Tam sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme Konu Özeti

Tam sayılar kümesi, pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırın birleşiminden oluşur. Günlük hayatta borç-alacak, deniz seviyesinin altı-üstü veya hava sıcaklıkları gibi durumları ifade etmek için tam sayılarla işlemlerden yararlanırız.

1. Tam Sayılarla Toplama İşlemi ➕

Tam sayılarla toplama işlemi yapılırken sayıların işaretlerine dikkat edilir. İşlem iki ana durumda incelenir:

Aynı İşaretli Tam Sayılarda Toplama

Aynı işaretli iki tam sayı toplanırken sayıların mutlak değerleri toplanır ve sayıların ortak işareti sonucun önüne yazılır.

• \( (+7) + (+5) = +12 \)
• \( (-9) + (-4) = -13 \)

Zıt İşaretli Tam Sayılarda Toplama

Zıt işaretli iki tam sayı toplanırken, mutlak değeri büyük olan sayıdan mutlak değeri küçük olan sayı çıkarılır. Sonuca mutlak değeri büyük olan sayının işareti verilir.

• \( (+15) + (-8) = +7 \)
• \( (-20) + (+6) = -14 \)
• \( (-10) + (+10) = 0 \)

Önemli Not: Bir tam sayının toplama işlemine göre tersi, o sayının zıt işaretlisidir. Örneğin \( +4 \) sayısının toplama işlemine göre tersi \( -4 \) iken; \( -12 \) sayısının tersi \( +12 \) olur.

2. Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi ➖

Tam sayılarla çıkarma işlemi yapılırken, eksilen sayı ile çıkan sayının toplama işlemine göre tersi toplanır. Yani çıkarma işlemi, ikinci sayının işareti değiştirilerek toplama işlemine dönüştürülür.

Kural: \( a - b = a + (-b) \)

• \( (+10) - (+4) = (+10) + (-4) = +6 \)
• \( (-8) - (-5) = (-8) + (+5) = -3 \)
• \( (-3) - (+7) = (-3) + (-7) = -10 \)
• \( (+2) - (-9) = (+2) + (+9) = +11 \)

3. Tam Sayılarla Çarpma İşlemi ✖️

Tam sayılarla çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılarak sonucun işareti belirlenir, ardından sayıların mutlak değerleri çarpılır.

İşaret Kuralları

İşlem	Sonuç
\( (+) \times (+) \)	\( (+) \)
\( (-) \times (-) \)	\( (+) \)
\( (+) \times (-) \)	\( (-) \)
\( (-) \times (+) \)	\( (-) \)

Örnekler:

• \( (-6) \times (-3) = +18 \)
• \( (+4) \times (-5) = -20 \)
• \( (-2) \times (+8) = -16 \)

4. Tam Sayılarla Bölme İşlemi ➗

Bölme işleminde işaretlerin belirlenmesi, çarpma işlemindeki kurallar ile tamamen aynıdır.

• Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitif bir tam sayıdır.
• Zıt işaretli iki tam sayının bölümü negatif bir tam sayıdır.

Örnekler:

• \( (-24) \div (-6) = +4 \)
• \( (+30) \div (-5) = -6 \)
• \( (-12) \div (+2) = -6 \)
• \( 0 \div (-7) = 0 \)

Dikkat: Bir tam sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. Ancak sıfırın, sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü her zaman sıfırdır.

5. Tam Sayılarda İşlemlerin Özellikleri

Matematiksel işlemleri kolaylaştıran bazı temel özellikler şunlardır:

• Değişme Özelliği: Toplama ve çarpma işlemlerinde sayıların yerleri değiştirildiğinde sonuç değişmez. \( a + b = b + a \) ve \( a \times b = b \times a \)
• Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla tam sayı toplanırken veya çarpılırken sayıların gruplandırılma sırası sonucu değiştirmez.
• Etkisiz Eleman: Toplama işleminin etkisiz elemanı \( 0 \), çarpma işleminin etkisiz elemanı \( 1 \)'dir.
• Yutan Eleman: Çarpma işleminde \( 0 \) yutan elemandır. Herhangi bir tam sayının \( 0 \) ile çarpımı \( 0 \)'dır.
• Dağılma Özelliği: Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliği vardır. \( a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \)