🎓 5. Sınıf
📚 5. Sınıf Matematik
💡 5. Sınıf Matematik: Kenar Uzunlukları Doğal Sayı Olan Bir Dikdörtgenin Alanının Ölçüsü Verildiğinde Çevre Uzunluğu Verildiğinde Alanını Yorumlayabilme Çözümlü Sorular
5. Sınıf Matematik: Kenar Uzunlukları Doğal Sayı Olan Bir Dikdörtgenin Alanının Ölçüsü Verildiğinde Çevre Uzunluğu Verildiğinde Alanını Yorumlayabilme Çözümlü Sorular
Soru 1:
💡 Bir dikdörtgenin alanı 24 birimkaredir. Kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğu kaç farklı değer alabilir? Çevre uzunluklarını bulunuz.
Çözüm:
Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir. Kenar uzunlukları doğal sayı olduğu için, alanı 24 birimkare olan dikdörtgenin kenar uzunlukları, 24'ün çarpanları arasından seçilmelidir.
Çevre uzunluğu ise, iki kısa kenar ile iki uzun kenarın toplamına eşittir. Yani, \( 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) \) formülüyle bulunur.
Çevre uzunluğu ise, iki kısa kenar ile iki uzun kenarın toplamına eşittir. Yani, \( 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) \) formülüyle bulunur.
- 👉 Adım 1: Alanı 24 olan dikdörtgenin olası kenar uzunluklarını (çarpan çiftlerini) bulalım.
- Kısa kenar 1 birim, uzun kenar 24 birim olabilir. \( (1 \times 24 = 24) \)
- Kısa kenar 2 birim, uzun kenar 12 birim olabilir. \( (2 \times 12 = 24) \)
- Kısa kenar 3 birim, uzun kenar 8 birim olabilir. \( (3 \times 8 = 24) \)
- Kısa kenar 4 birim, uzun kenar 6 birim olabilir. \( (4 \times 6 = 24) \)
- 👉 Adım 2: Her bir kenar uzunluğu çifti için çevre uzunluğunu hesaplayalım.
- Kenarlar (1, 24) ise: Çevre = \( 2 \times (1 + 24) = 2 \times 25 = 50 \) birim.
- Kenarlar (2, 12) ise: Çevre = \( 2 \times (2 + 12) = 2 \times 14 = 28 \) birim.
- Kenarlar (3, 8) ise: Çevre = \( 2 \times (3 + 8) = 2 \times 11 = 22 \) birim.
- Kenarlar (4, 6) ise: Çevre = \( 2 \times (4 + 6) = 2 \times 10 = 20 \) birim.
- ✅ Sonuç: Alanı 24 birimkare olan bir dikdörtgenin çevre uzunluğu 4 farklı değer alabilir: 50, 28, 22 ve 20 birim.
Soru 2:
📌 Bir dikdörtgenin çevre uzunluğu 20 birimdir. Kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, bu dikdörtgenin alanı kaç farklı değer alabilir? Alan değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Bir dikdörtgenin çevre uzunluğu, iki kısa kenar ile iki uzun kenarın toplamına eşittir. Formülü \( 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) \) şeklindedir.
Alan ise kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir.
Alan ise kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir.
- 👉 Adım 1: Çevre uzunluğu 20 birim ise, kısa kenar ile uzun kenarın toplamını bulalım.
- \( 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) = 20 \)
- \( \text{kısa kenar} + \text{uzun kenar} = 20 \div 2 = 10 \) birim.
- 👉 Adım 2: Toplamı 10 olan, doğal sayı kenar uzunlukları çiftlerini (kısa kenar ve uzun kenar) bulalım.
- (1, 9) ➡️ \( 1 + 9 = 10 \)
- (2, 8) ➡️ \( 2 + 8 = 10 \)
- (3, 7) ➡️ \( 3 + 7 = 10 \)
- (4, 6) ➡️ \( 4 + 6 = 10 \)
- (5, 5) ➡️ \( 5 + 5 = 10 \) (Bu bir kare dikdörtgenin özel halidir.)
- 👉 Adım 3: Her bir kenar uzunluğu çifti için alanı hesaplayalım.
