Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken paylar kendi arasında çarpılıp paya, paydalar kendi arasında çarpılıp paydaya yazılır. İşlem kolaylığı sağlamak için çarpmadan önce sadeleştirme yapabiliriz. 💡
Adım 1: İlk olarak sonucun işaretini belirleyelim. Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı negatif (-) olur.
Adım 3: Pay kısmındaki \( 3 \) ile payda kısmındaki \( 9 \) sayılarını \( 3 \) ile sadeleştirelim. Payda \( 1 \), paydada \( 3 \) kalır.
Adım 4: Pay kısmındaki \( 8 \) ile payda kısmındaki \( 4 \) sayılarını \( 4 \) ile sadeleştirelim. Payda \( 2 \), paydada \( 1 \) kalır.
Adım 5: Kalan sayıları çarparak sonucu bulalım:
\[ -\frac{1 \times 2}{1 \times 3} = -\frac{2}{3} \]
✅ Doğru Cevap: \( -\frac{2}{3} \) olarak bulunur.
2
Çözümlü Soru
Kolay Seviye
Aşağıda verilen rasyonel sayılarla bölme işleminin sonucunu bulunuz:
\[ 1\frac{1}{2} \div \left(-\frac{3}{4}\right) \]
Çözüm ve Açıklama
Rasyonel sayılarla bölme işlemi yaparken tam sayılı kesirleri önce bileşik kesre çevirmeliyiz. Ardından ilk kesri aynen yazıp, ikinci kesri ters çevirip çarparız. 🔄
Adım 1: Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim:
\[ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \]
Adım 2: Bölme işlemini çarpma işlemine dönüştürelim. Birinci kesri aynen yazalım, ikinci kesrin pay ve paydasının yerini değiştirerek çarpalım:
\[ \frac{3}{2} \div \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{2} \times \left(-\frac{4}{3}\right) \]
Adım 3: İşlemin işaretini belirleyelim. Pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü negatif (-) olur.
Adım 4: Sadeleştirmeleri yapalım. Paydaki \( 3 \) ile paydadaki \( 3 \) sadeleşir ve yerlerinde \( 1 \) kalır. Paydaki \( 4 \) ile paydadaki \( 2 \) sadeleşir, pay kısmında \( 2 \) kalır:
\[ -\frac{1 \times 2}{1 \times 1} = -2 \]
Adım 3: Şimdi elde ettiğimiz sonucu \( -\frac{12}{5} \) ile çarpalım:
\[ \frac{1}{6} \times \left(-\frac{12}{5}\right) \]
Adım 4: Çarpma işleminde işaret negatif olacaktır. Paydaki \( 12 \) ile paydadaki \( 6 \) sayılarını \( 6 \) ile sadeleştirelim. Pay kısmında \( 2 \) kalır:
\[ -\frac{1 \times 2}{1 \times 5} = -\frac{2}{5} \]
✅ Doğru Cevap: \( -\frac{2}{5} \) olarak bulunur.
4
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Aşağıda ana kesir çizgisi ile verilen işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{1 - \frac{1}{3}}{2 + \frac{1}{2}} \]
Çözüm ve Açıklama
Bu tür rasyonel ifadelerde ana kesir çizgisinin üstündeki (pay) ve altındaki (payda) işlemleri ayrı ayrı yapıp, ardından üstteki sonucu alttaki sonuca böleriz. 📝
Adım 2: Payda kısmındaki toplama işlemini yapalım:
\[ 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]
Adım 3: Şimdi payı paydaya bölelim. Ana kesir çizgisi bölme işlemi anlamına gelir:
\[ \frac{2}{3} \div \frac{5}{2} \]
Adım 4: İlk kesri aynen yazıp, ikinci kesri ters çevirerek çarpalım:
\[ \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{3 \times 5} = \frac{4}{15} \]
✅ Doğru Cevap: \( \frac{4}{15} \) olarak bulunur.
5
Çözümlü Soru
Zor Seviye
Bir \( a \) rasyonel sayısı, \( -\frac{3}{4} \) sayısının çarpmaya göre tersidir. Bir \( b \) rasyonel sayısı ise, \( \frac{2}{5} \) sayısının toplamaya göre tersidir. Buna göre \( a \div b \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda rasyonel sayıların özelliklerini bilmemiz ve doğru uygulamamız gerekmektedir. 🧠
Adım 1: Çarpmaya göre ters kavramını hatırlayalım. Bir rasyonel sayının çarpmaya göre tersi, pay ve paydasının yer değiştirmesiyle bulunur (işaret değişmez).
