💡 6. Sınıf Matematik: Asal sayilarin ortak bolenleri Çözümlü Sorular
1
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Soru: \( 2 \) ve \( 5 \) sayılarının ortak bölenlerini bulunuz. Bu sayıların neden sadece bir tane ortak böleni olduğunu açıklayınız. 💡
Çözüm ve Açıklama
Adım adım çözümleyelim:
1. Adım: \( 2 \) sayısının bölenlerini listeleyelim. \( 2 \) bir asal sayıdır, bu yüzden bölenleri sadece \( 1 \) ve kendisidir: \( 1, 2 \)
2. Adım: \( 5 \) sayısının bölenlerini listeleyelim. \( 5 \) de bir asal sayıdır, bu yüzden bölenleri sadece \( 1 \) ve kendisidir: \( 1, 5 \)
3. Adım: Her iki listede de ortak olan sayıları belirleyelim.
Ortak bölen: 1
✅ Açıklama: Farklı asal sayıların \( 1 \) dışında hiçbir ortak böleni yoktur. Çünkü asal sayılar sadece \( 1 \)'e ve kendisine bölünebilir.
2
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Soru: \( 11 \) ve \( 13 \) sayılarının ortak bölenlerini bulunuz. Bu iki sayının ortak bölenlerinin toplamı kaçtır? 📌
Çözüm ve Açıklama
Çözüm aşamaları:
\( 11 \) sayısının bölenleri: \( 1, 11 \)
\( 13 \) sayısının bölenleri: \( 1, 13 \)
Bu iki sayının tek bir ortak böleni vardır, o da \( 1 \) sayısıdır.
Sonuç: Ortak bölenlerin toplamı \( 1 \) olur.
3
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Soru: \( 7 \) ve \( 21 \) sayılarının ortak bölenlerini bulunuz. Bu sayılardan hangisi asal sayıdır? 🧐
Çözüm ve Açıklama
Verilen sayıları inceleyelim:
7 sayısının bölenleri: \( 1, 7 \) (7 bir asal sayıdır).
21 sayısının bölenleri: \( 1, 3, 7, 21 \) (21 asal değildir çünkü \( 3 \times 7 = 21 \) eder).
Ortak Bölenler: Her iki listede de bulunan sayılar \( 1 \) ve \( 7 \) sayılarıdır.
👉 Bu örnekte görüldüğü gibi, bir asal sayı ile bir bileşik sayının birden fazla ortak böleni olabilir (eğer bileşik sayı o asal sayının katı ise).
4
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Soru: İki basamaklı en küçük asal sayı ile \( 22 \) sayısının ortak bölenlerini bulunuz. 🚀
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle sayıları belirleyelim:
İki basamaklı en küçük asal sayı: \( 11 \)
Diğer sayımız: \( 22 \)
\( 11 \) sayısının bölenleri: \( 1, 11 \)
\( 22 \) sayısının bölenleri: \( 1, 2, 11, 22 \)
✅ Ortak Bölenler: \( 1 \) ve \( 11 \)
5
Çözümlü Soru
Zor Seviye
Soru: \( 17 \) ve \( 51 \) sayılarının ortak bölenlerini listeleyiniz. \( 51 \) sayısının neden asal sayı olmadığını açıklayınız. ⚠️
Çözüm ve Açıklama
Dikkatli inceleyelim:
\( 17 \) bir asal sayıdır. Bölenleri: \( 1, 17 \)
\( 51 \) sayısı ilk bakışta asal gibi görünebilir ancak rakamları toplamı \( 5 + 1 = 6 \) olduğu için \( 3 \)'e tam bölünür.
\( 51 \div 3 = 17 \) olduğu için \( 51 \) sayısının bölenleri: \( 1, 3, 17, 51 \)
Ortak Bölenler: \( 1 \) ve \( 17 \)
💡 Not: Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için \( 2, 3, 5, 7 \) gibi küçük asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol etmeliyiz.
6
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Soru: Bir çiçekçi elindeki \( 19 \) adet gülü ve \( 23 \) adet papatyayı her vazoda eşit sayıda çiçek olacak şekilde (güller kendi içinde, papatyalar kendi içinde) vazolara ayırmak istiyor. Her iki çiçek türü için de kullanılabilecek ortak vazo kapasitesi (çiçek sayısı) kaçtır? 🌸
Çözüm ve Açıklama
Günlük hayat problemimizi matematiksel dile çevirelim:
Çiçekçinin her iki türü de aynı miktarda gruplayabilmesi için ortak bölenleri bulması gerekir.
