\( 60 \) sayısının asal çarpanlarını bulunuz ve \( 60 \) sayısını asal çarpanlarının çarpımı (üslü ifade) şeklinde yazınız.
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm:
Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için bölen listesi (algoritma) yöntemini kullanabiliriz. Sayıyı en küçük asal sayı olan \( 2 \)'den başlayarak sırasıyla asal sayılara böleriz:
\( 15 \) sayısı \( 2 \)'ye bölünmez, bir sonraki asal sayı olan \( 3 \)'e bölünür: \( 15 \div 3 = 5 \)
\( 5 \) sayısı asal olduğu için kendisine bölünür: \( 5 \div 5 = 1 \)
👉 Bu işlemler sonucunda elde ettiğimiz asal çarpanlar: \( 2, 3 \) ve \( 5 \)'tir.
✅ \( 60 \) sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı:
\[ 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \]
\[ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \]
3
Çözümlü Soru
Orta Seviye
🎯 Soru:
Bir çiçekçi elindeki \( 48 \) adet gülü, her vazoda eşit sayıda gül olacak şekilde vazolara paylaştırmak istiyor. Her vazoda en az \( 3 \) adet, en fazla \( 16 \) adet gül olabileceğine göre, çiçekçinin hazırlayabileceği farklı vazo sayısı seçenekleri nelerdir?
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm:
Güller vazolara eşit paylaştırılacağı için, bir vazodaki gül sayısı \( 48 \) sayısının bir çarpanı olmalıdır. Öncelikle \( 48 \)'in tüm çarpanlarını bulalım:
\( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 \)
👉 Soruda verilen kısıtlamaya göre, her vazodaki gül sayısı en az \( 3 \) ve en fazla \( 16 \) olmalıdır. Bu koşula uyan çarpanları seçelim:
Bir vazoda \( 3 \) gül olursa: \( 48 \div 3 = 16 \) vazo gerekir.
Bir vazoda \( 4 \) gül olursa: \( 48 \div 4 = 12 \) vazo gerekir.
Bir vazoda \( 6 \) gül olursa: \( 48 \div 6 = 8 \) vazo gerekir.
Bir vazoda \( 8 \) gül olursa: \( 48 \div 8 = 6 \) vazo gerekir.
Bir vazoda \( 12 \) gül olursa: \( 48 \div 12 = 4 \) vazo gerekir.
Bir vazoda \( 16 \) gül olursa: \( 48 \div 16 = 3 \) vazo gerekir.
✅ Bu durumda çiçekçinin hazırlayabileceği farklı vazo sayıları: 3, 4, 6, 8, 12 ve 16 olmak üzere \( 6 \) farklı seçenektir.
4
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
🎯 Soru:
Kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer doğal sayı ve alanı \( 40 \) santimetrekare olan bir dikdörtgen kartonun çevre uzunluğu en az kaç santimetre olabilir?
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm:
Dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir. Kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, bu kenarlar \( 40 \) sayısının çarpanları olmalıdır.
👉 Çarpımları \( 40 \) olan sayı çiftlerini (kenar uzunluklarını) yazalım:
\( 1 \times 40 = 40 \) ise Çevre = \( 2 \times (1 + 40) = 2 \times 41 = 82 \) cm
\( 2 \times 20 = 40 \) ise Çevre = \( 2 \times (2 + 20) = 2 \times 22 = 44 \) cm
\( 4 \times 10 = 40 \) ise Çevre = \( 2 \times (4 + 10) = 2 \times 14 = 28 \) cm
\( 5 \times 8 = 40 \) ise Çevre = \( 2 \times (5 + 8) = 2 \times 13 = 26 \) cm
📌 Önemli İpucu: Alanı sabit olan bir dikdörtgenin çevresinin en küçük olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın seçilmesi gerekir. Birbirine en yakın çarpan çifti \( 5 \) ve \( 8 \)'dir.
✅ Bu durumda elde edilebilecek en küçük çevre uzunluğu: 26 cm'dir.
5
Çözümlü Soru
Orta Seviye
🎯 Soru:
\( 24 \) ve \( 36 \) sayılarının ortak bölenlerini (çarpanlarını) bulunuz. Bu ortak bölenlerin en büyüğü kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm:
Her iki sayının da çarpanlarını ayrı ayrı listeleyelim:
👉 24 sayısının çarpanları:
\( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \)
👉 36 sayısının çarpanları:
\( 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \)
✅ Şimdi her iki listede de ortak olan sayıları belirleyelim:
Ortak Bölenler = \( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \)
Bu ortak bölenlerin içindeki en büyük sayı 12'dir.
6
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
🎯 Soru:
Bir limandan kalkan iki farklı gemiden birincisi her \( 8 \) günde bir, ikincisi ise her \( 12 \) günde bir sefere çıkmaktadır. Bu iki gemi limandan aynı gün birlikte hareket ettikten sonra, en az kaç gün sonra tekrar birlikte sefere çıkarlar?