Bu durumda \( -\frac{3}{4} \) sayısının çarpmaya göre tersi:
\[ a = -\frac{4}{3} \]
Adım 2: Toplamaya göre ters kavramını hatırlayalım. Bir sayının toplamaya göre tersi, o sayının ters işaretlisidir.
Bu durumda \( \frac{2}{5} \) sayısının toplamaya göre tersi:
\[ b = -\frac{2}{5} \]
Adım 3: Bizden istenen \( a \div b \) işlemini yazalım:
\[ \left(-\frac{4}{3}\right) \div \left(-\frac{2}{5}\right) \]
Adım 4: Bölme işlemini gerçekleştirelim. İki negatif sayının bölümü pozitif olacaktır. İlk kesri aynen yazıp ikincisini ters çevirelim:
\[ \left(-\frac{4}{3}\right) \times \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{4 \times 5}{3 \times 2} \]
Adım 5: Paydaki \( 4 \) ile paydadaki \( 2 \) sayılarını \( 2 \) ile sadeleştirelim. Pay kısmında \( 2 \) kalır:
\[ \frac{2 \times 5}{3 \times 1} = \frac{10}{3} \]
✅ Doğru Cevap: \( \frac{10}{3} \) (veya tam sayılı kesir olarak \( 3\frac{1}{3} \)) olarak bulunur.
6
Çözümlü Soru
Orta Seviye
Bir kek tarifi için \( \frac{3}{4} \) su bardağı toz şeker kullanılmaktadır. Bir pastane işletmecisi, bu kekten büyük bir davet için \( 2\frac{2}{3} \) katı büyüklükte tek bir dev kek yapmak istiyor. Buna göre pastane işletmecisinin kaç su bardağı toz şeker kullanması gerekir?
Çözüm ve Açıklama
Günlük hayatta yemek tariflerini ölçeklendirirken rasyonel sayılarla çarpma işleminden yararlanırız. 🍰
Adım 1: İstenen şeker miktarını bulmak için bir ölçek için gereken şeker miktarını (\( \frac{3}{4} \)), yapılacak kat sayısı olan \( 2\frac{2}{3} \) ile çarpmalıyız:
\[ \frac{3}{4} \times 2\frac{2}{3} \]
Adım 2: Çarpma işlemini yapabilmek için tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim:
\[ 2\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \]
Adım 3: Çarpma işlemini gerçekleştirelim:
\[ \frac{3}{4} \times \frac{8}{3} \]
Adım 4: Paydaki \( 3 \) ile paydadaki \( 3 \) birbirini sadeleştirir (yerlerinde 1 kalır). Paydaki \( 8 \) ile paydadaki \( 4 \) sadeleşir ve pay kısmında \( 2 \) kalır:
\[ \frac{1 \times 2}{1 \times 1} = 2 \]
✅ Doğru Cevap: Pastane işletmecisinin tam olarak 2 su bardağı toz şeker kullanması gerekir.
7
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Bir bilgisayar programında sisteme girilen rasyonel sayılara sırasıyla aşağıdaki adımlar uygulanmaktadır:
1. Adım: Girilen sayıyı \( -\frac{3}{2} \) ile çarp. 2. Adım: Elde edilen sonucu \( \frac{4}{5} \) sayısına böl.
Bu programa sisteme giriş olarak \( \frac{8}{15} \) sayısı yazıldığına göre, programın ekranında en son yazacak olan sonuç kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Yeni nesil sorularda adımları sırasıyla ve dikkatli bir şekilde uygulamak çok önemlidir. 💻
Adım 1: Sisteme girilen ilk sayı \( \frac{8}{15} \) olarak verilmiştir. 1. adımı uygulayalım (sayıyı \( -\frac{3}{2} \) ile çarpalım):
\[ \frac{8}{15} \times \left(-\frac{3}{2}\right) \]
Adım 2: Bu çarpma işleminde sadeleştirmeleri yapalım. Paydaki \( 8 \) ile paydadaki \( 2 \) sadeleşir, pay kısmında \( 4 \) kalır. Paydaki \( 3 \) ile paydadaki \( 15 \) sadeleşir, payda kısmında \( 5 \) kalır. İşaretimiz negatif olacaktır:
\[ -\frac{4}{5} \]
Adım 3: Şimdi 2. adımı uygulayalım. Elde ettiğimiz \( -\frac{4}{5} \) sonucunu \( \frac{4}{5} \) sayısına bölelim:
\[ \left(-\frac{4}{5}\right) \div \frac{4}{5} \]
Adım 4: Bir sayının kendisine bölümü (işaretler hariç) \( 1 \) değerini verir. Negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü negatif olacağından:
\[ \left(-\frac{4}{5}\right) \times \frac{5}{4} = -1 \]
✅ Doğru Cevap: Program ekranında en son yazacak olan sonuç -1'dir.