- Kenarlar (1, 9) ise: Alan = \( 1 \times 9 = 9 \) birimkare.
- Kenarlar (2, 8) ise: Alan = \( 2 \times 8 = 16 \) birimkare.
- Kenarlar (3, 7) ise: Alan = \( 3 \times 7 = 21 \) birimkare.
- Kenarlar (4, 6) ise: Alan = \( 4 \times 6 = 24 \) birimkare.
- Kenarlar (5, 5) ise: Alan = \( 5 \times 5 = 25 \) birimkare.
- ✅ Sonuç: Çevre uzunluğu 20 birim olan bir dikdörtgenin alanı 5 farklı değer alabilir: 9, 16, 21, 24 ve 25 birimkare.
Soru 3:
Bir dikdörtgenin alanı 30 birimkaredir. Bu dikdörtgenin çevresi 26 birim ise, kenar uzunlukları doğal sayı olmak üzere, kısa kenarı ve uzun kenarı kaç birimdir?
Çözüm:
Bu soruda hem alan hem de çevre bilgisi verilmiştir. Kenar uzunluklarını bulmak için bu iki bilgiyi birlikte kullanmalıyız.
- 👉 Adım 1: Çevre bilgisinden yola çıkarak kenarların toplamını bulalım.
- Çevre = \( 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) \)
- \( 26 = 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) \)
- \( \text{kısa kenar} + \text{uzun kenar} = 26 \div 2 = 13 \) birim.
- 👉 Adım 2: Alan bilgisini kullanarak kenarların çarpımını biliyoruz.
- Alan = \( \text{kısa kenar} \times \text{uzun kenar} = 30 \) birimkare.
- 👉 Adım 3: Hangi iki doğal sayının toplamı 13 ve çarpımı 30'dur diye düşünelim.
- 30'un çarpanları: (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6).
- Bu çarpan çiftlerinden hangisinin toplamı 13 eder?
- \( 1 + 30 = 31 \) (Değil)
- \( 2 + 15 = 17 \) (Değil)
- \( 3 + 10 = 13 \) (Evet!)
- \( 5 + 6 = 11 \) (Değil)
- ✅ Sonuç: Dikdörtgenin kısa kenarı 3 birim ve uzun kenarı 10 birimdir.
Soru 4:
🏡 Ahmet'in bahçesi dikdörtgen şeklindedir ve kenar uzunlukları 5 metre ile 8 metredir. Ayşe'nin bahçesi de dikdörtgen şeklindedir ve çevresi Ahmet'in bahçesinin çevresiyle aynıdır. Ayşe'nin bahçesinin kenar uzunlukları ise 6 metre ve 7 metredir.
Buna göre, hangi bahçenin alanı daha büyüktür?
Buna göre, hangi bahçenin alanı daha büyüktür?
Çözüm:
Bu problemde iki farklı dikdörtgenin alanlarını ve çevrelerini karşılaştırmamız isteniyor.
- 👉 Adım 1: Ahmet'in bahçesinin çevre ve alanını hesaplayalım.
- Ahmet'in bahçesi: kısa kenar = 5 m, uzun kenar = 8 m.
- Çevre = \( 2 \times (5 + 8) = 2 \times 13 = 26 \) metre.
- Alan = \( 5 \times 8 = 40 \) metrekare.
- 👉 Adım 2: Ayşe'nin bahçesinin çevre ve alanını hesaplayalım.
- Ayşe'nin bahçesi: kısa kenar = 6 m, uzun kenar = 7 m.
- Çevre = \( 2 \times (6 + 7) = 2 \times 13 = 26 \) metre.
- Alan = \( 6 \times 7 = 42 \) metrekare.
- 👉 Adım 3: Bahçelerin alanlarını karşılaştıralım.
- Ahmet'in bahçesinin alanı = 40 metrekare.
- Ayşe'nin bahçesinin alanı = 42 metrekare.
- \( 42 > 40 \) olduğu için Ayşe'nin bahçesinin alanı daha büyüktür.
