2 + 2 + 1 = 5 \) saat ödev yapmış.
Toplam süre: \( 10 + 5 = 15 \) saat.
📌 Bu örnekte, doğrudan birleşme özelliğini kullanmak yerine, her bir aktivitenin toplam süresini bulup sonra toplamak, dolaylı olarak birleşme özelliğinin mantığını kullanmaktır. Asıl istenen, birleşme özelliğinin toplama üzerindeki etkisini göstermektir. ✅ Sonuç: 15 saat.

Bu eşitlikte çarpma işleminin toplama işlemi üzerine Dağılma Özelliği kullanılmıştır.

• Dağılma özelliğinin genel kuralı: \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \)
• Verilen eşitlikte \( a = 18 \), \( b = 5 \) ve \( c \) yerine \( x \) olmalıydı, ancak sağ tarafta \( 18 \times 12 \) olarak verilmiş.
• Bu durumda dağılma özelliğinin uygulanmış hali \( 18 \times (5 + 12) \) olmalıdır.
• Yani, \( 18 \times (5 + x) = 18 \times (5 + 12) \)
• Bu eşitliğin sağlanması için \( x \) değerinin \( 12 \) olması gerekir.

✅ Sonuç: \( x = 12 \), Dağılma Özelliği.

Bu işlemde çarpma işleminin Birleşme Özelliği kullanılmıştır.

• Sayıların gruplanma şekli değiştirilmiş ancak sonuç aynı kalmıştır.
• Sol taraf: \( 6 \times (5 \times 2) = 6 \times 10 = 60 \)
• Sağ taraf: \( (6 \times 5) \times 2 = 30 \times 2 = 60 \)

Sonuç her iki tarafta da 60'tır. ✅ Sonuç: Birleşme Özelliği.

Bu problemi dağılma özelliğini kullanarak çözebiliriz.

• Her kasada 10 limon bulunuyor.
• Birinci gün satılan limon sayısı: \( 3 \times 10 \)
• İkinci gün satılan limon sayısı: \( 5 \times 10 \)
• Toplam satılan limon sayısı: \( (3 \times 10) + (5 \times 10) \)
• Dağılma özelliğini kullanarak bu ifadeyi şu şekilde yazabiliriz: \( (3 + 5) \times 10 \)
• Şimdi hesaplayalım:
• \( 3 + 5 = 8 \)
• \( 8 \times 10 = 80 \)

Manav toplam 80 adet limon satmıştır. 💡 Bu, \( (a \times c) + (b \times c) = (a + b) \times c \) formülünün bir uygulamasıdır. ✅ Sonuç: \( (3+5) \times 10 = 80 \) limon.