Rasyonel Sayılarda Toplama Çıkarma Konu Özeti

Rasyonel sayılar, tam sayıların birbirine oranı şeklinde yazılabilen sayılardır. Bu bölümde rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini öğreneceğiz. İşlemleri yaparken paydaların eşitlenmesi büyük önem taşır.

Rasyonel Sayılarda Toplama İşlemi ➕

Rasyonel sayılarla toplama işlemi yaparken iki temel durum vardır:

1. Paydaları Eşit Olan Rasyonel Sayıları Toplama

Paydaları eşit olan rasyonel sayılar toplanırken, paydalar aynen kalır, paylar toplanır.

Örnek:

\[ \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7} \]

2. Paydaları Farklı Olan Rasyonel Sayıları Toplama

Paydaları farklı olan rasyonel sayılar toplanırken, öncelikle paydalar eşitlenir. Paydaları eşitlemek için her iki rasyonel sayının paydasının en küçük ortak katı (EKOK) bulunur ve kesirler bu EKOK'a göre genişletilir. Paydalar eşitlendikten sonra toplama işlemi yapılır.

Örnek:

\( \frac{1}{3} \) ve \( \frac{2}{5} \) rasyonel sayılarını toplayalım.

3 ve 5'in EKOK'u 15'tir.

Kesirleri 15 paydasına eşitleyelim:

\[ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15} \] \[ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15} \]

Şimdi toplama işlemini yapabiliriz:

\[ \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{5+6}{15} = \frac{11}{15} \]

Rasyonel Sayılarda Çıkarma İşlemi ➖

Rasyonel sayılarla çıkarma işlemi de toplama işlemine benzer şekilde yapılır. Yine paydaların eşit olması esastır.

1. Paydaları Eşit Olan Rasyonel Sayıları Çıkarma

Paydaları eşit olan rasyonel sayılar çıkarılırken, paydalar aynen kalır, paylar çıkarılır.

Örnek:

\[ \frac{7}{9} - \frac{4}{9} = \frac{7-4}{9} = \frac{3}{9} \]

Bu kesir sadeleştirilebilir:

\[ \frac{3}{9} = \frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3} \]

2. Paydaları Farklı Olan Rasyonel Sayıları Çıkarma

Paydaları farklı olan rasyonel sayılar çıkarılırken, öncelikle paydalar eşitlenir. Paydalar eşitlendikten sonra çıkarma işlemi yapılır.

Örnek:

\( \frac{3}{4} \) sayısından \( \frac{1}{6} \) sayısını çıkaralım.

4 ve 6'nın EKOK'u 12'dir.

Kesirleri 12 paydasına eşitleyelim:

\[ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12} \] \[ \frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12} \]

Şimdi çıkarma işlemini yapabiliriz:

\[ \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12} \]

Tam Sayılı Kesirlerle İşlemler

Tam sayılı kesirlerle toplama veya çıkarma yaparken, öncelikle tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirmek işlemi kolaylaştırır. Daha sonra yukarıdaki adımlar izlenir.

Örnek:

\( 2 \frac{1}{3} + 1 \frac{1}{2} \) işlemini yapalım.

Önce bileşik kesre çevirelim:

\[ 2 \frac{1}{3} = \frac{(2 \times 3) + 1}{3} = \frac{7}{3} \] \[ 1 \frac{1}{2} = \frac{(1 \times 2) + 1}{2} = \frac{3}{2} \]

Şimdi toplama işlemini yapabiliriz:

3 ve 2'nin EKOK'u 6'dır.

\[ \frac{7}{3} = \frac{7 \times 2}{3 \times 2} = \frac{14}{6} \] \[ \frac{3}{2} = \frac{3 \times 3}{2 \times 3} = \frac{9}{6} \] \[ \frac{14}{6} + \frac{9}{6} = \frac{14+9}{6} = \frac{23}{6} \]

Sonucu tekrar tam sayılı kesre çevirebiliriz:

\[ \frac{23}{6} = 3 \frac{5}{6} \]

Önemli Not: Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinde işlem önceliği kuralları da geçerlidir. Eğer parantezli işlemler varsa, önce parantez içindeki işlemler yapılır.