Doğal sayının çarpanları ve bölenleri Konu Özeti

Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölebilen her doğal sayıya o sayının böleni denir. Bir doğal sayıyı iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazdığımızda, bu sayılardan her birine o sayının çarpanı denir. Bir doğal sayının çarpanları ile bölenleri aynı sayılardır.

Doğal Sayıların Çarpanlarını Bulma 🔍

Bir sayının çarpanlarını bulurken, çarpımları o sayıyı veren tüm sayı çiftlerini belirleriz. Örneğin 12 sayısının çarpanlarını (bölenlerini) bulalım:

• \( 1 \times 12 = 12 \)
• \( 2 \times 6 = 12 \)
• \( 3 \times 4 = 12 \)

Bu durumda 12 sayısının çarpanları küçükten büyüğe: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 sayılarıdır. Bu sayılar aynı zamanda 12'yi kalansız bölen sayılardır.

Not: Her doğal sayının en küçük çarpanı 1, en büyük çarpanı ise sayının kendisidir.

Örnek: 20 Sayısının Çarpanları

20 sayısını çarpanlarına ayıralım:

\( 1 \times 20 = 20 \)
\( 2 \times 10 = 20 \)
\( 4 \times 5 = 20 \)

20'nin çarpanları: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Asal Sayılar ⭐

Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayılar denir. Asal sayıların sadece iki tane çarpanı vardır (1 ve kendisi).

• En küçük asal sayı 2'dir.
• 2'den başka çift asal sayı yoktur.
• 1 asal sayı değildir.

İlk 10 asal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Bir Doğal Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma 🌳

Bir doğal sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Bunun için iki temel yöntem kullanılır:

1. Çarpan Ağacı Yöntemi

Sayıyı iki dal oluşturacak şekilde çarpanlarına ayırırız. Dalların ucunda asal sayı kalana kadar işleme devam ederiz. Örneğin 24 sayısını inceleyelim:

• 24 sayısı \( 2 \times 12 \) olarak ayrılır.
• 12 sayısı \( 2 \times 6 \) olarak ayrılır.
• 6 sayısı \( 2 \times 3 \) olarak ayrılır.

En uçtaki asal sayılar: 2, 2, 2 ve 3'tür. Yani \( 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \) olur.

2. Bölen Listesi (Asal Çarpanlar Algoritması)

Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak sırasıyla asal sayılara böleriz. Bölüm 1 olana kadar işleme devam edilir.

30 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• \( 30 \div 2 = 15 \)
• \( 15 \div 3 = 5 \)
• \( 5 \div 5 = 1 \)

30'un asal çarpanları: 2, 3 ve 5'tir. Yazımı: \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)

Ortak Bölenler ve Ortak Katlar 🤝

İki veya daha fazla doğal sayıyı aynı anda bölen sayılara ortak bölenler denir. İki veya daha fazla doğal sayının katlarından aynı olanlara ise ortak katlar denir.

Ortak Bölen Örneği

12 ve 18 sayılarının ortak bölenlerini bulalım:

Sayı	Bölenleri (Çarpanları)
12	1, 2, 3, 4, 6, 12
18	1, 2, 3, 6, 9, 18

Her iki listede de bulunan sayılar: 1, 2, 3 ve 6 sayıları 12 ve 18'in ortak bölenleridir.

Ortak Kat Örneği

4 ve 6 sayılarının ortak katlarını bulalım:

• 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...
• 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42...

Her iki listede de bulunan sayılar: 12, 24, 36... sayıları 4 ve 6'nın ortak katlarıdır.