Rasyonel sayılar ve mutlak değer Konu Özeti

Rasyonel sayılar, günlük hayatta tam olmayan miktarları ifade etmek için kullandığımız, tam sayıları da kapsayan geniş bir sayı kümesidir. Bu ders notu kapsamında rasyonel sayıların tanımını, sayı doğrusundaki yerini ve mutlak değer kavramını inceleyeceğiz.

Rasyonel Sayıların Tanımı 📚

İki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi "Q" harfi ile gösterilir.

\( a \) ve \( b \) birer tam sayı olmak üzere, \( b \neq 0 \) koşuluyla \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır.

• Her tam sayı, paydasına \( 1 \) yazılabildiği için aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Örneğin: \( 5 = \frac{5}{1} \)
• Negatif rasyonel sayılarda eksi işareti payın önünde, paydanın önünde veya kesir çizgisinin önünde bulunabilir: \( \frac{-2}{3} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \)
• Paydası sıfır olan bir ifade rasyonel sayı belirtmez, bu durum tanımsızdır. Örneğin: \( \frac{7}{0} \) tanımsızdır.

Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusunda Gösterimi 📍

Rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterirken, sayının hangi iki tam sayı arasında olduğunu belirlemek ilk adımdır. Ardından bu iki tam sayı arası, rasyonel sayının paydasındaki sayı kadar eş parçaya bölünür.

Örnek: \( \frac{3}{4} \) rasyonel sayısı \( 0 \) ile \( 1 \) arasındadır. Bu aralık \( 4 \) eş parçaya bölünür ve \( 0 \)'dan sağa doğru \( 3 \). parça işaretlenir.

Örnek: \( -\frac{1}{2} \) rasyonel sayısı \( 0 \) ile \( -1 \) arasındadır. Bu aralık \( 2 \) eş parçaya bölünür ve \( 0 \)'dan sola doğru \( 1 \). parça işaretlenir.

Rasyonel Sayılarda Mutlak Değer ✨

Bir rasyonel sayının sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir. Uzaklık hiçbir zaman negatif olamayacağı için bir rasyonel sayının mutlak değeri daima pozitif bir sayıya veya sıfıra eşittir.

Mutlak değer \( |x| \) sembolü ile gösterilir.

Rasyonel Sayı	Mutlak Değer Gösterimi	Sonuç
\( \frac{2}{5} \)	\( |\frac{2}{5}| \)	\( \frac{2}{5} \)
\( -\frac{3}{4} \)	\( |-\frac{3}{4}| \)	\( \frac{3}{4} \)
\( -1,5 \)	\( |-1,5| \)	\( 1,5 \)
\( 0 \)	\( |0| \)	\( 0 \)

Mutlak Değerin Özellikleri

• Pozitif rasyonel sayıların mutlak değeri kendisine eşittir.
• Negatif rasyonel sayıların mutlak değeri, o sayının pozitif işaretli haline eşittir.
• Sıfırın mutlak değeri sıfırdır.
• Mutlak değerleri eşit olan iki sayı, sayı doğrusunda sıfıra eşit uzaklıktadır. Örneğin: \( |-\frac{1}{2}| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \)

Rasyonel Sayıları Karşılaştırma ve Sıralama ⚖️

Rasyonel sayılar arasında sıralama yaparken farklı yöntemler kullanılır. Sayıların pozitif veya negatif olması sıralama kurallarını değiştirir.

1. Paydaları Eşit Olan Rasyonel Sayılar

Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür.

Örnek: \( \frac{7}{10} > \frac{3}{10} \)

2. Payları Eşit Olan Rasyonel Sayılar

Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılardan paydası küçük olan daha büyüktür (parça sayısı az ama parçalar daha büyüktür).

Örnek: \( \frac{1}{2} > \frac{1}{5} \)

3. Negatif Rasyonel Sayılarda Sıralama

Negatif rasyonel sayılar sıralanırken önce sayılar pozitifmiş gibi düşünülerek sıralama yapılır, ardından sembolün yönü değiştirilir. Sayı doğrusunda sıfıra daha yakın olan negatif rasyonel sayı daha büyüktür.

Örnek: \( -\frac{1}{5} > -\frac{4}{5} \)

Çünkü mutlak değerce \( |-\frac{1}{5}| < |-\frac{4}{5}| \) olduğu için, negatif değerlerde \( 0 \)'a yakın olan \( -\frac{1}{5} \) daha büyüktür.

4. Ondalık Gösterimden Yararlanma

Rasyonel sayılar ondalık gösterime çevrilerek de sıralanabilir. Pay paydaya bölünerek virgüllü sayı elde edilir ve basamak değerlerine göre karşılaştırma yapılır.

Örnek: \( \frac{1}{2} \) ve \( \frac{3}{5} \) sayılarını karşılaştıralım.

\( \frac{1}{2} = 0,5 \)

\( \frac{3}{5} = 0,6 \)

\( 0,6 > 0,5 \) olduğu için \( \frac{3}{5} > \frac{1}{2} \) sonucuna ulaşılır.