Çarpanlar ve katları Konu Özeti

Bir doğal sayıyı kalansız bölebilen pozitif tam sayılara o sayının çarpanları (bölenleri) denir. Bir doğal sayının çarpanı ile böleni tamamen aynı kavramı ifade eder. Bir sayının belirli katları ise o sayının pozitif tam sayılarla çarpılmasıyla elde edilir.

🎯 Doğal Sayıların Çarpanları ve Katları

Her pozitif doğal sayı en az iki çarpana sahiptir (1 sayısı hariç). Bir doğal sayının çarpanlarını bulmak için iki sayının çarpımı şeklinde yazma yönteminden yararlanılır.

Örnek: 24 sayısının pozitif çarpanlarını bulalım.
\( 1 \times 24 = 24 \)
\( 2 \times 12 = 24 \)
\( 3 \times 8 = 24 \)
\( 4 \times 6 = 24 \)
24 sayısının çarpanları (bölenleri): 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür. Toplam 8 tanedir.

Bir sayının katları ise o sayının sırasıyla 1, 2, 3, 4, ... gibi doğal sayılarla çarpılmasıyla bulunur.

• 6 sayısının katları: \( 6, 12, 18, 24, 30, 36, \dots \)
• Bir doğal sayının katları sonsuza kadar devam eder.

⚡ Kalansız Bölünebilme Kuralları

Büyük sayıların belirli sayılara kalansız bölünüp bölünmediğini pratik yoldan anlamak için bölünebilme kuralları kullanılır.

Bölen	Kural	Örnek
2	Birler basamağı çift rakam (\(0, 2, 4, 6, 8\)) olan sayılar kalansız bölünür.	574, 1890
3	Basamaklarındaki rakamların toplamı 3 veya 3'ün katı olan sayılar kalansız bölünür.	\(453 \rightarrow 4+5+3=12\)
4	Son iki basamağı \(00\) veya 4'ün katı olan sayılar kalansız bölünür.	316, 2500
5	Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar kalansız bölünür.	785, 1420
6	Bir sayı hem 2'ye hem de 3'e kalansız bölünebiliyorsa 6'ya da kalansız bölünür.	\(432\) (Çift ve \(4+3+2=9\))
9	Basamaklarındaki rakamların toplamı 9 veya 9'un katı olan sayılar kalansız bölünür.	\(819 \rightarrow 8+1+9=18\)
10	Birler basamağı 0 olan sayılar kalansız bölünür.	430, 9500

🔍 Asal Sayılar

Sadece 1'e ve kendisine kalansız bölünebilen 1'den büyük doğal sayılara asal sayılar denir.

• En küçük asal sayı 2'dir.
• 2 sayısı hariç hiçbir çift sayı asal değildir. 2, tek çift asal sayıdır.
• 1 asal sayı değildir; çünkü yalnızca tek bir pozitif böleni vardır.
• 1 ile 50 arasındaki asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

🌳 Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları

Bir sayının çarpanları içerisinden asal olanlarına asal çarpanlar denir. Bir doğal sayının asal çarpanlarını belirlemek için iki temel yöntem kullanılır:

1. Çarpan Ağacı Yöntemi

Sayı en tepeden başlanarak iki sayının çarpımı şeklinde dallara ayrılır. Asal sayıya ulaşılan dal kapatılır, diğer dal asal sayıya ulaşana kadar parçalanmaya devam eder.

36 sayısı için:

• \( 36 = 2 \times 18 \)
• \( 18 = 2 \times 9 \)
• \( 9 = 3 \times 3 \)

Ulaşılan asal sayılar: 2 ve 3. Buradan üslü gösterim: \( 36 = 2^2 \times 3^2 \) olarak yazılır. 36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.

2. Asal Çarpanlar Algoritması (Bölen Listesi)

Sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak sırasıyla asal sayılara bölünür. Bölüm 1 olana kadar işleme devam edilir.

Örnek: 60 sayısının asal çarpanlarını bulalım.
60 sayısı 2'ye bölünür: Bölüm 30.
30 sayısı 2'ye bölünür: Bölüm 15.
15 sayısı 3'e bölünür: Bölüm 5.
5 sayısı 5'e bölünür: Bölüm 1.
Bölme işlemlerinde kullanılan asal sayılar: 2, 2, 3, 5.
Üslü ifade olarak yazımı: \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
60 sayısının asal çarpanları: 2, 3 ve 5'tir.

🤝 Ortak Bölenler ve Ortak Katlar

Ortak Bölenler

İki veya daha fazla doğal sayının çarpanlarından aynı olanlarına bu sayıların ortak bölenleri denir.

Örnek: 18 ve 24 sayılarının ortak bölenlerini belirleyelim.
18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Her iki grupta da yer alan sayılar: 1, 2, 3 ve 6'dır.
Bu sayıların ortak bölenlerinin en büyüğü 6'dır.

Ortak Katlar

İki veya daha fazla doğal sayının katları alındığında her iki sayıda da bulunan ortak sayılara ortak katlar denir.

Örnek: 4 ve 6 sayılarının 50'den küçük ortak katlarını belirleyelim.
4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ...
6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...
4 ve 6 sayılarının ortak katları: 12, 24, 36, 48, ... şeklinde devam eder.
En küçük ortak katları 12'dir ve diğer tüm ortak katlar 12'nin katlarıdır.