8
Çözümlü Soru
Yeni Nesil Soru
Sıfır atık projesi kapsamında bir okulda toplanan atık kağıtlar preslenerek geri dönüşüme gönderilecektir. Toplam ağırlığı \( 18\frac{3}{4} \) kg olan atık kağıtlar, her biri en fazla \( \frac{5}{8} \) kg kağıt alabilen küçük geri dönüşüm kutularına eşit olarak paylaştırılacaktır. Buna göre, bu kağıtların tamamını yerleştirmek için en az kaç adet geri dönüşüm kutusuna ihtiyaç vardır?
Çözüm ve Açıklama
Bu yeni nesil soruda, büyük bir bütünün eşit parçalara bölünmesi istendiği için rasyonel sayılarla bölme işlemi yapmamız gerekir. ♻️
Adım 1: Toplam kağıt miktarını, bir kutunun alabileceği maksimum kapasiteye bölmeliyiz. İşlemimiz:
\[ 18\frac{3}{4} \div \frac{5}{8} \]
Adım 2: Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim:
\[ 18\frac{3}{4} = \frac{18 \times 4 + 3}{4} = \frac{72 + 3}{4} = \frac{75}{4} \]
Adım 3: Bölme işlemini gerçekleştirmek için birinci kesri aynen yazalım, ikinci kesri ters çevirip çarpalım:
\[ \frac{75}{4} \div \frac{5}{8} = \frac{75}{4} \times \frac{8}{5} \]
Adım 4: Çarpma işleminden önce sadeleştirmeleri yapalım:
Paydaki \( 75 \) ile paydadaki \( 5 \) sadeleşir: \( 75 \div 5 = 15 \) kalır.
Paydaki \( 8 \) ile paydadaki \( 4 \) sadeleşir: \( 8 \div 4 = 2 \) kalır.
Adım 5: Kalan sayıları çarpalım:
\[ 15 \times 2 = 30 \]
✅ Doğru Cevap: Kağıtların tamamını yerleştirmek için en az 30 adet geri dönüşüm kutusuna ihtiyaç vardır.
7. Sınıf Matematik: Rasyonel sayılarla çarpma ve bölme Çözümlü Sorular
Soru 1:
Aşağıda verilen rasyonel sayılarla çarpma işleminin sonucunu bulunuz:
Rasyonel sayılarla çarpma işlemi yaparken paylar kendi arasında çarpılıp paya, paydalar kendi arasında çarpılıp paydaya yazılır. İşlem kolaylığı sağlamak için çarpmadan önce sadeleştirme yapabiliriz. 💡
Adım 1: İlk olarak sonucun işaretini belirleyelim. Negatif bir sayı ile pozitif bir sayının çarpımı negatif (-) olur.
Adım 3: Pay kısmındaki \( 3 \) ile payda kısmındaki \( 9 \) sayılarını \( 3 \) ile sadeleştirelim. Payda \( 1 \), paydada \( 3 \) kalır.
Adım 4: Pay kısmındaki \( 8 \) ile payda kısmındaki \( 4 \) sayılarını \( 4 \) ile sadeleştirelim. Payda \( 2 \), paydada \( 1 \) kalır.
Adım 5: Kalan sayıları çarparak sonucu bulalım:
\[ -\frac{1 \times 2}{1 \times 3} = -\frac{2}{3} \]
✅ Doğru Cevap: \( -\frac{2}{3} \) olarak bulunur.
Soru 2:
Aşağıda verilen rasyonel sayılarla bölme işleminin sonucunu bulunuz:
\[ 1\frac{1}{2} \div \left(-\frac{3}{4}\right) \]
Çözüm:
Rasyonel sayılarla bölme işlemi yaparken tam sayılı kesirleri önce bileşik kesre çevirmeliyiz. Ardından ilk kesri aynen yazıp, ikinci kesri ters çevirip çarparız. 🔄
Adım 1: Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim:
\[ 1\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \]
Adım 2: Bölme işlemini çarpma işlemine dönüştürelim. Birinci kesri aynen yazalım, ikinci kesrin pay ve paydasının yerini değiştirerek çarpalım:
\[ \frac{3}{2} \div \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{2} \times \left(-\frac{4}{3}\right) \]
Adım 3: İşlemin işaretini belirleyelim. Pozitif bir sayının negatif bir sayıya bölümü negatif (-) olur.
