Mutlak değer Konu Özeti

Bir tam sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına bu tam sayının mutlak değeri denir. Uzaklık kavramı hiçbir zaman negatif bir değer alamayacağı için, bir sayının mutlak değeri her zaman pozitif bir sayıya veya sıfıra eşittir.

Mutlak Değerin Gösterimi ve Temel Özellikleri 📏

Bir \( a \) tam sayısının mutlak değeri \( |a| \) sembolü ile gösterilir. Bu sembol, sayının sıfır noktasına olan mesafesini ifade eder.

• Pozitif tam sayıların mutlak değeri sayının kendisine eşittir. Örneğin; \( |+9| = 9 \)
• Negatif tam sayıların mutlak değeri, sayının işaretsiz (pozitif) haline eşittir. Örneğin; \( |-14| = 14 \)
• Sıfır sayısının başlangıç noktasına uzaklığı \( 0 \) birim olduğu için mutlak değeri sıfırdır: \( |0| = 0 \)

Önemli Not: Mutlak değer, içine giren her tam sayıyı dışarıya "uzaklık" olarak çıkardığı için sonuç asla negatif olamaz. Bu yüzden mutlak değer için "pozitif yapan makine" benzetmesi yapılır.

Sayı Doğrusunda Mutlak Değer 📍

Sayı doğrusu üzerinde farklı yönlerde bulunan ancak sıfıra olan uzaklıkları aynı olan sayıların mutlak değerleri birbirine eşittir. Örneğin, \( -5 \) ve \( +5 \) sayılarının her ikisi de sıfır noktasına \( 5 \) birim uzaklıktadır.

\[ |-5| = 5 \] \[ |+5| = 5 \]

Bu durum, mutlak değerleri eşit olan iki farklı tam sayının (sıfır hariç) olduğunu kanıtlar. Sayı doğrusunda sıfıra eşit uzaklıktaki sayılara zıt işaretli sayılar denir.

Mutlak Değerli İfadelerde Sıralama ve Karşılaştırma ⚖️

Mutlak değerli ifadeler karşılaştırılırken önce mutlak değerlerin sonuçları hesaplanır, ardından elde edilen sayılar arasında sıralama yapılır. Negatif sayılar mutlak değer dışına pozitif çıktığı için normal sıralamadan farklı sonuçlar doğurabilir.

İfade	Mutlak Değer Sonucu	Karşılaştırma
\( |-10| \) ve \( |+4| \)	\( 10 \) ve \( 4 \)	\( |-10| > |+4| \)
\( |-7| \) ve \( -12 \)	\( 7 \) ve \( -12 \)	\( |-7| > -12 \)
\( |0| \) ve \( |-3| \)	\( 0 \) ve \( 3 \)	\( |0| < |-3| \)

Örnek Soru Çözümleri 📝

Soru 1: \( |-20| + |+8| - |-5| \) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Öncelikle mutlak değer içerisindeki sayıları dışarı çıkaralım:

• \( |-20| = 20 \)
• \( |+8| = 8 \)
• \( |-5| = 5 \)

Şimdi işlemi sırasıyla yapalım: \( 20 + 8 - 5 = 23 \) olarak bulunur.

Soru 2: Mutlak değeri \( 4 \)'ten küçük olan tam sayıları yazınız.

Çözüm: Mutlak değeri \( 4 \)'ten küçük demek, sıfıra olan uzaklığı \( 4 \) birimden az olan sayılar demektir. Bu sayılar şunlardır:

\( -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \)

Soru 3: \( x = |-15| \), \( y = -20 \), \( z = |+6| \) sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

Çözüm: Sayıların değerlerini belirleyelim:

• \( x = 15 \)
• \( y = -20 \)
• \( z = 6 \)

Sıralama yapıldığında \( 15 > 6 > -20 \) olduğu görülür. Buna göre doğru sıralama: \( x > z > y \) şeklindedir.

Soru 4: \( |a| = 9 \) olduğuna göre \( a \) yerine yazılabilecek tam sayıların çarpımı kaçtır?

Çözüm: Mutlak değeri \( 9 \) olan iki tane tam sayı vardır. Bunlar başlangıç noktasına \( 9 \) birim uzaklıkta olan \( +9 \) ve \( -9 \) sayılarıdır. Bu sayıların çarpımı: \( 9 \times (-9) = -81 \) olur.