Tam sayılarda toplama çıkarma rasyonel sayılar Konu Özeti

7. sınıf matematik dersinin temelini oluşturan tam sayılar ve rasyonel sayılar konusu, sayı doğrusu üzerindeki hareketleri ve sayıların farklı biçimlerde ifade edilmesini kapsar. Bu ders notu, MEB müfredatına uygun olarak işlem önceliklerini ve temel kuralları içermektedir.

Tam Sayılarla Toplama İşlemi ➕

Tam sayılarla toplama işlemi yapılırken sayıların işaretlerine dikkat edilir. İşlem süreci iki ana duruma ayrılır:

1. Aynı İşaretli Tam Sayıların Toplanması

Sayıların mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret sonucun önüne yazılır.

• Örnek: \( (+5) + (+7) = +12 \)
• Örnek: \( (-3) + (-4) = -7 \)

2. Zıt İşaretli Tam Sayıların Toplanması

Mutlak değeri büyük olan sayıdan, mutlak değeri küçük olan sayı çıkarılır. Sonuca mutlak değeri büyük olan sayının işareti verilir.

• Örnek: \( (+10) + (-4) = +6 \) (10, 4'ten büyük olduğu için sonuç pozitif)
• Örnek: \( (-15) + (+8) = -7 \) (15, 8'den büyük olduğu için sonuç negatif)

Not: Bir tam sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının işaretinin değiştirilmiş halidir. Örneğin; \( +5 \)'in tersi \( -5 \), \( -8 \)'in tersi \( +8 \)'dir.

Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi ➖

Tam sayılarla çıkarma işlemi, eksilen sayı ile çıkan sayının toplama işlemine göre tersinin toplanması demektir. Yani çıkarma işlemi toplama işlemine dönüştürülür.

Kural: \( a - b = a + (-b) \)

• Örnek: \( (+8) - (+3) = (+8) + (-3) = +5 \)
• Örnek: \( (-5) - (-2) = (-5) + (+2) = -3 \)
• Örnek: \( (+4) - (-6) = (+4) + (+6) = +10 \)

Rasyonel Sayılar 🌍

\( a \) ve \( b \) birer tam sayı ve \( b \neq 0 \) olmak üzere \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi \( Q \) harfi ile gösterilir.

Rasyonel Sayıların Özellikleri

• Her tam sayı, paydası \( 1 \) olan bir rasyonel sayıdır. Örn: \( 5 = \frac{5}{1} \)
• Negatif rasyonel sayılarda eksi işareti paya, paydaya veya kesir çizgisinin önüne konulabilir: \( -\frac{2}{3} = \frac{-2}{3} = \frac{2}{-3} \)
• Sayı doğrusunda rasyonel sayılar gösterilirken, ardışık iki tam sayı paydadaki sayı kadar eş parçaya bölünür.

Rasyonel Sayıların Ondalık Gösterimi

Bir rasyonel sayıyı ondalık gösterime çevirmek için pay paydaya bölünür veya payda \( 10, 100, 1000 \) olacak şekilde genişletilir.

• Örnek: \( \frac{2}{5} = \frac{4}{10} = 0,4 \)
• Örnek: \( \frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0,75 \)

Devirli Ondalık Gösterim

Pay paydaya bölündüğünde ondalık kısımdaki rakamlar belirli bir düzende tekrar ediyorsa bu sayılara devirli ondalık gösterim denir. Tekrar eden rakamın üzerine devir çizgisi konulur.

• Örnek: \( \frac{1}{3} = 0,333... = 0,\overline{3} \)
• Örnek: \( \frac{5}{11} = 0,4545... = 0,\overline{45} \)

Rasyonel Sayıları Sıralama 📏

Rasyonel sayılar sıralanırken şu yöntemler kullanılır:

Yöntem	Açıklama
Payda Eşitleme	Paydalar eşitlenir, payı büyük olan daha büyüktür.
Pay Eşitleme	Paylar eşitlenir, paydası küçük olan daha büyüktür.
Yarıma Yakınlık	Sayıların \( 0 \), \( \frac{1}{2} \) veya \( 1 \)'e yakınlığına bakılır.

Negatif rasyonel sayılar sıralanırken, sayılar önce pozitifmiş gibi sıralanır, ardından eşitsizliğin yönü değiştirilir.

• Örnek: \( \frac{1}{2} > \frac{1}{3} \) iken \( -\frac{1}{2} < -\frac{1}{3} \) olur.