Kesirli sayılar Konu Özeti

Kesirler, bir bütünün eş parçalarından birini veya birkaçını gösteren sayılardır. 6. sınıf düzeyinde kesirler; karşılaştırma, sıralama, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleriyle genişletilerek problem çözümlerinde kullanılır.

1. Kesirleri Karşılaştırma ve Sıralama 📊

Kesirleri sıralarken payların, paydaların durumu incelenir veya kesirlerin yarıma ve bütüne olan yakınlıkları göz önüne alınır.

• Paydaları Eşit Olan Kesirler: Payı büyük olan kesir her zaman daha büyüktür. Örneğin; \( \frac{7}{10} > \frac{3}{10} \).
• Payları Eşit Olan Kesirler: Paydası küçük olan kesir daha büyüktür. Parça sayısı azaldıkça parça büyüklüğü artar. Örneğin; \( \frac{5}{8} > \frac{5}{12} \).
• Pay ve Paydası Eşit Olmayan Kesirler: Kesirler genişletilerek veya sadeleştirilerek payları ya da paydaları eşitlenir, ardından sıralama yapılır.

Önemli Kural: Genişletme veya sadeleştirme yapılırken kesrin hem payı hem de paydası aynı sıfırdan farklı doğal sayı ile çarpılır veya bölünür. Bu işlem kesrin değerini değiştirmez.

Örnek sıralama işlemi:

\( \frac{2}{3} \) ile \( \frac{5}{6} \) kesirlerini karşılaştırmak için \( \frac{2}{3} \) kesri 2 ile genişletilir:

\[ \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \]

Paydalar eşitlendiğine göre: \( \frac{4}{6} < \frac{5}{6} \) olduğundan \( \frac{2}{3} < \frac{5}{6} \) elde edilir.

2. Kesirlerle Toplama ve Çıkarma İşlemi ➕➖

Kesirlerle toplama ve çıkarma işlemlerinin yapılabilmesi için paydaların kesinlikle eşit olması gerekir.

İşlem Adımı	Toplama Örneği	Çıkarma Örneği
1. Paydaları Eşitle	\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \)	\( \frac{4}{5} - \frac{1}{2} = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} \)
2. İşlemi Yap	\( \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6} \)	\( \frac{8 - 5}{10} = \frac{3}{10} \)

Tam Sayılı Kesirlerde İşlem: Tam sayılı kesirlerle toplama veya çıkarma yapılırken tam kısımlar kendi arasında, kesir kısımları kendi arasında işleme alınabilir ya da kesirler önce bileşik kesre çevrilebilir.

\[ 2 \frac{1}{4} + 1 \frac{2}{4} = (2 + 1) + \left(\frac{1 + 2}{4}\right) = 3 \frac{3}{4} \]

3. Kesirlerle Çarpma İşlemi ✖️

Kesirlerle çarpma işleminde paydaların eşit olmasına gerek yoktur. Temel kural; payların birbiriyle, paydaların birbiriyle çarpılmasıdır.

• İki Kesrin Çarpımı: Paylar çarpımı paya, paydalar çarpımı paydaya yazılır. \[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \] Örnek: \[ \frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{3 \times 2}{5 \times 7} = \frac{6}{35} \]
• Bir Doğal Sayı ile Kesrin Çarpımı: Doğal sayının paydasına 1 yazılır ve çarpma kuralı uygulanır. \[ 4 \times \frac{2}{9} = \frac{4}{1} \times \frac{2}{9} = \frac{8}{9} \]
• Tam Sayılı Kesirlerin Çarpımı: Tam sayılı kesirler çarpma işleminden önce KESİNLİKLE bileşik kesre çevrilmelidir. \[ 1 \frac{1}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{2} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{10} \] İşlem sadeleştirilirse sonuç \( \frac{6}{5} \) olur.

Pratik Bilgi: Çarpma işlemine başlamadan önce pay ve paydadaki sayılar arasında sadeleştirme yapmak işlem kolaylığı sağlar.

4. Kesirlerle Bölme İşlemi ➗

Kesirlerle bölme işlemi yapılırken birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilerek (pay ve paydası yer değiştirilerek) birinci kesirle çarpılır.

Kural:

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} \]

Örnek:

\[ \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8} \]

Bir Doğal Sayıyı Bir Kesre Bölme: Doğal sayının paydasına gizli 1 yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.

\[ 6 \div \frac{3}{4} = \frac{6}{1} \times \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8 \]

Bir Kesri Bir Doğal Sayıya Bölme:

\[ \frac{2}{5} \div 3 = \frac{2}{5} \div \frac{3}{1} = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15} \]

Dikkat: Bölme işleminde de tam sayılı kesirler varsa, işlem yapılmadan önce mutlaka bileşik kesre dönüştürülmelidir.

5. Kesirlerle Problem Çözme Adımları 💡

Kesir problemleri çözülürken verilenler ile istenenler doğru belirlenmeli ve uygun işlem basamakları uygulanmalıdır:

• Bir Çokluğun Kesir Kadarını Bulma: Çokluk ile kesir çarpılır. Örneğin; 60 TL paranın \( \frac{3}{4} \)'ü: \[ 60 \times \frac{3}{4} = \frac{180}{4} = 45 \text{ TL} \]
• Kesir Kadarı Verilen Çokluğun Tamamını Bulma: Verilen sayı kesre bölünür. Örneğin; \( \frac{2}{5} \)'i 20 olan sayının tamamı: \[ 20 \div \frac{2}{5} = 20 \times \frac{5}{2} = \frac{100}{2} = 50 \]

Örnek Problem: Bir depodaki 120 litre suyun önce \( \frac{1}{3} \)'i, daha sonra kalan suyun \( \frac{1}{4} \)'i kullanılmıştır. Depoda kaç litre su kalmıştır?

Çözüm Adımları:

1. İlk kullanılan su: \( 120 \times \frac{1}{3} = 40 \) litre.

2. Kalan su: \( 120 - 40 = 80 \) litre.

3. İkinci kullanılan su (kalanın \( \frac{1}{4} \)'i): \( 80 \times \frac{1}{4} = 20 \) litre.

4. Depoda son kalan su: \( 80 - 20 = 60 \) litredir.