2. dönem Konu Özeti

Kesirlerle İşlemler 🔢

6. sınıf matematik 2. dönem konularından olan kesirlerle işlemler, temel matematik becerilerinden biridir. Bu bölümde kesirleri toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini öğreneceğiz.

1. Kesirleri Sadeleştirme ve Genişletme

Bir kesrin değerini değiştirmeden payını ve paydasını aynı sayıya bölerek veya çarparak kesri sadeleştirebilir veya genişletebiliriz.

• Sadeleştirme: Pay ve paydayı en büyük ortak bölenlerine (EBOB) bölme işlemidir.
• Genişletme: Pay ve paydayı aynı bir sayma sayısı ile çarpma işlemidir.

Örnek:

• \( \frac{12}{18} \) kesrini sadeleştirelim. 12 ve 18'in EBOB'u 6'dır. \( \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3} \).
• \( \frac{3}{4} \) kesrini paydası 12 olacak şekilde genişletelim. \( \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \).

2. Kesirleri Karşılaştırma

Kesirleri karşılaştırırken paydaları eşitleyerek veya paydaları eşit değilse çapraz çarpım yaparak sonuca ulaşabiliriz.

• Paydaları eşit kesirlerde payı büyük olan daha büyüktür.
• Paydaları eşit olmayan kesirlerde, paydaları eşitleyerek karşılaştırma yaparız.
• Çapraz çarpım yönteminde, birinci kesrin payı ile ikinci kesrin paydasının çarpımı, ikinci kesrin payı ile birinci kesrin paydasının çarpımından büyükse birinci kesir daha büyüktür.

Örnek:

• \( \frac{5}{7} \) ve \( \frac{3}{7} \) kesirlerini karşılaştıralım. Paydaları eşit olduğu için \( \frac{5}{7} > \frac{3}{7} \).
• \( \frac{2}{3} \) ve \( \frac{3}{5} \) kesirlerini karşılaştıralım. Paydaları eşitleyelim: \( \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15} \) ve \( \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15} \). Böylece \( \frac{10}{15} > \frac{9}{15} \) yani \( \frac{2}{3} > \frac{3}{5} \).

3. Kesirleri Toplama ve Çıkarma

Kesirleri toplama veya çıkarma işlemi yaparken paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşitse paylar toplanır veya çıkarılır, payda aynen kalır.

• Paydalar eşit değilse, önce paydalar eşitlenir, sonra toplama veya çıkarma işlemi yapılır.

Örnek:

• \( \frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3+4}{8} = \frac{7}{8} \)
• \( \frac{7}{10} - \frac{2}{10} = \frac{7-2}{10} = \frac{5}{10} \) (Sadeleştirilmiş hali \( \frac{1}{2} \))
• \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \). Paydaları eşitleyelim: \( \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \).

4. Kesirleri Çarpma

Kesirleri çarparken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır.

• Tam sayılarla kesir çarpılırken tam sayı pay ile çarpılır.

Örnek:

• \( \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{2 \times 3}{5 \times 4} = \frac{6}{20} \) (Sadeleştirilmiş hali \( \frac{3}{10} \))
• \( 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{1} \times \frac{1}{4} = \frac{3 \times 1}{1 \times 4} = \frac{3}{4} \)

5. Kesirleri Bölme

Birinci kesir aynen kalır, ikinci kesir ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.

Örnek:

• \( \frac{3}{7} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{7 \times 2} = \frac{15}{14} \)
• \( 4 \div \frac{1}{2} = \frac{4}{1} \div \frac{1}{2} = \frac{4}{1} \times \frac{2}{1} = \frac{4 \times 2}{1 \times 1} = 8 \)

Ondalık Gösterimler Decimal Numbers 🧮

Ondalık gösterimler, paydası 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetleri olan kesirlerin farklı bir yazım biçimidir. Virgül kullanılarak gösterilir.

1. Kesirleri Ondalık Gösterime Çevirme

Paydası 10'un kuvvetleri olan kesirler doğrudan ondalık gösterime çevrilebilir. Paydası 10'un kuvveti olmayan kesirler ise, payda 10'un kuvveti olacak şekilde genişletilerek ondalık gösterime çevrilir.

Örnek:

• \( \frac{7}{10} = 0.7 \)
• \( \frac{23}{100} = 0.23 \)
• \( \frac{3}{4} \). Paydayı 100 yapalım: \( \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0.75 \)

2. Ondalık Gösterimleri Kesre Çevirme

Ondalık gösterimdeki sayılar paya, virgülden sonraki basamak sayısı kadar paydada 10'un kuvveti yazılarak kesre çevrilir.

