💡 8. Sınıf Matematik: İki Kare Farkı Özdeşliği Çözümlü Sorular

Bu ifade, İki Kare Farkı Özdeşliği'nin en temel halidir. Özdeşlik bize şunu söyler: \[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \] Yukarıdaki ifadeyi özdeşliğin sağ tarafı ile karşılaştıralım:

• 👉 \( a \) yerine \( x \) gelmiş.
• 👉 \( b \) yerine \( 5 \) gelmiş.

Şimdi bu değerleri özdeşliğin sol tarafına yerleştirelim:

• ✅ \( a^2 \) yerine \( x^2 \) yazılır.
• ✅ \( b^2 \) yerine \( 5^2 \) yazılır, bu da \( 25 \) demektir.

O halde, \( (x-5)(x+5) \) ifadesinin sonucu: \[ x^2 - 5^2 = x^2 - 25 \]

Sonuç: \( x^2 - 25 \)

Bu ifadeyi \( a^2 - b^2 \) şeklinde yazmaya çalışmalıyız.

• 👉 İlk terim \( 9x^2 \)'yi düşünelim. Hangi sayının karesidir?
  \( (3x)^2 = 3^2 x^2 = 9x^2 \) olduğundan, \( a \) yerine \( 3x \) yazabiliriz.
• 👉 İkinci terim \( 49 \)'u düşünelim. Hangi sayının karesidir?
  \( 7^2 = 49 \) olduğundan, \( b \) yerine \( 7 \) yazabiliriz.

Şimdi \( a = 3x \) ve \( b = 7 \) değerlerini \( (a-b)(a+b) \) formülünde yerine koyalım:

• ✅ \( (3x - 7) \)
• ✅ \( (3x + 7) \)

Böylece \( 9x^2 - 49 \) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali: \[ (3x-7)(3x+7) \]

Sonuç: \( (3x-7)(3x+7) \)

Bu ifade de doğrudan \( a^2 - b^2 \) formuna uymaktadır.

• 👉 \( a \) yerine \( 63 \) gelmiş.
• 👉 \( b \) yerine \( 37 \) gelmiş.

Özdeşliği hatırlayalım: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)
Şimdi \( a \) ve \( b \) değerlerini formülde yerine koyalım:

• 1️⃣ Önce \( (a-b) \) kısmını hesaplayalım:
  \( 63 - 37 = 26 \)
• 2️⃣ Sonra \( (a+b) \) kısmını hesaplayalım:
  \( 63 + 37 = 100 \)
• 3️⃣ Son olarak bu iki sonucu çarpalım:
  \( 26 \times 100 = 2600 \)

Bu yöntem, büyük sayıların karelerini almaktan çok daha pratiktir! 💪

Sonuç: \( 2600 \)

Bu tür çarpma işlemlerini özdeşlik kullanarak çözmek için sayıları \( (a-b)(a+b) \) şeklinde yazmaya çalışırız.

• 👉 \( 104 \) sayısını \( (100 + 4) \) olarak yazabiliriz.
• 👉 \( 96 \) sayısını \( (100 - 4) \) olarak yazabiliriz.

Şimdi ifademiz \( (100+4)(100-4) \) şeklini aldı. Bu da \( (a+b)(a-b) \) formuna çok benziyor! Burada:

• \( a \) yerine \( 100 \) gelmiş.
• \( b \) yerine \( 4 \) gelmiş.

Özdeşliği \( a^2 - b^2 \) olarak uygulayalım:

• 1️⃣ \( a^2 \) kısmı: \( 100^2 = 100 \times 100 = 10000 \)
• 2️⃣ \( b^2 \) kısmı: \( 4^2 = 4 \times 4 = 16 \)
• 3️⃣ İki sonucu birbirinden çıkaralım:
  \( 10000 - 16 = 9984 \)

Bu yöntem, sayıları doğrudan çarpmaktan daha hızlı ve hatasız bir çözüm sunar! 🚀

Sonuç: \( 9984 \)

Bu problemde, büyük bir kare alandan küçük bir kare alan çıkarılıyor. Bu durum bize doğrudan İki Kare Farkı Özdeşliği'ni düşündürmelidir: \( a^2 - b^2 \).

• 👉 Büyük Karenin Alanı: Kenar uzunluğu \( (3x+2) \) cm ise, alanı \( (3x+2)^2 \) cm\( ^2 \) olur. Yani \( a = (3x+2) \).
• 👉 Küçük Karenin Alanı: Kenar uzunluğu \( (x-1) \) cm ise, alanı \( (x-1)^2 \) cm\( ^2 \) olur. Yani \( b = (x-1) \).

