💡 8. Sınıf Matematik: Kareköklü ifadeler Çözümlü Sorular

• \( \sqrt{49} \): Hangi sayının karesi 49'dur? 7'nin. O halde \( \sqrt{49} = 7 \). ✅
• \( \sqrt{144} \): Hangi sayının karesi 144'tür? 12'nin. O halde \( \sqrt{144} = 12 \). ✅
• \( \sqrt{0} \): Hangi sayının karesi 0'dır? 0'ın. O halde \( \sqrt{0} = 0 \). ✅

• Önce \( \sqrt{25} \) işlemini yapalım: Hangi sayının karesi 25'tir? 5'in. Yani \( \sqrt{25} = 5 \).
• Sonra \( \sqrt{36} \) işlemini yapalım: Hangi sayının karesi 36'dır? 6'nın. Yani \( \sqrt{36} = 6 \).
• Şimdi bulduğumuz sonuçları toplayalım: \( 5 + 6 = 11 \).

• \( \sqrt{8} \)'i en sade hale getirelim: \( 8 = 4 \times 2 \). O halde \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \). 💡
• \( \sqrt{18} \)'i en sade hale getirelim: \( 18 = 9 \times 2 \). O halde \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \). 💡
• Şimdi bu sadeleştirilmiş ifadeleri toplayalım: \( 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \). Karekökleri aynı olan ifadeleri toplarken katsayılarını toplarız.
• \( (2+3)\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \). ✅

Yol 1: Önce Sadeleştirme

• \( \sqrt{72} \)'yi sadeleştirelim: \( 72 = 36 \times 2 \). O halde \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \).
• Şimdi çarpma işlemini yapalım: \( 6\sqrt{2} \times \sqrt{2} \).
• \( 6 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 6 \times 2 = 12 \). ✅

Yol 2: Önce Çarpma

• Kareköklerin içindeki sayıları çarpalım: \( \sqrt{72 \times 2} = \sqrt{144} \).
• Şimdi elde ettiğimiz sayının karekökünü alalım: \( \sqrt{144} = 12 \). ✅

• \( \sqrt{50} \): \( 50 = 25 \times 2 \). O halde \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \).
• \( \sqrt{32} \): \( 32 = 16 \times 2 \). O halde \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \).
• \( \sqrt{18} \): \( 18 = 9 \times 2 \). O halde \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \).
• Şimdi bu sadeleştirilmiş ifadeleri yerine koyarak işlemi yapalım: \( 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \).
• Karekökleri aynı olan terimleri toplar veya çıkarırız: \( (5 - 4 + 3)\sqrt{2} \).
• \( (1 + 3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \). ✅

• Öncelikle karenin bir kenar uzunluğunu en sade hale getirelim: \( \sqrt{128} \).
• \( 128 = 64 \times 2 \). O halde \( \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) cm.
• Şimdi bahçenin çevresini hesaplayalım: Çevre = \( 4 \times \text{kenar uzunluğu} \).
• Çevre = \( 4 \times 8\sqrt{2} \).
• Çevre = \( (4 \times 8)\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \) cm. ✅

• Marangozun kestiği parçaların uzunluklarını en sade hale getirelim:
• \( \sqrt{50} \) cm = \( \sqrt{25 \times 2} \) cm = \( 5\sqrt{2} \) cm.
• \( \sqrt{18} \) cm = \( \sqrt{9 \times 2} \) cm = \( 3\sqrt{2} \) cm.
• Marangozun kestiği toplam tahta uzunluğunu bulalım: \( 5\sqrt{2} \) cm + \( 3\sqrt{2} \) cm = \( (5+3)\sqrt{2} \) cm = \( 8\sqrt{2} \) cm.
• Başlangıçtaki tahtanın uzunluğu 2 metre idi. Bunu cm'ye çevirelim: 2 metre = \( 2 \times 100 \) cm = 200 cm.
• Geriye kalan tahta miktarını bulmak için toplam uzunluktan kesilen uzunluğu çıkaralım: 200 cm - \( 8\sqrt{2} \) cm.
• Bu ifade daha fazla sadeleşmez çünkü biri tam sayı, diğeri kareköklü ifadedir.

Yol 1: a ve b değerlerini bulma

• \( \sqrt{a} = 5 \). Her iki tarafın karesini alırsak: \( (\sqrt{a})^2 = 5^2 \), yani \( a = 25 \).
• \( \sqrt{b} = 3 \). Her iki tarafın karesini alırsak: \( (\sqrt{b})^2 = 3^2 \), yani \( b = 9 \).
• Şimdi \( \sqrt{a \times b} \) işlemini yapalım: \( \sqrt{25 \times 9} \).
• \( \sqrt{25 \times 9} = \sqrt{225} \).
• \( \sqrt{225} = 15 \). ✅

Yol 2: Çarpma özelliğini kullanma

• Kareköklerin çarpma özelliğinden yararlanalım: \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \).
• Verilen değerleri yerine koyalım: \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = 5 \times 3 \).
• \( 5 \times 3 = 15 \). ✅