Örnek:

• \( 0.5 = \frac{5}{10} \) (Sadeleştirilmiş hali \( \frac{1}{2} \))
• \( 1.25 = \frac{125}{100} \) (Sadeleştirilmiş hali \( \frac{5}{4} \))

3. Ondalık Gösterimleri Toplama ve Çıkarma

Ondalık gösterimleri toplarken veya çıkarırken, virgüller alt alta gelecek şekilde sayılar yazılır ve işlem yapılır.

Örnek:

• \( 3.45 + 1.2 = 4.65 \)
• \( 7.8 - 2.35 = 5.45 \)

4. Ondalık Gösterimleri Çarpma

Ondalık gösterimleri çarpmadan önce, virgül yokmuş gibi normal sayılar çarpılır. Elde edilen sonucun virgülden sonraki basamak sayısı, çarpılan sayılardaki virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadardır.

Örnek:

• \( 2.3 \times 1.4 \). \( 23 \times 14 = 322 \). İki sayıda toplam 2 basamak olduğu için sonuç \( 3.22 \) olur.

5. Ondalık Gösterimleri Bölme

Bölme işleminde bölen sayıyı tam sayı yapmak için virgülü sağa kaydırırız. Bölen sayısındaki virgülü kaydırdığımız basamak sayısı kadar, bölünen sayısındaki virgülü de sağa kaydırırız. Sonra bölme işlemi yapılır.

Örnek:

• \( 7.5 \div 0.5 \). Böleni tam sayı yapmak için virgülü 1 basamak sağa kaydırırız: \( 75 \div 5 = 15 \).
• \( 12.3 \div 0.03 \). Böleni tam sayı yapmak için virgülü 2 basamak sağa kaydırırız: \( 1230 \div 3 = 410 \).

Yüzdeler % Percentage 💯

Yüzde, bir bütünün 100 eşit parçaya bölündüğünü ve bu parçalardan kaç tanesinin alındığını gösteren bir orandır. Yüzde işareti \( % \) ile gösterilir.

1. Yüzdeyi Kesir ve Ondalık Gösterime Çevirme

Herhangi bir yüzde, paydası 100 olan bir kesir olarak yazılabilir. Bu kesir sadeleştirilebilir veya ondalık gösterime çevrilebilir.

Örnek:

• \( 25% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0.25 \)
• \( 70% = \frac{70}{100} = \frac{7}{10} = 0.7 \)

2. Kesir ve Ondalık Gösterimleri Yüzdeye Çevirme

Kesirleri yüzdeye çevirmek için önce kesri, paydası 100 olacak şekilde genişletiriz. Ondalık gösterimleri yüzdeye çevirmek için ise virgülü 2 basamak sağa kaydırırız.

Örnek:

• \( \frac{3}{5} \). Paydayı 100 yapmak için 20 ile çarparız: \( \frac{3 \times 20}{5 \times 20} = \frac{60}{100} = 60% \).
• \( 0.45 \). Virgülü 2 basamak sağa kaydırırız: \( 45% \).

3. Bir Sayının Yüzdesini Hesaplama

Bir sayının belirli bir yüzdesini bulmak için, sayıyı yüzdeye karşılık gelen kesir veya ondalık gösterimle çarparız.

Örnek:

• 200 sayısının %30'unu bulalım. \( 200 \times \frac{30}{100} = 200 \times 0.30 = 60 \).

4. Yüzde Problemleri

Yüzde problemleri, bir bütünün tamamını, bir parçayı veya yüzdeyi bulmayı gerektirebilir. Problemi dikkatlice okuyarak hangi bilginin verildiğini ve neyin istendiğini belirlemek önemlidir.

• Tamamı Bulma: Bir parçası ve yüzdesi bilinen bütünün tamamını bulmak için, parçayı yüzdeye karşılık gelen kesre böleriz.
• Parçayı Bulma: Bütün ve yüzdesi bilinen parçayı bulmak için, bütün ile yüzdeye karşılık gelen kesri çarparız.
• Yüzdeyi Bulma: Bütün ve parça bilindiğinde, parçanın bütüne oranını bularak yüzdeye çeviririz.

Örnek:

• Bir kitabın %40'ı 80 sayfa ise, kitabın tamamı kaç sayfadır? \( 80 \div \frac{40}{100} = 80 \times \frac{100}{40} = 80 \times \frac{5}{2} = 200 \) sayfa.
• 400 TL'lik bir ürünün %15 indirimli fiyatı nedir? \( 400 \times \frac{15}{100} = 400 \times 0.15 = 60 \) TL indirim. İndirimli fiyat \( 400 - 60 = 340 \) TL olur.