Ondalık sayılarla kesirler Konu Özeti

Rasyonel sayıların ondalık gösterimi, bir kesrin payının paydasına bölünmesiyle elde edilen virgüllü ifade biçimidir. 7. sınıf matematik müfredatında bu konu, rasyonel sayıların farklı temsil biçimlerini anlamak ve devirli ondalık açılımları kavramak açısından kritik bir öneme sahiptir.

Rasyonel Sayıları Ondalık Gösterime Dönüştürme 📝

Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterimle ifade etmek için iki temel yöntem kullanılır:

1. Paydayı 10, 100 veya 1000 Yapma

Kesrin paydası genişletilerek veya sadeleştirilerek 10'un kuvvetleri (10, 100, 1000...) haline getirilir. Ardından paydaki sayı yazılır ve paydadaki sıfır sayısı kadar sağdan sola doğru virgül kaydırılır.

Örnek: \( \frac{2}{5} \) kesrini ondalık gösterime çevirelim.
Kesri 2 ile genişletirsek: \( \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} = 0,4 \) olur.

Örnek: \( \frac{3}{4} \) kesrini ondalık gösterime çevirelim.
Kesri 25 ile genişletirsek: \( \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} = 0,75 \) olur.

2. Payı Paydaya Bölme

Her rasyonel sayının paydası 10, 100 veya 1000 yapılamayabilir. Bu durumda pay, paydaya normal bölme işlemi yapılarak bölünür.

Devirli Ondalık Gösterimler 🔄

Bir rasyonel sayının payı paydasına bölündüğünde, ondalık kısımdaki rakamlar belirli bir düzende sonsuza kadar tekrar ediyorsa bu sayılara devirli ondalık gösterim denir. Tekrar eden rakamın üzerine "devir çizgisi" konulur.

• \( \frac{1}{3} = 0,333... = 0,\overline{3} \)
• \( \frac{5}{11} = 0,4545... = 0,\overline{45} \)
• \( \frac{7}{6} = 1,1666... = 1,1\overline{6} \)

Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Dönüştürme 💡

Ondalık gösterimleri rasyonel sayıya (kesre) çevirirken sayının türüne göre hareket edilir.

Tam Bitimli (Devirsiz) Ondalık Gösterimler

Virgül yokmuş gibi sayının tamamı paya yazılır. Paydaya ise 1'in yanına, virgülden sonraki basamak sayısı kadar sıfır eklenir.

Ondalık Gösterim	Rasyonel Sayı Hali
0,8	\( \frac{8}{10} \)
1,25	\( \frac{125}{100} \)
-0,004	\( -\frac{4}{1000} \)

Devirli Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Dönüştürme

Devirli bir ondalık gösterimi rasyonel sayıya çevirmek için şu formül kullanılır:

Pay: Sayının tamamından (virgül ve devir çizgisi olmaksızın), devretmeyen kısım çıkarılır.

Payda: Virgülden sonraki kısma bakılır; devreden rakam sayısı kadar 9, devretmeyen rakam sayısı kadar 0 yazılır.

Örnek: \( 1,\overline{2} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Pay: \( 12 - 1 = 11 \)
Payda: Virgülden sonra 1 tane devreden rakam var, bu yüzden 9 yazılır.
Sonuç: \( \frac{11}{9} \)

Örnek: \( 0,2\overline{5} \) sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
Pay: \( 25 - 2 = 23 \)
Payda: Virgülden sonra 1 tane devreden (9) ve 1 tane devretmeyen (0) rakam var, bu yüzden 90 yazılır.
Sonuç: \( \frac{23}{90} \)

Önemli Hatırlatmalar ⚠️

• Negatif rasyonel sayıların ondalık gösterimi yapılırken işaret (+) veya (-) en başa konulur, işlemler aynı şekilde devam eder.
• Bir rasyonel sayının paydası 10'un kuvveti yapılabiliyorsa genişletme yöntemi her zaman daha pratiktir.
• Devirli sayılarda sadece tekrar eden rakamın üzerine çizgi çekildiğine dikkat edilmelidir. Örneğin \( 2,3444... \) sayısı \( 2,3\overline{4} \) şeklinde gösterilir.