Ondalık sayıları rasyonel sayılara çevirme Konu Özeti

Ondalık gösterimle verilen bir sayıyı rasyonel sayıya (kesir formuna) çevirmek, sayıların değerini daha iyi analiz etmemizi sağlar. Bu işlem, ondalık kısmın sonlu veya devirli olmasına göre iki ana başlıkta incelenir.

1. Sonlu (Devretmeyen) Ondalık Gösterimleri Çevirme 📍

Virgülden sonraki basamak sayısı belirli olan ondalık gösterimleri rasyonel sayıya çevirirken şu adımlar izlenir:

• Pay: Sayının virgül yokmuş gibi tamamı paya yazılır.
• Payda: Paydaya 1 yazılır ve yanına virgülden sonraki basamak sayısı kadar 0 eklenir (10, 100, 1000 gibi).
• Sadeleştirme: Elde edilen rasyonel sayı, en sade haline getirilir.

Örnek 1: \( 0,4 \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Virgülden sonra 1 basamak olduğu için payda 10 olur.
\[ \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]

Örnek 2: \( -2,75 \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Virgülden sonra 2 basamak olduğu için payda 100 olur.
\[ -2,75 = -\frac{275}{100} \] Sadeleştirme yaparsak (her iki tarafı 25'e bölerek):
\[ -\frac{11}{4} \]

Pratik Tablo: Basamak Sayısına Göre Payda

Virgülden Sonraki Basamak Sayısı	Paydaya Yazılacak Değer
1 Basamak	10
2 Basamak	100
3 Basamak	1000

2. Devirli Ondalık Gösterimleri Çevirme 🔄

Virgülden sonraki bazı rakamları sürekli tekrar eden sayılara devirli ondalık gösterim denir. Bu sayıları rasyonel sayıya çevirmek için özel bir kural uygulanır:

Rasyonel Sayı Formülü:

\[ \frac{a - b}{c} \]

Burada değişkenlerin anlamları şöyledir:

• a: Sayının virgül ve devir çizgisi olmaksızın tamamı.
• b: Sayının üzerinde devir çizgisi olmayan kısmı.
• c: Paydaya, virgülden sonraki devreden rakam sayısı kadar 9, devretmeyen rakam sayısı kadar 0 yazılır.

Örnek 3: \( 0,\overline{3} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Sayının tamamı: 3
Devretmeyen kısım: 0
Virgülden sonra devreden basamak sayısı: 1 (sadece 3 devrediyor, bu yüzden bir tane 9)
\[ \frac{3 - 0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

Örnek 4: \( 1,2\overline{5} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Sayının tamamı: 125
Devretmeyen kısım: 12
Virgülden sonra devreden sayısı: 1 (bir tane 9)
Virgülden sonra devretmeyen sayısı: 1 (bir tane 0)
Payda: 90
\[ \frac{125 - 12}{90} = \frac{113}{90} \]

Dikkat Edilmesi Gereken Önemli Notlar ⚠️

• Tam sayılı ondalık gösterimlerde, tam kısmı rasyonel sayının önüne tam sayı olarak da yazabilirsiniz veya doğrudan bileşik kesre çevirebilirsiniz.
• Negatif ondalık sayılarda işlem yaparken işaret en son kesrin önüne eklenir.
• Paydaya 0 eklerken sadece virgülden sonraki devretmeyen basamaklara bakılır. Tam kısımdaki basamaklar paydayı etkilemez.

Örnek 5: \( 2,\overline{18} \) sayısını çevirelim.
Sayının tamamı: 218
Devretmeyen kısım: 2
Virgülden sonra devreden sayısı: 2 (iki tane 9)
\[ \frac{218 - 2}{99} = \frac{216}{99} \] Sadeleştirme (9 ile):
\[ \frac{24}{11} \]