- ✅ Sonuç: Ayşe'nin bahçesinin alanı daha büyüktür. Görüldüğü gibi, çevreleri aynı olsa bile dikdörtgenlerin alanları farklı olabilir. Kenar uzunlukları birbirine daha yakın olan dikdörtgenin alanı daha büyük olur.
Soru 5:
🧑🌾 Bir çiftçi, 40 metre uzunluğundaki tel ile dikdörtgen şeklinde bir tarla etrafına çit çekmek istiyor. Çiftçi, tarlasının alanının en büyük olmasını istiyor. Kenar uzunlukları doğal sayı olmak üzere, çiftçinin çekeceği çitin kenar uzunlukları ne olmalıdır ve bu tarlanın alanı kaç metrekare olur?
Çözüm:
Çiftçi, 40 metre tel ile bir dikdörtgenin çevresini oluşturacaktır. Alanın en büyük olmasını istediği için kenar uzunluklarını buna göre belirlemeliyiz.
- 👉 Adım 1: Çevre uzunluğundan kenarların toplamını bulalım.
- Çevre = \( 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) = 40 \) metre.
- \( \text{kısa kenar} + \text{uzun kenar} = 40 \div 2 = 20 \) metre.
- 👉 Adım 2: Toplamı 20 olan doğal sayı kenar uzunlukları çiftlerini ve bu çiftlerin oluşturduğu alanları listeleyelim.
- (1, 19) ➡️ Alan = \( 1 \times 19 = 19 \) metrekare.
- (2, 18) ➡️ Alan = \( 2 \times 18 = 36 \) metrekare.
- (3, 17) ➡️ Alan = \( 3 \times 17 = 51 \) metrekare.
- (4, 16) ➡️ Alan = \( 4 \times 16 = 64 \) metrekare.
- (5, 15) ➡️ Alan = \( 5 \times 15 = 75 \) metrekare.
- (6, 14) ➡️ Alan = \( 6 \times 14 = 84 \) metrekare.
- (7, 13) ➡️ Alan = \( 7 \times 13 = 91 \) metrekare.
- (8, 12) ➡️ Alan = \( 8 \times 12 = 96 \) metrekare.
- (9, 11) ➡️ Alan = \( 9 \times 11 = 99 \) metrekare.
- (10, 10) ➡️ Alan = \( 10 \times 10 = 100 \) metrekare. (Bu bir karedir)
- 👉 Adım 3: En büyük alanı bulalım.
- Yukarıdaki listede en büyük alan 100 metrekaredir.
- Bu alan, kenar uzunlukları 10 metre ve 10 metre olduğunda elde edilmiştir.
- ✅ Sonuç: Çiftçi, tarlasının alanının en büyük olması için kenar uzunluklarını 10 metreye 10 metre seçmelidir. Bu durumda tarlanın alanı 100 metrekare olur. Unutmayın, çevresi sabit olan dikdörtgenler arasında, kenar uzunlukları birbirine en yakın olan (yani kare olan) dikdörtgenin alanı en büyüktür.
Soru 6:
📏 Bir dikdörtgenin alanı 48 birimkaredir. Kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğu en az kaç birim olabilir?
Çözüm:
Alanı belirli olan bir dikdörtgenin çevresinin en az olması için kenar uzunluklarının birbirine olabildiğince yakın olması gerekir.
- 👉 Adım 1: Alanı 48 birimkare olan dikdörtgenin olası doğal sayı kenar uzunluklarını (çarpan çiftlerini) bulalım.
- (1, 48) ➡️ \( 1 \times 48 = 48 \)
- (2, 24) ➡️ \( 2 \times 24 = 48 \)
- (3, 16) ➡️ \( 3 \times 16 = 48 \)
- (4, 12) ➡️ \( 4 \times 12 = 48 \)
- (6, 8) ➡️ \( 6 \times 8 = 48 \)
- 👉 Adım 2: Her bir kenar uzunluğu çifti için çevre uzunluğunu hesaplayalım.
- Kenarlar (1, 48) ise: Çevre = \( 2 \times (1 + 48) = 2 \times 49 = 98 \) birim.
- Kenarlar (2, 24) ise: Çevre = \( 2 \times (2 + 24) = 2 \times 26 = 52 \) birim.