\( 19 \) ve \( 23 \) sayılarının tek ortak böleni \( 1 \)'dir.
✅ Cevap: Çiçekçi her vazoya sadece \( 1 \) adet çiçek koyarak bu işlemi yapabilir.
7
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Soru: Bir dikdörtgenin alanı \( 26 \) santimetrekaredir. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları birer tam sayıdır ve kenarlarından biri asal sayıdır. Diğer kenar uzunluğu da bir çift sayı olduğuna göre, bu iki kenar uzunluğunun ortak bölenleri nelerdir? 📐
Çözüm ve Açıklama
Dikdörtgenin alanı \( Alan = a \times b \) formülü ile bulunur.
Çarpımları \( 26 \) olan sayı çiftleri: \( 1 \times 26 \) ve \( 2 \times 13 \)
Soruda bir kenarın asal sayı, diğerinin çift sayı olduğu söylenmiş.
\( 13 \) asal sayıdır, \( 2 \) ise çift sayıdır. O halde kenarlarımız \( 2 \) ve \( 13 \)'tür.
\( 2 \) sayısının bölenleri: \( 1, 2 \)
\( 13 \) sayısının bölenleri: \( 1, 13 \)
✅ Ortak Bölen: Sadece \( 1 \)'dir.
8
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Soru: İki farklı kumbaradan birincisinde \( 31 \) TL, ikincisinde \( 37 \) TL para vardır. Bu paralar hiç artmayacak şekilde en büyük hangi ortak değerli madeni paralarla (TL cinsinden tam sayı) gruplanabilir? 💰
Çözüm ve Açıklama
Paraları gruplara ayırmak, bölenlerini bulmak demektir:
\( 31 \) bir asal sayıdır. Bölenleri: \( 1, 31 \)
\( 37 \) bir asal sayıdır. Bölenleri: \( 1, 37 \)
İki sayının ortak bölenlerini karşılaştırdığımızda sadece \( 1 \) sayısını görürüz.
Bu durumda her iki kumbaradaki para sadece \( 1 \) TL'lik birimlerle ortak olarak gruplanabilir.
Sonuç: Ortak bölen sadece \( 1 \)'dir. Farklı iki asal sayının \( 1 \)'den başka ortak böleni olamaz. 🌟
6. Sınıf Matematik: Asal sayilarin ortak bolenleri Çözümlü Sorular
Soru 1:
Soru: \( 2 \) ve \( 5 \) sayılarının ortak bölenlerini bulunuz. Bu sayıların neden sadece bir tane ortak böleni olduğunu açıklayınız. 💡
Çözüm:
Adım adım çözümleyelim:
1. Adım: \( 2 \) sayısının bölenlerini listeleyelim. \( 2 \) bir asal sayıdır, bu yüzden bölenleri sadece \( 1 \) ve kendisidir: \( 1, 2 \)
2. Adım: \( 5 \) sayısının bölenlerini listeleyelim. \( 5 \) de bir asal sayıdır, bu yüzden bölenleri sadece \( 1 \) ve kendisidir: \( 1, 5 \)
3. Adım: Her iki listede de ortak olan sayıları belirleyelim.
Ortak bölen: 1
✅ Açıklama: Farklı asal sayıların \( 1 \) dışında hiçbir ortak böleni yoktur. Çünkü asal sayılar sadece \( 1 \)'e ve kendisine bölünebilir.
Soru 2:
Soru: \( 11 \) ve \( 13 \) sayılarının ortak bölenlerini bulunuz. Bu iki sayının ortak bölenlerinin toplamı kaçtır? 📌
Çözüm:
Çözüm aşamaları:
\( 11 \) sayısının bölenleri: \( 1, 11 \)
\( 13 \) sayısının bölenleri: \( 1, 13 \)
Bu iki sayının tek bir ortak böleni vardır, o da \( 1 \) sayısıdır.
Sonuç: Ortak bölenlerin toplamı \( 1 \) olur.
Soru 3:
Soru: \( 7 \) ve \( 21 \) sayılarının ortak bölenlerini bulunuz. Bu sayılardan hangisi asal sayıdır? 🧐
Çözüm:
Verilen sayıları inceleyelim:
7 sayısının bölenleri: \( 1, 7 \) (7 bir asal sayıdır).
21 sayısının bölenleri: \( 1, 3, 7, 21 \) (21 asal değildir çünkü \( 3 \times 7 = 21 \) eder).
Ortak Bölenler: Her iki listede de bulunan sayılar \( 1 \) ve \( 7 \) sayılarıdır.