Geriye kalan alan, büyük karenin alanından küçük karenin alanının çıkarılmasıyla bulunur: \[ (3x+2)^2 - (x-1)^2 \] Şimdi \( a = (3x+2) \) ve \( b = (x-1) \) değerlerini \( (a-b)(a+b) \) formülünde yerine koyalım:

• 1️⃣ \( (a-b) \) kısmını hesaplayalım:
  \( (3x+2) - (x-1) \)
  Parantezleri açarken ikinci parantezin işaretlerinin değiştiğine dikkat edelim:
  \( 3x+2-x+1 = (3x-x) + (2+1) = 2x+3 \)
• 2️⃣ \( (a+b) \) kısmını hesaplayalım:
  \( (3x+2) + (x-1) \)
  Parantezleri açalım:
  \( 3x+2+x-1 = (3x+x) + (2-1) = 4x+1 \)
• 3️⃣ Sonuçları çarpalım:
  \( (2x+3)(4x+1) \)

Geriye kalan tahta parçasının alanı: \[ (2x+3)(4x+1) \]

Sonuç: \( (2x+3)(4x+1) \)

Bu soru, verilen bilgileri İki Kare Farkı Özdeşliği ile birleştirmemizi istiyor. Öncelikle aranan ifadeye bakalım: \( x^2 - y^2 \)
Bu ifade, İki Kare Farkı Özdeşliği'ne göre çarpanlarına ayrılabilir: \[ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \] Şimdi soruda bize verilen bilgilere bakalım:

• 👉 \( x-y = 7 \)
• 👉 \( x+y = 15 \)

Bu değerleri doğrudan özdeşlikteki yerlerine koyabiliriz:

• ✅ \( (x-y) \) yerine \( 7 \) yazalım.
• ✅ \( (x+y) \) yerine \( 15 \) yazalım.

O halde, \( x^2 - y^2 \) ifadesinin değeri: \[ 7 \times 15 \] Bu çarpma işlemini yapalım: \[ 7 \times 15 = 105 \]

Bu yöntemle, \( x \) ve \( y \) değerlerini ayrı ayrı bulmaya gerek kalmadan sonuca ulaştık! 💯

Sonuç: \( 105 \)

Bu problemde, büyük bir kare alanın içinden daha küçük bir kare alan çıkarıldığında geriye kalan "halka" şeklindeki alan sorulmaktadır. Bu da bize İki Kare Farkı Özdeşliği'ni hatırlatır.

• 👉 Büyük Kare (Bahçenin Tamamı): Kenar uzunluğu \( 12 \) metre. Alanı \( 12^2 \) m\( ^2 \) olur.
• 👉 Küçük Kare (Yürüyüş Yolunun İçinde Kalan Bahçe): Yürüyüş yolu \( 1 \) metre genişliğinde ve bahçenin iç kısmından yapıldığı için, yeni bahçenin kenar uzunluğu her iki taraftan da \( 1 \) metre kısalacaktır.
  Yani, \( 12 - 1 - 1 = 12 - 2 = 10 \) metre.
  Bu küçük karenin alanı \( 10^2 \) m\( ^2 \) olur.

Yürüyüş yolunun alanı, büyük karenin alanından küçük karenin alanının çıkarılmasıyla bulunur: \[ 12^2 - 10^2 \] Şimdi \( a = 12 \) ve \( b = 10 \) değerlerini \( (a-b)(a+b) \) formülünde yerine koyalım:

• 1️⃣ \( (a-b) \) kısmı: \( 12 - 10 = 2 \)
• 2️⃣ \( (a+b) \) kısmı: \( 12 + 10 = 22 \)
• 3️⃣ Sonuçları çarpalım: \( 2 \times 22 = 44 \)

Yürüyüş yolunun alanı \( 44 \) metrekaredir. Bu tür pratik hesaplamalar günlük hayatta çok işimize yarar! 🚶‍♀️

Sonuç: \( 44 \) m\( ^2 \)

Bu ifade, \( a^2 - b^2 \) formatına benzer. Buradaki zorluk, \( a \) teriminin kendisinin bir cebirsel ifade olmasıdır.

• 👉 İlk terim \( (4x+3)^2 \)'ye bakalım. Bu zaten bir ifadenin karesi şeklinde verilmiş. O halde \( a \) yerine \( (4x+3) \) yazabiliriz.
• 👉 İkinci terim \( 25 \)'e bakalım. Hangi sayının karesidir?
  \( 5^2 = 25 \) olduğundan, \( b \) yerine \( 5 \) yazabiliriz.

Şimdi \( a = (4x+3) \) ve \( b = 5 \) değerlerini \( (a-b)(a+b) \) formülünde yerine koyalım:

• 1️⃣ \( (a-b) \) kısmını hesaplayalım:
  \( (4x+3) - 5 \)
  Parantezi açıp sabit terimleri toplayalım:
  \( 4x + 3 - 5 = 4x - 2 \)
• 2️⃣ \( (a+b) \) kısmını hesaplayalım:
  \( (4x+3) + 5 \)
  Parantezi açıp sabit terimleri toplayalım:
  \( 4x + 3 + 5 = 4x + 8 \)

Böylece \( (4x+3)^2 - 25 \) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali: \[ (4x-2)(4x+8) \]

Ek olarak, çarpanlara ayrılmış ifadelerdeki ortak çarpanları da gözden geçirebiliriz (8. sınıf müfredatında bu adım da önemlidir):

• \( (4x-2) \) ifadesinde ortak çarpan \( 2 \)'dir: \( 2(2x-1) \)
• \( (4x+8) \) ifadesinde ortak çarpan \( 4 \)'tür: \( 4(x+2) \)

Bu durumda ifadenin en sade çarpanlarına ayrılmış hali: \[ 2(2x-1) \times 4(x+2) = 8(2x-1)(x+2) \]

Sonuç: \( (4x-2)(4x+8) \) veya \( 8(2x-1)(x+2) \)