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm:
Gemilerin tekrar birlikte sefere çıkabilmesi için geçen sürenin hem \( 8 \)'in hem de \( 12 \)'nin ortak bir katı olması gerekir. En yakın zamanı bulmak için bu sayıların en küçük ortak katını bulmalıyız.
👉 8 sayısının katları:
\( 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ... \)
👉 12 sayısının katları:
\( 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... \)
👉 Ortak katları belirleyelim:
Ortak Katlar = \( 24, 48, 72, ... \)
✅ İki geminin tekrar birlikte sefere çıkması için geçmesi gereken en az süre, ortak katların en küçüğü olan 24 gündür.
7
Çözümlü Soru
Zor Seviye
🎯 Soru:
İki basamaklı en büyük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının toplamı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm:
Asal sayılar, sadece \( 1 \)'e ve kendisine bölünebilen \( 1 \)'den büyük doğal sayılardır.
İki basamaklı en küçük asal sayı: İki basamaklı sayılar \( 10 \)'dan başlar. \( 10 \) çift olduğu için asal değildir. Bir sonraki sayı olan \( 11 \) sadece \( 1 \)'e ve kendisine bölünür. Dolayısıyla en küçük iki basamaklı asal sayı 11'dir.
İki basamaklı en büyük asal sayı: İki basamaklı en büyük sayı \( 99 \)'dur (\( 3 \)'e bölünür, asal değil). \( 98 \) çifttir, asal değil. Bir önceki sayı olan \( 97 \) sayısının \( 1 \) ve kendisinden başka böleni yoktur. Dolayısıyla en büyük iki basamaklı asal sayı 97'dir.
✅ Bizden bu iki asal sayının toplamı istenmektedir:
Toplam = \( 11 + 97 \)
Toplam = \( 108 \) olarak bulunur.
8
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
🎯 Soru:
Kenar uzunlukları \( 18 \) metre ve \( 30 \) metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla direkler dikilecektir. İki direk arasındaki mesafe metre cinsinden bir doğal sayı olduğuna göre, bu mesafe kaç farklı değer alabilir?
Çözüm ve Açıklama
💡 Çözüm:
Direklerin eşit aralıklarla dikilebilmesi ve köşelere de denk gelmesi için, iki direk arasındaki mesafenin hem \( 18 \) metresi hem de \( 30 \) metresi kalansız bölmesi gerekir. Yani bu mesafe, \( 18 \) ve \( 30 \) sayılarının ortak böleni olmalıdır.
\( 60 \) sayısının asal çarpanlarını bulunuz ve \( 60 \) sayısını asal çarpanlarının çarpımı (üslü ifade) şeklinde yazınız.
Çözüm:
💡 Çözüm:
Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için bölen listesi (algoritma) yöntemini kullanabiliriz. Sayıyı en küçük asal sayı olan \( 2 \)'den başlayarak sırasıyla asal sayılara böleriz:
\( 15 \) sayısı \( 2 \)'ye bölünmez, bir sonraki asal sayı olan \( 3 \)'e bölünür: \( 15 \div 3 = 5 \)
\( 5 \) sayısı asal olduğu için kendisine bölünür: \( 5 \div 5 = 1 \)
👉 Bu işlemler sonucunda elde ettiğimiz asal çarpanlar: \( 2, 3 \) ve \( 5 \)'tir.
✅ \( 60 \) sayısının üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazılışı:
\[ 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \]
\[ 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \]
Soru 3:
🎯 Soru:
Bir çiçekçi elindeki \( 48 \) adet gülü, her vazoda eşit sayıda gül olacak şekilde vazolara paylaştırmak istiyor. Her vazoda en az \( 3 \) adet, en fazla \( 16 \) adet gül olabileceğine göre, çiçekçinin hazırlayabileceği farklı vazo sayısı seçenekleri nelerdir?
Çözüm:
💡 Çözüm:
Güller vazolara eşit paylaştırılacağı için, bir vazodaki gül sayısı \( 48 \) sayısının bir çarpanı olmalıdır. Öncelikle \( 48 \)'in tüm çarpanlarını bulalım:
\( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 \)
👉 Soruda verilen kısıtlamaya göre, her vazodaki gül sayısı en az \( 3 \) ve en fazla \( 16 \) olmalıdır. Bu koşula uyan çarpanları seçelim:
Bir vazoda \( 3 \) gül olursa: \( 48 \div 3 = 16 \) vazo gerekir.
Bir vazoda \( 4 \) gül olursa: \( 48 \div 4 = 12 \) vazo gerekir.
Bir vazoda \( 6 \) gül olursa: \( 48 \div 6 = 8 \) vazo gerekir.
Bir vazoda \( 8 \) gül olursa: \( 48 \div 8 = 6 \) vazo gerekir.
Bir vazoda \( 12 \) gül olursa: \( 48 \div 12 = 4 \) vazo gerekir.
Bir vazoda \( 16 \) gül olursa: \( 48 \div 16 = 3 \) vazo gerekir.
✅ Bu durumda çiçekçinin hazırlayabileceği farklı vazo sayıları: 3, 4, 6, 8, 12 ve 16 olmak üzere \( 6 \) farklı seçenektir.