👉 Bu örnekte görüldüğü gibi, bir asal sayı ile bir bileşik sayının birden fazla ortak böleni olabilir (eğer bileşik sayı o asal sayının katı ise).
Soru 4:
Soru: İki basamaklı en küçük asal sayı ile \( 22 \) sayısının ortak bölenlerini bulunuz. 🚀
Çözüm:
Öncelikle sayıları belirleyelim:
İki basamaklı en küçük asal sayı: \( 11 \)
Diğer sayımız: \( 22 \)
\( 11 \) sayısının bölenleri: \( 1, 11 \)
\( 22 \) sayısının bölenleri: \( 1, 2, 11, 22 \)
✅ Ortak Bölenler: \( 1 \) ve \( 11 \)
Soru 5:
Soru: \( 17 \) ve \( 51 \) sayılarının ortak bölenlerini listeleyiniz. \( 51 \) sayısının neden asal sayı olmadığını açıklayınız. ⚠️
Çözüm:
Dikkatli inceleyelim:
\( 17 \) bir asal sayıdır. Bölenleri: \( 1, 17 \)
\( 51 \) sayısı ilk bakışta asal gibi görünebilir ancak rakamları toplamı \( 5 + 1 = 6 \) olduğu için \( 3 \)'e tam bölünür.
\( 51 \div 3 = 17 \) olduğu için \( 51 \) sayısının bölenleri: \( 1, 3, 17, 51 \)
Ortak Bölenler: \( 1 \) ve \( 17 \)
💡 Not: Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için \( 2, 3, 5, 7 \) gibi küçük asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol etmeliyiz.
Soru 6:
Soru: Bir çiçekçi elindeki \( 19 \) adet gülü ve \( 23 \) adet papatyayı her vazoda eşit sayıda çiçek olacak şekilde (güller kendi içinde, papatyalar kendi içinde) vazolara ayırmak istiyor. Her iki çiçek türü için de kullanılabilecek ortak vazo kapasitesi (çiçek sayısı) kaçtır? 🌸
Çözüm:
Günlük hayat problemimizi matematiksel dile çevirelim:
Çiçekçinin her iki türü de aynı miktarda gruplayabilmesi için ortak bölenleri bulması gerekir.
\( 19 \) ve \( 23 \) sayılarının tek ortak böleni \( 1 \)'dir.
✅ Cevap: Çiçekçi her vazoya sadece \( 1 \) adet çiçek koyarak bu işlemi yapabilir.
Soru 7:
Soru: Bir dikdörtgenin alanı \( 26 \) santimetrekaredir. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları birer tam sayıdır ve kenarlarından biri asal sayıdır. Diğer kenar uzunluğu da bir çift sayı olduğuna göre, bu iki kenar uzunluğunun ortak bölenleri nelerdir? 📐
Çözüm:
Dikdörtgenin alanı \( Alan = a \times b \) formülü ile bulunur.
Çarpımları \( 26 \) olan sayı çiftleri: \( 1 \times 26 \) ve \( 2 \times 13 \)
Soruda bir kenarın asal sayı, diğerinin çift sayı olduğu söylenmiş.
\( 13 \) asal sayıdır, \( 2 \) ise çift sayıdır. O halde kenarlarımız \( 2 \) ve \( 13 \)'tür.
\( 2 \) sayısının bölenleri: \( 1, 2 \)
\( 13 \) sayısının bölenleri: \( 1, 13 \)
✅ Ortak Bölen: Sadece \( 1 \)'dir.
Soru 8:
Soru: İki farklı kumbaradan birincisinde \( 31 \) TL, ikincisinde \( 37 \) TL para vardır. Bu paralar hiç artmayacak şekilde en büyük hangi ortak değerli madeni paralarla (TL cinsinden tam sayı) gruplanabilir? 💰
Çözüm:
Paraları gruplara ayırmak, bölenlerini bulmak demektir:
\( 31 \) bir asal sayıdır. Bölenleri: \( 1, 31 \)
\( 37 \) bir asal sayıdır. Bölenleri: \( 1, 37 \)
İki sayının ortak bölenlerini karşılaştırdığımızda sadece \( 1 \) sayısını görürüz.
Bu durumda her iki kumbaradaki para sadece \( 1 \) TL'lik birimlerle ortak olarak gruplanabilir.
Sonuç: Ortak bölen sadece \( 1 \)'dir. Farklı iki asal sayının \( 1 \)'den başka ortak böleni olamaz. 🌟