- Kenarlar (3, 16) ise: Çevre = \( 2 \times (3 + 16) = 2 \times 19 = 38 \) birim.
- Kenarlar (4, 12) ise: Çevre = \( 2 \times (4 + 12) = 2 \times 16 = 32 \) birim.
- Kenarlar (6, 8) ise: Çevre = \( 2 \times (6 + 8) = 2 \times 14 = 28 \) birim.
- 👉 Adım 3: Hesaplanan çevre uzunlukları arasından en küçüğünü belirleyelim.
- Çevre değerleri: 98, 52, 38, 32, 28.
- En küçük çevre değeri 28 birimdir.
- ✅ Sonuç: Alanı 48 birimkare olan bir dikdörtgenin çevresi en az 28 birim olabilir. Bu durum, kenar uzunlukları 6 birim ve 8 birim olduğunda gerçekleşir. Kenarlar birbirine yaklaştıkça çevre küçülür.
Soru 7:
🖼️ Bir ressam, çevresi 34 birim olan dikdörtgen şeklinde bir tuvale resim yapacaktır. Tuvalin kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, tuvalin alanı en fazla kaç birimkare olabilir?
Çözüm:
Çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en fazla olması için kenar uzunluklarının birbirine olabildiğince yakın olması gerekir.
- 👉 Adım 1: Çevre uzunluğundan kenarların toplamını bulalım.
- Çevre = \( 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) = 34 \) birim.
- \( \text{kısa kenar} + \text{uzun kenar} = 34 \div 2 = 17 \) birim.
- 👉 Adım 2: Toplamı 17 olan doğal sayı kenar uzunlukları çiftlerini ve bu çiftlerin oluşturduğu alanları listeleyelim.
- (1, 16) ➡️ Alan = \( 1 \times 16 = 16 \) birimkare.
- (2, 15) ➡️ Alan = \( 2 \times 15 = 30 \) birimkare.
- (3, 14) ➡️ Alan = \( 3 \times 14 = 42 \) birimkare.
- (4, 13) ➡️ Alan = \( 4 \times 13 = 52 \) birimkare.
- (5, 12) ➡️ Alan = \( 5 \times 12 = 60 \) birimkare.
- (6, 11) ➡️ Alan = \( 6 \times 11 = 66 \) birimkare.
- (7, 10) ➡️ Alan = \( 7 \times 10 = 70 \) birimkare.
- (8, 9) ➡️ Alan = \( 8 \times 9 = 72 \) birimkare.
- 👉 Adım 3: Hesaplanan alan değerleri arasından en büyüğünü belirleyelim.
- Alan değerleri: 16, 30, 42, 52, 60, 66, 70, 72.
- En büyük alan değeri 72 birimkaredir.
- ✅ Sonuç: Çevresi 34 birim olan bir dikdörtgenin alanı en fazla 72 birimkare olabilir. Bu durum, kenar uzunlukları 8 birim ve 9 birim olduğunda gerçekleşir. Kenarlar birbirine yaklaştıkça alan büyür.
Soru 8:
📦 Bir koli üreticisi, taban alanı 60 santimetrekare olan dikdörtgen şeklinde koliler tasarlıyor. Koli tabanının kenar uzunlukları doğal sayı olmalıdır. Üretici, koliye sarılacak bant miktarını (çevre uzunluğunu) en uzun tutmak istiyor. Bu durumda koli tabanının kenar uzunlukları ne olmalıdır ve bu tabanın çevresi kaç santimetre olur?
Çözüm:
Üretici, alanı 60 santimetrekare olan bir dikdörtgenin çevresini en uzun yapmak istiyor. Alanı belirli olan bir dikdörtgenin çevresinin en uzun olması için kenar uzunluklarının birbirinden olabildiğince uzak olması (yani bir kenarın çok kısa, diğerinin çok uzun olması) gerekir.
- 👉 Adım 1: Alanı 60 olan dikdörtgenin olası doğal sayı kenar uzunluklarını (çarpan çiftlerini) bulalım.