Adım 4: Sadeleştirmeleri yapalım. Paydaki \( 3 \) ile paydadaki \( 3 \) sadeleşir ve yerlerinde \( 1 \) kalır. Paydaki \( 4 \) ile paydadaki \( 2 \) sadeleşir, pay kısmında \( 2 \) kalır:
\[ -\frac{1 \times 2}{1 \times 1} = -2 \]
Adım 3: Şimdi elde ettiğimiz sonucu \( -\frac{12}{5} \) ile çarpalım:
\[ \frac{1}{6} \times \left(-\frac{12}{5}\right) \]
Adım 4: Çarpma işleminde işaret negatif olacaktır. Paydaki \( 12 \) ile paydadaki \( 6 \) sayılarını \( 6 \) ile sadeleştirelim. Pay kısmında \( 2 \) kalır:
\[ -\frac{1 \times 2}{1 \times 5} = -\frac{2}{5} \]
✅ Doğru Cevap: \( -\frac{2}{5} \) olarak bulunur.
Soru 4:
Aşağıda ana kesir çizgisi ile verilen işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \frac{1 - \frac{1}{3}}{2 + \frac{1}{2}} \]
Çözüm:
Bu tür rasyonel ifadelerde ana kesir çizgisinin üstündeki (pay) ve altındaki (payda) işlemleri ayrı ayrı yapıp, ardından üstteki sonucu alttaki sonuca böleriz. 📝
Adım 2: Payda kısmındaki toplama işlemini yapalım:
\[ 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]
Adım 3: Şimdi payı paydaya bölelim. Ana kesir çizgisi bölme işlemi anlamına gelir:
\[ \frac{2}{3} \div \frac{5}{2} \]
Adım 4: İlk kesri aynen yazıp, ikinci kesri ters çevirerek çarpalım:
\[ \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{3 \times 5} = \frac{4}{15} \]
✅ Doğru Cevap: \( \frac{4}{15} \) olarak bulunur.
Soru 5:
Bir \( a \) rasyonel sayısı, \( -\frac{3}{4} \) sayısının çarpmaya göre tersidir. Bir \( b \) rasyonel sayısı ise, \( \frac{2}{5} \) sayısının toplamaya göre tersidir. Buna göre \( a \div b \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda rasyonel sayıların özelliklerini bilmemiz ve doğru uygulamamız gerekmektedir. 🧠
Adım 1: Çarpmaya göre ters kavramını hatırlayalım. Bir rasyonel sayının çarpmaya göre tersi, pay ve paydasının yer değiştirmesiyle bulunur (işaret değişmez).
Bu durumda \( -\frac{3}{4} \) sayısının çarpmaya göre tersi:
\[ a = -\frac{4}{3} \]
Adım 2: Toplamaya göre ters kavramını hatırlayalım. Bir sayının toplamaya göre tersi, o sayının ters işaretlisidir.
Bu durumda \( \frac{2}{5} \) sayısının toplamaya göre tersi:
\[ b = -\frac{2}{5} \]
Adım 3: Bizden istenen \( a \div b \) işlemini yazalım:
\[ \left(-\frac{4}{3}\right) \div \left(-\frac{2}{5}\right) \]
Adım 4: Bölme işlemini gerçekleştirelim. İki negatif sayının bölümü pozitif olacaktır. İlk kesri aynen yazıp ikincisini ters çevirelim:
\[ \left(-\frac{4}{3}\right) \times \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{4 \times 5}{3 \times 2} \]
Adım 5: Paydaki \( 4 \) ile paydadaki \( 2 \) sayılarını \( 2 \) ile sadeleştirelim. Pay kısmında \( 2 \) kalır:
\[ \frac{2 \times 5}{3 \times 1} = \frac{10}{3} \]
✅ Doğru Cevap: \( \frac{10}{3} \) (veya tam sayılı kesir olarak \( 3\frac{1}{3} \)) olarak bulunur.
Soru 6:
Bir kek tarifi için \( \frac{3}{4} \) su bardağı toz şeker kullanılmaktadır. Bir pastane işletmecisi, bu kekten büyük bir davet için \( 2\frac{2}{3} \) katı büyüklükte tek bir dev kek yapmak istiyor. Buna göre pastane işletmecisinin kaç su bardağı toz şeker kullanması gerekir?