Soru 4:
🎯 Soru:
Kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer doğal sayı ve alanı \( 40 \) santimetrekare olan bir dikdörtgen kartonun çevre uzunluğu en az kaç santimetre olabilir?
Çözüm:
💡 Çözüm:
Dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir. Kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, bu kenarlar \( 40 \) sayısının çarpanları olmalıdır.
👉 Çarpımları \( 40 \) olan sayı çiftlerini (kenar uzunluklarını) yazalım:
\( 1 \times 40 = 40 \) ise Çevre = \( 2 \times (1 + 40) = 2 \times 41 = 82 \) cm
\( 2 \times 20 = 40 \) ise Çevre = \( 2 \times (2 + 20) = 2 \times 22 = 44 \) cm
\( 4 \times 10 = 40 \) ise Çevre = \( 2 \times (4 + 10) = 2 \times 14 = 28 \) cm
\( 5 \times 8 = 40 \) ise Çevre = \( 2 \times (5 + 8) = 2 \times 13 = 26 \) cm
📌 Önemli İpucu: Alanı sabit olan bir dikdörtgenin çevresinin en küçük olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın seçilmesi gerekir. Birbirine en yakın çarpan çifti \( 5 \) ve \( 8 \)'dir.
✅ Bu durumda elde edilebilecek en küçük çevre uzunluğu: 26 cm'dir.
Soru 5:
🎯 Soru:
\( 24 \) ve \( 36 \) sayılarının ortak bölenlerini (çarpanlarını) bulunuz. Bu ortak bölenlerin en büyüğü kaçtır?
Çözüm:
💡 Çözüm:
Her iki sayının da çarpanlarını ayrı ayrı listeleyelim:
👉 24 sayısının çarpanları:
\( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \)
👉 36 sayısının çarpanları:
\( 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \)
✅ Şimdi her iki listede de ortak olan sayıları belirleyelim:
Ortak Bölenler = \( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \)
Bu ortak bölenlerin içindeki en büyük sayı 12'dir.
Soru 6:
🎯 Soru:
Bir limandan kalkan iki farklı gemiden birincisi her \( 8 \) günde bir, ikincisi ise her \( 12 \) günde bir sefere çıkmaktadır. Bu iki gemi limandan aynı gün birlikte hareket ettikten sonra, en az kaç gün sonra tekrar birlikte sefere çıkarlar?
Çözüm:
💡 Çözüm:
Gemilerin tekrar birlikte sefere çıkabilmesi için geçen sürenin hem \( 8 \)'in hem de \( 12 \)'nin ortak bir katı olması gerekir. En yakın zamanı bulmak için bu sayıların en küçük ortak katını bulmalıyız.
👉 8 sayısının katları:
\( 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ... \)
👉 12 sayısının katları:
\( 12, 24, 36, 48, 60, 72, ... \)
👉 Ortak katları belirleyelim:
Ortak Katlar = \( 24, 48, 72, ... \)
✅ İki geminin tekrar birlikte sefere çıkması için geçmesi gereken en az süre, ortak katların en küçüğü olan 24 gündür.
Soru 7:
🎯 Soru:
İki basamaklı en büyük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayının toplamı kaçtır?
Çözüm:
💡 Çözüm:
Asal sayılar, sadece \( 1 \)'e ve kendisine bölünebilen \( 1 \)'den büyük doğal sayılardır.
İki basamaklı en küçük asal sayı: İki basamaklı sayılar \( 10 \)'dan başlar. \( 10 \) çift olduğu için asal değildir. Bir sonraki sayı olan \( 11 \) sadece \( 1 \)'e ve kendisine bölünür. Dolayısıyla en küçük iki basamaklı asal sayı 11'dir.
İki basamaklı en büyük asal sayı: İki basamaklı en büyük sayı \( 99 \)'dur (\( 3 \)'e bölünür, asal değil). \( 98 \) çifttir, asal değil. Bir önceki sayı olan \( 97 \) sayısının \( 1 \) ve kendisinden başka böleni yoktur. Dolayısıyla en büyük iki basamaklı asal sayı 97'dir.
✅ Bizden bu iki asal sayının toplamı istenmektedir:
Toplam = \( 11 + 97 \)
Toplam = \( 108 \) olarak bulunur.
Soru 8:
🎯 Soru:
Kenar uzunlukları \( 18 \) metre ve \( 30 \) metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelere de gelmek şartıyla eşit aralıklarla direkler dikilecektir. İki direk arasındaki mesafe metre cinsinden bir doğal sayı olduğuna göre, bu mesafe kaç farklı değer alabilir?
Çözüm:
💡 Çözüm:
Direklerin eşit aralıklarla dikilebilmesi ve köşelere de denk gelmesi için, iki direk arasındaki mesafenin hem \( 18 \) metresi hem de \( 30 \) metresi kalansız bölmesi gerekir. Yani bu mesafe, \( 18 \) ve \( 30 \) sayılarının ortak böleni olmalıdır.