- (1, 60) ➡️ \( 1 \times 60 = 60 \)
- (2, 30) ➡️ \( 2 \times 30 = 60 \)
- (3, 20) ➡️ \( 3 \times 20 = 60 \)
- (4, 15) ➡️ \( 4 \times 15 = 60 \)
- (5, 12) ➡️ \( 5 \times 12 = 60 \)
- (6, 10) ➡️ \( 6 \times 10 = 60 \)
- 👉 Adım 2: Her bir kenar uzunluğu çifti için çevre uzunluğunu hesaplayalım.
- Kenarlar (1, 60) ise: Çevre = \( 2 \times (1 + 60) = 2 \times 61 = 122 \) cm.
- Kenarlar (2, 30) ise: Çevre = \( 2 \times (2 + 30) = 2 \times 32 = 64 \) cm.
- Kenarlar (3, 20) ise: Çevre = \( 2 \times (3 + 20) = 2 \times 23 = 46 \) cm.
- Kenarlar (4, 15) ise: Çevre = \( 2 \times (4 + 15) = 2 \times 19 = 38 \) cm.
- Kenarlar (5, 12) ise: Çevre = \( 2 \times (5 + 12) = 2 \times 17 = 34 \) cm.
- Kenarlar (6, 10) ise: Çevre = \( 2 \times (6 + 10) = 2 \times 16 = 32 \) cm.
- 👉 Adım 3: Hesaplanan çevre uzunlukları arasından en büyüğünü belirleyelim.
- Çevre değerleri: 122, 64, 46, 38, 34, 32.
- En büyük çevre değeri 122 santimetredir.
- ✅ Sonuç: Koli üreticisi, bant miktarını en uzun tutmak için koli tabanının kenar uzunluklarını 1 santimetreye 60 santimetre seçmelidir. Bu durumda koli tabanının çevresi 122 santimetre olur. Alanı sabit olan bir dikdörtgenin çevresi, kenar uzunlukları birbirinden en uzak olduğunda (yani daha ince ve uzun olduğunda) en büyük olur.
Soru 9:
🌳 Bir bahçenin çevresi 24 metredir. Bu bahçenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, bahçenin alanı en az kaç metrekare olabilir?
Çözüm:
Çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en az olması için kenar uzunluklarının birbirinden olabildiğince uzak olması gerekir.
- 👉 Adım 1: Çevre uzunluğundan kenarların toplamını bulalım.
- Çevre = \( 2 \times (\text{kısa kenar} + \text{uzun kenar}) = 24 \) metre.
- \( \text{kısa kenar} + \text{uzun kenar} = 24 \div 2 = 12 \) metre.
- 👉 Adım 2: Toplamı 12 olan doğal sayı kenar uzunlukları çiftlerini ve bu çiftlerin oluşturduğu alanları listeleyelim.
- (1, 11) ➡️ Alan = \( 1 \times 11 = 11 \) metrekare.
- (2, 10) ➡️ Alan = \( 2 \times 10 = 20 \) metrekare.
- (3, 9) ➡️ Alan = \( 3 \times 9 = 27 \) metrekare.
- (4, 8) ➡️ Alan = \( 4 \times 8 = 32 \) metrekare.
- (5, 7) ➡️ Alan = \( 5 \times 7 = 35 \) metrekare.
- (6, 6) ➡️ Alan = \( 6 \times 6 = 36 \) metrekare.
- 👉 Adım 3: Hesaplanan alan değerleri arasından en küçüğünü belirleyelim.
- Alan değerleri: 11, 20, 27, 32, 35, 36.
- En küçük alan değeri 11 metrekaredir.
- ✅ Sonuç: Çevresi 24 metre olan bir bahçenin alanı en az 11 metrekare olabilir. Bu durum, kenar uzunlukları 1 metre ve 11 metre olduğunda gerçekleşir. Kenarlar birbirinden uzaklaştıkça (yani dikdörtgen daha ince ve uzun hale geldikçe) alanı küçülür.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.cepokul.com/sinav/5-sinif-matematik-kenar-uzunluklari-dogal-sayi-olan-bir-dikdortgenin-alaninin-olcusu-verildiginde-cevre-uzunlugu-verildiginde-alanini-yorumlayabilme/sorular