💡 5. Sınıf Matematik: Değişme ve birleşme özelliği Çözümlü Sorular

Değişme Özelliği Nedir?

Toplama işleminde, sayıların yerleri değiştirildiğinde sonucun değişmemesidir.

• Örnek A, birleşme özelliğini gösterir.
• Örnek C, etkisiz eleman özelliğini gösterir.
• Örnek D, sadece bir toplama işleminin sonucudur.
• Örnek B'de ise 5 ve 3 sayılarının yerleri değiştirilmiş olmasına rağmen sonuç aynıdır.

✅ Doğru Cevap: B

Birleşme Özelliği Nedir?

Toplama veya çarpma işleminde, üç veya daha fazla sayıyla işlem yaparken sayıların gruplandırılma şekli değiştirildiğinde sonucun değişmemesidir.

İşlemimiz: \( 2 \times (3 \times 4) \)

• Önce parantez içindeki işlemi yaparız: \( 3 \times 4 = 12 \)
• Şimdi bulduğumuz sonucu ilk sayıyla çarparız: \( 2 \times 12 = 24 \)

💡 Yani, \( 2 \times (3 \times 4) = 24 \) olur.

Birleşme Özelliği ile Çözüm

Birleşme özelliğine göre, \( a + (b + c) = (a + b) + c \) şeklindedir.

İşlemimiz: \( 15 + (25 + 10) \)

• Birleşme özelliğini kullanarak gruplandırmayı değiştirelim: \( (15 + 25) + 10 \)
• Önce ilk parantez içini yapalım: \( 15 + 25 = 40 \)
• Şimdi bulduğumuz sonucu diğer sayıyla toplayalım: \( 40 + 10 = 50 \)

✅ Sonuç: \( 15 + (25 + 10) = 50 \)

Karşılaştırma Zamanı!

• İlk işlem: \( 7 \times 8 = 56 \)
• İkinci işlem: \( 8 \times 7 = 56 \)

Gördüğümüz gibi, her iki işlemde de sonuç 56'dır. Sayıların yerleri değişse de sonuç değişmemiştir. Bu durum, değişme özelliğini gösterir. 💡

Ayşe'nin Para Hesabı

• Ayşe'nin ilk hesaplama şekli: \( (5 \times 3) + (10 \times 2) \)
• Bu işlem \( 15 + 20 = 35 \) TL eder.
• Eğer önce 10 TL'likleri hesaplasaydı: \( (10 \times 2) + (5 \times 3) \)
• Bu işlem de \( 20 + 15 = 35 \) TL eder.

Gördüğümüz gibi, toplam para miktarı değişmez. Ayşe, toplama işleminin değişme özelliğini kullanmış olurdu. ✅

Market Alışverişi ve Matematik

• İlk hesaplama: \( (2 \times 3) + (3 \times 4) = 6 + 12 = 18 \) TL
• İkinci hesaplama: \( (3 \times 4) + (2 \times 3) = 12 + 6 = 18 \) TL

Ödeyeceği miktar değişmez. Bu durumda toplama işleminin değişme özelliği kullanılmış olurdu. 💡

Gruplandırma Farkı

• İlk işlem: \( 5 \times (4 \times 2) = 5 \times 8 = 40 \)
• İkinci işlem: \( (5 \times 4) \times 2 = 20 \times 2 = 40 \)

Her iki işlemde de sonuç 40'tır. Sayıların gruplandırılma şekli değişmesine rağmen sonuç aynı kaldı. Bu durum, çarpma işleminin birleşme özelliğini gösterir. ✅

Gizemli Sayıları Bulalım!

Eşitliğimiz: \( (x + 5) + 10 = x + (5 + y) \)

• Bu eşitlik, toplama işleminin birleşme özelliğini temsil etmektedir.
• Birleşme özelliğine göre, \( (a + b) + c = a + (b + c) \) olmalıdır.
• Eşitliğin sol tarafına bakarsak: \( (x + 5) + 10 \). Burada \( a=x, b=5, c=10 \)
• Eşitliğin sağ tarafına bakarsak: \( x + (5 + y) \). Burada \( a=x, b=5, c=y \)
• Birleşme özelliğinin sağlanması için \( c \) değerleri aynı olmalıdır. Yani \( 10 = y \) olmalıdır.
• Ayrıca, \( x \) yerine herhangi bir sayı gelebilir, çünkü \( x \) her iki tarafta da aynıdır ve işlemin sonucunu değiştirmez. Ancak soruda "sırasıyla" dediği için, eşitliğin yapısını bozmadan \( x \) ve \( y \) için en uygun değerleri düşünmeliyiz.
• Eğer \( x \) yerine 1 yazarsak: \( (1 + 5) + 10 = 1 + (5 + 10) \Rightarrow 6 + 10 = 1 + 15 \Rightarrow 16 = 16 \).
• Bu durumda, \( x \) yerine herhangi bir sayı gelebilirken, \( y \) yerine kesinlikle 10 gelmelidir. Sorunun formatına uygun olarak, \( x \) için de bir sayı seçmemiz gerekiyor. Genellikle bu tür sorularda \( x \) yerine ilk denklemdeki ilk sayı veya benzer bir yapı düşünülür. Ancak burada \( x \) bir değişken olduğu için, eşitliğin sağlanması için \( y \) 'nin 10 olması yeterlidir. Soruda "sırasıyla" denmesi, \( x \) ve \( y \) için birer değer beklendiğini gösterir.
• En basit ve doğru yorumla, \( x \) herhangi bir sayı olabilir ama \( y \) kesinlikle 10 olmalıdır. Sorunun formatına uymak adına, \( x \) için de bir örnek sayı seçelim. Eğer \( x \) yerine 1 koyarsak, \( y \) yerine de 10 koyduğumuzda eşitlik sağlanır.

💡 Bu nedenle, \( x \) ve \( y \) yerine yazılması gereken sayılar sırasıyla herhangi bir sayı ve 10'dur. Ancak sorunun yapısı gereği, \( x \) yerine de bir sayı (örneğin 1) ve \( y \) yerine 10 yazılmalıdır. Matematiksel olarak en doğru ifade, \( y = 10 \) olmasıdır. Sorunun "sırasıyla" ifadesi, \( x \) için de bir değer beklendiğini gösterir. Bu tür sorularda \( x \) için de bir değer (genellikle ilk denklemdeki ilk sayı) alınabilir. Bu durumda \( x \) ve \( y \) sırasıyla 1 ve 10 olur.

✅ Sonuç: \( x \) için herhangi bir sayı (örneğin 1), \( y \) için 10. Kullanılan özellik: Birleşme Özelliği.