💡 6. Sınıf Matematik: Çarpanlar ve katları Çözümlü Sorular

💡 Çözüm:
Bir doğal sayının çarpanlarını bulmak için, çarpımları o sayıyı veren tüm doğal sayı çiftlerini belirleriz. Bu yöntem "gökkuşağı yöntemi" olarak da bilinir.

👉 Çarpım Çiftlerini Bulalım:

• \( 1 \times 24 = 24 \)
• \( 2 \times 12 = 24 \)
• \( 3 \times 8 = 24 \)
• \( 4 \times 6 = 24 \)

Bu işlemlerden sonra başka çarpan çifti kalmamıştır (çünkü bir sonraki sayı olan \( 5 \) sayısı \( 24 \)'ü kalansız bölmez, \( 6 \) ise zaten listemizde vardır).

✅ Çarpanların Sıralanışı:
\( 24 \) sayısının çarpanları küçükten büyüğe doğru şu şekildedir:
\( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \)

Toplamda \( 8 \) adet doğal sayı çarpanı vardır.

💡 Çözüm:
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için en küçük asal sayı olan \( 2 \)'den başlayarak sırasıyla bölme işlemi yaparız.

👉 Adım Adım Bölme İşlemi:

• \( 60 \div 2 = 30 \)
• \( 30 \div 2 = 15 \)
• \( 15 \div 3 = 5 \) (15 sayısı 2'ye bölünmediği için bir sonraki asal sayı olan 3'e geçtik)
• \( 5 \div 5 = 1 \) (5 sayısı 3'e bölünmediği için bir sonraki asal sayı olan 5'e geçtik)

Bölme işlemi sonucunda \( 1 \) sayısına ulaştığımızda işlemimiz tamamlanır.

✅ Asal Çarpanlar ve Üslü Gösterim:
\( 60 \) sayısının asal çarpanları \( 2, 3 \) ve \( 5 \) sayılarıdır.
Bu sayıların çarpımı şeklinde yazılışı:
\[ 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \]
Üslü ifade olarak gösterimi ise:
\[ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \]

💡 Çözüm:
Bu problemde her iki kumaşı da eşit uzunlukta parçalara ayırmamız istendiği için \( 18 \) ve \( 24 \) sayılarının ortak bölenlerini (çarpanlarını) bulmalıyız.

👉 1. Adım: 18 sayısının çarpanlarını bulalım:
\( 1, 2, 3, 6, 9, 18 \)

👉 2. Adım: 24 sayısının çarpanlarını bulalım:
\( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \)

👉 3. Adım: Ortak çarpanları belirleyelim:
Her iki listede de ortak olan sayılar:
\( 1, 2, 3, 6 \)

✅ Sonuç:
Kumaşlar eşit uzunlukta parçalara bölüneceği için parça uzunlukları \( 1 \), \( 2 \), \( 3 \) veya \( 6 \) metre olabilir. Bizden en büyük parçalar istendiği için ortak bölenlerin en büyüğünü seçeriz.
Her bir parçanın uzunluğu en fazla \( 6 \) metre olmalıdır.

💡 Çözüm:
Otobüslerin tekrar birlikte sefere çıkma zamanını bulmak için \( 12 \) ve \( 18 \) sayılarının ortak katlarını bulmamız gerekir.

👉 1. Adım: 12 sayısının katlarını yazalım:
\( 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... \)

👉 2. Adım: 18 sayısının katlarını yazalım:
\( 18, 36, 54, 72, 90, ... \)

👉 3. Adım: Ortak katları belirleyelim:
Her iki listede de ortak olan katlar:
\( 36, 72, ... \)

✅ Sonuç:
İki otobüsün ilk kez tekrar birlikte hareket etmesi için geçen süre, bu ortak katların en küçüğü olmalıdır.
Bu nedenle otobüsler en az \( 36 \) dakika sonra tekrar birlikte sefere çıkarlar.

💡 Çözüm:
Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımına eşittir. Kenar uzunlukları \( a \) ve \( b \) metre olsun. Bu durumda:
\[ a \times b = 36 \]
Bahçenin çevre uzunluğu ise şu formülle hesaplanır:
Çevre = \( 2 \times (a + b) \)

👉 1. Adım: Çarpımları 36 olan tüm doğal sayı çiftlerini (çarpanları) bulalım:

• \( 1 \times 36 = 36 \)
• \( 2 \times 18 = 36 \)
• \( 3 \times 12 = 36 \)
• \( 4 \times 9 = 36 \)
• \( 6 \times 6 = 36 \)

👉 2. Adım: Her durum için çevre uzunluklarını hesaplayalım:

• Kenarlar \( 1 \) ve \( 36 \) ise: Çevre = \( 2 \times (1 + 36) = 2 \times 37 = 74 \) metre
• Kenarlar \( 2 \) ve \( 18 \) ise: Çevre = \( 2 \times (2 + 18) = 2 \times 20 = 40 \) metre
• Kenarlar \( 3 \) ve \( 12 \) ise: Çevre = \( 2 \times (3 + 12) = 2 \times 15 = 30 \) metre
• Kenarlar \( 4 \) ve \( 9 \) ise: Çevre = \( 2 \times (4 + 9) = 2 \times 13 = 26 \) metre
• Kenarlar \( 6 \) ve \( 6 \) ise: Çevre = \( 2 \times (6 + 6) = 2 \times 12 = 24 \) metre

✅ Sonuç:

• Alabileceği en büyük çevre değeri: \( 74 \) metre (Kenarlar birbirinden en uzak olduğunda)
• Alabileceği en küçük çevre değeri: \( 24 \) metre (Kenarlar birbirine en yakın olduğunda)

💡 Çözüm:
\( 20 \) ile \( 30 \) arasındaki sayıları inceleyelim. Bu aralıkta mükemmel sayı adayı olarak en güçlü seçenek \( 28 \)'dir. \( 28 \) sayısının çarpanlarını bularak kuralı test edelim.

👉 1. Adım: 28 sayısının tüm çarpanlarını bulalım:

• \( 1 \times 28 = 28 \)
• \( 2 \times 14 = 28 \)
• \( 4 \times 7 = 28 \)

\( 28 \)'in tüm çarpanları: \( 1, 2, 4, 7, 14, 28 \)'dir.

👉 2. Adım: Kendisi hariç çarpanlarını belirleyelim:
Kendisi olan \( 28 \) sayısını listeden çıkarıyoruz:
\( 1, 2, 4, 7, 14 \)

👉 3. Adım: Bu çarpanları toplayalım:
\[ 1 + 2 + 4 + 7 + 14 \] \[ 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28 \]
✅ Sonuç:
Kendisi hariç çarpanlarının toplamı \( 28 \) sayısının kendisine eşit çıktığı için \( 28 \) sayısı bir mükemmel sayıdır.

💡 Çözüm:
Kalemler hem \( 6 \)'şarlı hem de \( 8 \)'erli paketlendiğinde hep \( 3 \) kalem artıyorsa, kalem sayısı \( 6 \) ve \( 8 \) sayılarının ortak bir katından \( 3 \) fazla olmalıdır.

👉 1. Adım: 6 ve 8 sayılarının ortak katlarını bulalım:

• \( 6 \)'nın katları: \( 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ... \)
• \( 8 \)'in katları: \( 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ... \)

Ortak katlar: \( 24, 48, 72, 96, ... \)

👉 2. Adım: 50'den büyük olma şartını uygulayalım:
Bulduğumuz ortak katlardan \( 50 \)'den büyük ve en küçük olanını seçmeliyiz.
\( 50 \)'den büyük olan en küçük ortak kat \( 72 \) sayısıdır.

👉 3. Adım: Artan kalem sayısını ekleyelim:
Her seferinde \( 3 \) kalem arttığı için bu ortak kata \( 3 \) ekleriz:
\[ 72 + 3 = 75 \]
✅ Sonuç:
Kırtasiyecinin elinde en az \( 75 \) adet kalem vardır.

💡 Çözüm:
Mavi ve kırmızı kartlar aynı noktada başlayıp aynı noktada bittiğine göre, panonun toplam uzunluğu hem \( 15 \) cm'nin hem de \( 20 \) cm'nin ortak bir katı olmalıdır.

👉 1. Adım: Sınırı santimetreye çevirelim:
Panonun uzunluğu \( 2 \) metreden fazladır.
\[ 2 \text{ metre} = 200 \text{ cm} \]
Yani aradığımız uzunluk \( 200 \) cm'den büyük olmalıdır.

👉 2. Adım: 15 ve 20 sayılarının ortak katlarını bulalım:

• \( 15 \)'in katları: \( 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, ... \)
• \( 20 \)'nin katları: \( 20, 40, 60, 80, 100, 120, ... \)

En küçük ortak kat: \( 60 \) cm'dir.
Diğer ortak katlar ise \( 60 \)'ın katlarıdır: \( 120, 180, 240, 300, ... \)

👉 3. Adım: 200 cm'den büyük en küçük katı seçelim:
Ortak katlar içinden \( 200 \)'den büyük en küçük sayı \( 240 \) sayısıdır.

✅ Sonuç:
Panonun uzunluğu en az \( 240 \) cm olmalıdır.