Çözüm:
Günlük hayatta yemek tariflerini ölçeklendirirken rasyonel sayılarla çarpma işleminden yararlanırız. 🍰
Adım 1: İstenen şeker miktarını bulmak için bir ölçek için gereken şeker miktarını (\( \frac{3}{4} \)), yapılacak kat sayısı olan \( 2\frac{2}{3} \) ile çarpmalıyız:
\[ \frac{3}{4} \times 2\frac{2}{3} \]
Adım 2: Çarpma işlemini yapabilmek için tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim:
\[ 2\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \]
Adım 3: Çarpma işlemini gerçekleştirelim:
\[ \frac{3}{4} \times \frac{8}{3} \]
Adım 4: Paydaki \( 3 \) ile paydadaki \( 3 \) birbirini sadeleştirir (yerlerinde 1 kalır). Paydaki \( 8 \) ile paydadaki \( 4 \) sadeleşir ve pay kısmında \( 2 \) kalır:
\[ \frac{1 \times 2}{1 \times 1} = 2 \]
✅ Doğru Cevap: Pastane işletmecisinin tam olarak 2 su bardağı toz şeker kullanması gerekir.
Soru 7:
Bir bilgisayar programında sisteme girilen rasyonel sayılara sırasıyla aşağıdaki adımlar uygulanmaktadır:
1. Adım: Girilen sayıyı \( -\frac{3}{2} \) ile çarp. 2. Adım: Elde edilen sonucu \( \frac{4}{5} \) sayısına böl.
Bu programa sisteme giriş olarak \( \frac{8}{15} \) sayısı yazıldığına göre, programın ekranında en son yazacak olan sonuç kaçtır?
Çözüm:
Yeni nesil sorularda adımları sırasıyla ve dikkatli bir şekilde uygulamak çok önemlidir. 💻
Adım 1: Sisteme girilen ilk sayı \( \frac{8}{15} \) olarak verilmiştir. 1. adımı uygulayalım (sayıyı \( -\frac{3}{2} \) ile çarpalım):
\[ \frac{8}{15} \times \left(-\frac{3}{2}\right) \]
Adım 2: Bu çarpma işleminde sadeleştirmeleri yapalım. Paydaki \( 8 \) ile paydadaki \( 2 \) sadeleşir, pay kısmında \( 4 \) kalır. Paydaki \( 3 \) ile paydadaki \( 15 \) sadeleşir, payda kısmında \( 5 \) kalır. İşaretimiz negatif olacaktır:
\[ -\frac{4}{5} \]
Adım 3: Şimdi 2. adımı uygulayalım. Elde ettiğimiz \( -\frac{4}{5} \) sonucunu \( \frac{4}{5} \) sayısına bölelim:
\[ \left(-\frac{4}{5}\right) \div \frac{4}{5} \]
Adım 4: Bir sayının kendisine bölümü (işaretler hariç) \( 1 \) değerini verir. Negatif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü negatif olacağından:
\[ \left(-\frac{4}{5}\right) \times \frac{5}{4} = -1 \]
✅ Doğru Cevap: Program ekranında en son yazacak olan sonuç -1'dir.
Soru 8:
Sıfır atık projesi kapsamında bir okulda toplanan atık kağıtlar preslenerek geri dönüşüme gönderilecektir. Toplam ağırlığı \( 18\frac{3}{4} \) kg olan atık kağıtlar, her biri en fazla \( \frac{5}{8} \) kg kağıt alabilen küçük geri dönüşüm kutularına eşit olarak paylaştırılacaktır. Buna göre, bu kağıtların tamamını yerleştirmek için en az kaç adet geri dönüşüm kutusuna ihtiyaç vardır?
Çözüm:
Bu yeni nesil soruda, büyük bir bütünün eşit parçalara bölünmesi istendiği için rasyonel sayılarla bölme işlemi yapmamız gerekir. ♻️
Adım 1: Toplam kağıt miktarını, bir kutunun alabileceği maksimum kapasiteye bölmeliyiz. İşlemimiz:
\[ 18\frac{3}{4} \div \frac{5}{8} \]
Adım 2: Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim:
\[ 18\frac{3}{4} = \frac{18 \times 4 + 3}{4} = \frac{72 + 3}{4} = \frac{75}{4} \]
Adım 3: Bölme işlemini gerçekleştirmek için birinci kesri aynen yazalım, ikinci kesri ters çevirip çarpalım:
\[ \frac{75}{4} \div \frac{5}{8} = \frac{75}{4} \times \frac{8}{5} \]
Adım 4: Çarpma işleminden önce sadeleştirmeleri yapalım:
Paydaki \( 75 \) ile paydadaki \( 5 \) sadeleşir: \( 75 \div 5 = 15 \) kalır.
Paydaki \( 8 \) ile paydadaki \( 4 \) sadeleşir: \( 8 \div 4 = 2 \) kalır.
Adım 5: Kalan sayıları çarpalım:
\[ 15 \times 2 = 30 \]
✅ Doğru Cevap: Kağıtların tamamını yerleştirmek için en az 30 adet geri dönüşüm kutusuna ihtiyaç vardır.