💡 7. Sınıf Matematik: Rasyonel sayılar ve mutlak değer Çözümlü Sorular

Bir rasyonel sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerinde sıfır noktasına olan uzaklığıdır. Uzaklık hiçbir zaman negatif olamaz.

• Verilen sayı: \( -\frac{5}{9} \)
• Mutlak değer sembolü içine alalım: \( |-\frac{5}{9}| \)
• Negatif bir sayının sıfıra olan uzaklığı pozitif olarak ifade edilir.
• Sonuç: \[ |-\frac{5}{9}| = \frac{5}{9} \]

Öncelikle mutlak değer içindeki ifadeyi dışarı çıkaralım ve paydaları eşitleyerek karşılaştırma yapalım.

• \( a = |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} \)
• \( b = \frac{1}{2} \)
• Karşılaştırma yapabilmek için \( b \) sayısının paydasını 4 yapalım: \[ \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4} \]
• Şimdi payları karşılaştıralım: \( 3 > 2 \) olduğu için \( \frac{3}{4} > \frac{2}{4} \) olur.

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığıdır. Sıfıra \( \frac{2}{5} \) birim uzaklıkta olan iki farklı nokta vardır.

• Sayı doğrusunun sağ tarafındaki (pozitif) değer: \( \frac{2}{5} \)
• Sayı doğrusunun sol tarafındaki (negatif) değer: \( -\frac{2}{5} \)
• Kontrol edelim: \[ |\frac{2}{5}| = \frac{2}{5} \] ve \[ |-\frac{2}{5}| = \frac{2}{5} \]

Deniz seviyesini başlangıç noktası (\( 0 \)) olarak kabul edelim.

• Denizaltının konumu: \( -20.5 \) (Deniz seviyesinin altı negatif kabul edilir).
• Martının konumu: \( 5.2 \) (Deniz seviyesinin üstü pozitif kabul edilir).
• Denizaltının konumunun mutlak değeri: \[ |-20.5| = 20.5 \]
• Martının konumunun mutlak değeri: \[ |5.2| = 5.2 \]
• Toplam: \[ 20.5 + 5.2 = 25.7 \]

Sıralama yapabilmek için önce mutlak değerleri hesaplayalım ve paydaları \( 12 \) sayısında eşitleyelim.

• \( x = -\frac{1}{2} = -\frac{6}{12} \)
• \( y = |-\frac{5}{6}| = \frac{5}{6} = \frac{10}{12} \)
• \( z = -\frac{3}{4} = -\frac{9}{12} \)
• Negatif sayılarda, sıfıra daha uzak olan (mutlak değeri büyük olan) sayı daha küçüktür: \( -\frac{9}{12} < -\frac{6}{12} \)
• Pozitif sayılar her zaman negatif sayılardan büyüktür.

Bir değerin sıfıra olan uzaklığını bulmak için o değerin mutlak değerine bakılır.

• Erzurum için: \[ |-12.4| = 12.4 \]
• Antalya için: \[ |15.6| = 15.6 \]
• Karşılaştırma: \( 15.6 > 12.4 \)

Çıkarma işleminin sonucunun en büyük olması için eksilen sayının (\( a \)) en büyük, çıkan sayının (\( b \)) en küçük seçilmesi gerekir.

• \( a \) sayısı \( \frac{1}{3} \) veya \( -\frac{1}{3} \) olabilir. En büyük olması için \( a = \frac{1}{3} \) seçilir.
• \( b \) sayısı \( \frac{5}{6} \) veya \( -\frac{5}{6} \) olabilir. En küçük olması için \( b = -\frac{5}{6} \) seçilir.
• İşlemi yapalım: \[ \frac{1}{3} - (-\frac{5}{6}) \]
• Eksi ile eksinin çarpımı artı olur: \[ \frac{1}{3} + \frac{5}{6} \]
• Payda eşitleyelim (\( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \)): \[ \frac{2}{6} + \frac{5}{6} = \frac{7}{6} \]

Önce noktaların rasyonel sayı değerlerini belirleyelim.

• \( K \) noktası: \( -2 \) ile \( -1 \) arası 4 parçaya bölünmüş. Soldan sağa ilk parça \( -1 \frac{3}{4} \) veya \( -\frac{7}{4} \) olur.
• \( L \) noktası: \( 0 \) ile \( 1 \) arası 2 parçaya bölünmüş. Tam orta nokta \( \frac{1}{2} \) olur.
• Mutlak değerleri hesaplayalım:
• \( |K| = |-\frac{7}{4}| = \frac{7}{4} \)
• \( |L| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} \)